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几种定积分的数值计算方法
几种定积分的数值计算方法
摘要:
本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明.
关键词:
数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形
SeveralNumericalMethodsforSolvingDefiniteIntegrals
Abstract:
Severalcommonmethodsforsolvingdefiniteintegralsaresummarizedinthispaper。
Meantime,theideaforeachmethodisemphaticallyanalyzed。
Afterwards,anumericalexampleisillustratedtoshowthattheadvantagesanddisadvantagesofthesemethods。
Keywords:
Numericalmethods,Rectanglemethod,Trapezoidalmethod,Parabolicmethod,Classrectangle,Classtrapezoid
1.引言
在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数f(X)在区间[a,b]连续且原函数为F(X),则可用牛顿-莱布尼茨公式
b
[f(X)=F(b)—F(a)
求得积分。
这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用•在科
学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数f(x)在区间[a,b]连续且原函数为F(X),则可用牛顿-莱布尼茨公式
b
[f(X)=F(b)—F(a)
求得积分。
这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用•另外,对于
求导数也有一系列的求导公式和求导法则。
但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况:
(1)函数f(X)的原函数无法用初等函数给出.例如积分
1V21SinX
OedX,dx
等,从而无法用牛顿—莱布尼茨公式计算出积分。
(2)函数f(X)使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。
(3)函数f(X)的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用.
由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解
数值积分的很多方法,目前有牛顿一柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较。
2.几何意义上的数值算法
S在几何上表示以[a,b]为底,以曲线y=f(X)为曲边的曲边梯形的面积A,因此,计算S的近似值也就是A的近似值,如图1所示.沿着积分区间[a,b],可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和•常采用均匀分割,假设[a,b]上等分n的小区间
Xi-1=Xih,X0=a,xn=b,其中h=b一-表示小区间的长度。
n
2.1矩形法
矩形法就是用小矩形面积近似代替各个小曲边梯形面积,从面积得到S的近似值。
若
取小区间左端点的函数值为小矩形的高
如图1中所示,则A=
n
、f(Xi).
i-1
图1分割曲边矩形近似积分
2。
2梯形法
图2分割曲边梯形近似积分
梯形法则用小直边梯形的面积近似代替小曲边梯形面积,见图2,从而得到S的近似
值,即A:
^-af(a)f(b)nAf(Xi)。
n∣L2y
2。
3抛物线法
抛物线法以抛物线为曲边梯形的曲边如图3所示.
曲边梯形的面积近似代替小曲边梯形的面积
图3抛物线积分
Oa=JcQXl
X0,X1,X2对应的曲线上的点Po,P,P2可以唯一地确定一条抛物线y=ax?
bxC,这
条抛物线将作将代替从X.至X2的曲线段,此时积分可以转化为对抛物线积分,而抛物线的积分可以利用牛顿一莱布尼玆公式.第1、2个小区边梯形的面积:
X2
22
Xo
Al=(aχ2bxc)dx=卫[f(x°)4f(χ1)f(χ?
)]
'3
上面利用了条件P0,P1,P2是抛物线上的点以及等式X2∙Xo=2Xι。
同理可证:
h
A2[f(X2)4f(X3)f(X4)]
3
h
An/^-[f(Xn^)4f(XnJ)f(Xn)]
3
n/2n/2」
所以,SA∙A2•…∙An/2=需{[f(a)∙f(b)]-f(x?
」•2f(X2J}
i—1i-4
3.概率意义上的数值算法
概率算法是定积分问题数值求解的一类常用方法,其设计思想简单,易于实现。
尽管
算法要耗费较多计算时间,但是往往能得到问题的近似解,并且近似程度能随计算时间的增加而不断提高。
概率算法可用于计算定积分的近似值.
3.1平均值法
考虑定积分I=ff(x)dx的近似计算,其中f(x)在∣a,b]内可积,用平均值法计算该积
a
分,首先随机产生n个独立的随机变量,且服从在a,b]上均匀分布,即i(i。
1,2λn);其次,
_一b—an
计算1的近似值1,i=x’f(i).
ni=I
由中心极限定理知,若—∙(i=1,2,…n)相互独立、同分布,且数学期望及标准差匚0
存在,则当n充分大时,随机变量Y
I—I
=渐近服从正态分布N(0,1),即对任意的⅛>0,
6厂
∕b乜n
P{Y
这表明,用平均值法计算定积分的收敛速度较慢
,在概率意义下的误差阶仅为
1
0()。
。
n
3。
2“类矩形”Monte—Carlo方法
1
由于平均值法计算定积分的收敛速度较慢,且在概率意义下的误差阶仅为0
(1),
■n
就有对平均值法的改进,“类矩形”Monte—Carlo方法,改进过程为:
先将积分区间∣a,bln
等分,随机产生n个相互独立且服从0,1】上均匀分布的随机变量序列{©},(i=1,2,…n);然
后由这n个随机点类似于矩形公式构造计算公式,即作变换
b—a
i=a(ii—1),
n
i=1,2,n
将{J映射到子区间
i-1{an
(b-a),a—(b一a)}.a,b]i=1,2,…,n
n
最后,计算I的近似值~,~二口Jf(i).niZt
F面用两个命题证明“类矩阵"方法的可行性
命题1设f(x)^c1b,bl记M=m^xf"(x),⅛⅛乏kb,有
2
b(b—a)
f(x)dx-f(x0)(b-a)M
a
证明:
由Lagrange中值定理得
f(x)=f(X0)f()(X—x0)(介于X与x0之间)
上式两边在a,b]积分,得
b
f(x)dx=f(x°)(b—a)a
b
f(J(x—x°)dx
由f(X)得连续性,得
b
f(x)dx-f(X0)(b—a)a
≤ff∖⅛)(X-Xo)dx兰MIL
LaP
Xo-(a—b)Xo丄(a2b2)—些」M。
IL22
X-XodX
命题2设f(x)C1db!
h=b7
证明:
I
(X)dx
n
n
Σ
iz1
f(i)
a(i_1)h
n
f(x)dx_h'f(i)
iA
n
≤Σ
aJh
ag)hf(x)dX一hf(J
a-ih
a(*)hf(X)dX_hf(i)
2 =1,2,…,n maxf"(x),i=12…,nX迂a十i」)h,a屮h] I与I如上,则丨与I的误差满足1—1=0(丄)。 n 于是 I—I≤∑ MLh2EM(bi422n -a)2 ~1 I_l=0(_)。 n 3.3“类梯形”Monte—Carlo方法 再给出平均值法的另一种改进。 首先将a,bln等分,再在每个子区间上随机产生2n个相互独立且服从[0,1]上均匀分布的随机变量序列,并两两分组,得 {;=,;},(i=1,2,3,…,n);做变换 „b—aK 2ii=a(2i—22i」) 2n b—a 2i-a(2i-12i) 2n 将;iX,^2i分别映射到子区间 i-12i-1 [a(b-a),a(b-a)] n2n 2i—1i [a(b-a),a—(b—a)],i=1,2,3,,n 2nn 然后在每个等分子区间上[a∙i"(b—a),ai(b—a)]利用2^,2i两点类似于梯形 公式构造“类梯形”公式 b_a Si[f(2i1)f(2i)] n 近类似 a-ih f(x)dx. a: ;;(iJ)h 最后计算 I的近似值~,~.b-a×nf(2i^)f(2i)ni土2 下面证明 “类梯形”方法可行性的两个命题: 设fX卢C2[a,b],记M=m『X]f HX,则-Xi 命题3 a一Xi一X2,有 x2 b-a XdX- 2 证明: 过Xi,fX,X2,fX2两点的直线方程为 P(x)=fXi •亠XF x2_Xi 所以P(Xi)=f(Xi),i=1,2。 令 R(x)=f(X)-P(x)=k(x)(x-x)(x—X2) (1) 将X看成∣a,b1上的一个定点,构造辅助函数 (t)=f(t)—P(t)—k(x)(t—xj(t—X2) 由于YXi)=(X2^’(X)=0,由ROlIe中值定理,"(t)在a,b内至少有两个零点,对’(t)再用Rolle中值定理,知■''(t)在a,b内至少有一个零点,即存在: a,b,使'’(^f’’(^2k(x^0,所以k(x)=LQ.将它代入 (1)式,并两段同时从a到b积分, 2 得 b f'’() 2 (X-XI)(X—x2)dx M ≤—— 2 L(X1,X2) b Jl(X—Xj(X—X2)dX a X If(X —XI)(X x2b X2)dx亠I(X—Xι)(X—X2)dx亠I(^—XI)(^-X2)dX X1x2 X1X2b =(X「x1)(x「x2)dx亠I(X「x1)(x「x2)dx亠I(X「x1)(x「x2)dx aX1 x2 x2 不妨设a: : : x1: : : x2 : : : b,则将L(x1,×2)分别对求偏导数,得 LXI =(b—a)(x2 LX2 二(b—a)( X1 ab ) 2 ab) 2 -(X2 —χj2 (X2 解得唯一驻点: Xl X2 1 (3ab) 4 1 (a3b) 4 3aba3b L(,) 44 (b—a)3 L(a,b)=S 166 故当a_x1: : : x2-b日寸, b fXdX- a b_a∣-- 厂fX1fX2 M L(X1,X2) 2 3 b「a M 12 结论成立。 命题4设f(X)∙C2a,bl b—a h,M n maxIf∖x),Mi= x⅛l,bJ Imax XWa∙(i4)h,a∙ih f7x),U1,2,…n I与I如上,则I与I的误差满足: I-~=0(丄)。 n 证明: bb—a f(x)dx- n =Σ i-X n ≤Σ i-Λ a-ih a(iDh a-ih a(iDh nf Σ_ ni三 nf(2ij)■f^2i)f(x)dx-h' iz1 (2i1-2i) f(x)dx_f(2i」)f(2i) 2 由命题3,得 a-ih a(i1)h f(x)dx- f(Zf(2i)h 2 Mi3. h,i=1,2,…,n 12 于是 -I<∑^h3 y12 2 12n ~1 I=o(p。 n 4.例题 对于积分 4 01x2 dx,该积分精确值为3.1416.下面分别给出本文所涉及计算方法对 它的计算结果: 4.1用三种基于几何意义的算法: 矩形算法,梯形法,抛物线法作比较,结果如表1: 表1 几何意义算法的比较 分割数 算法 近似值 误差 矩形 3。 14241294 8。 3e^ 101 梯形 3。 1399398 1∙7e° 抛物线 3。 1415569 。 8 4.1e 矩形 3.1415528 8.3e^ 102 梯形 3。 1416496 1.7e’ 抛物线 3。 14160128 -Λ1 4.0e 4。 2用平均值法,及其改进“类矩形”MOnte—Carlo方法,“类梯形”MOnte-Carlo方法计 算结果如表2: 表2概率意义算法的比较 节点数 算法 近似值 误差 平均值法 3.13849728 —3。 1e^ 104 类矩形法 3.1416903 7。 0e~ 类梯形法 3.14160029 —2。 0e^ 5.结语 本文介绍的几种求积公式各有特点: 梯形求积公式和抛物线法求积公式是低精度公式 但对于光滑性较差的被积函数有时比用高精度方法能得到更好的效果,尤其是梯形求积公 式•当被积函数为周期函数时,效果更为突出.由表1分析,一般情形下,三种基于几何的算法中矩形算法的误差最大,梯形法次之,抛物线法最高。 抛物线法的积分精度远远高于另外两种方法,特别是在积分区间分割份数较小的情况下,仍然保持较高的近似程度• “类矩形”MOnte-Carlo方法;“类梯形”MOnte—Carlo方法是平均值法的改进,提高了平均值法的精确度.通过表2可以看出,直接用平均值法计算定积分,ιo4节点的计算已经很可观了,但计算结果只有2位有效数字,而选取同样的节点数,计算量几乎不变,类矩阵法就达到了4位有效数字,类梯形法则达到了8位有效数字,恰好与上述定理中误差阶的估计是一致的,从而也验证了“类矩形”Monte-Carlo方法和”类梯形”Monte—Carlo方法的高效性.从表2中也可以看出随着节点数的增大,积分精度会不断提高,当然计算复杂度就会增加。 参考文献 [1]费祥历,刘奋,马铭福•高等数学(第2版上册)[M].山东: 石油大学出版社,2008: 211—287。 [2]徐萃薇,孙绳武•计算方法引论(第三版)。 北京: 高等教育出版社,2007。 [3]王晓东•计算机算法分析与设计[M]。 北京: 电子工业出版社,2001: 197—228。 [4]徐钟济•蒙特卡罗方法[M]。 上海: 上海科学技术出版社,1985. ⑸张平文,李铁军,数值分析[M]。 北京: 北京大学出版社,2007。 ⑹阮宗利.计算一元定积分的若干数值算法及其比较[J]。 中国石油大学学报(科技教育),2010: 182—184. [7]朱长青.计算方法及其应用。 北京: 科学出版社,2006。 [8]张威,刘志军,李艳红.数值分析与科学计算。 北京: 清华大学出版社,200,5 [9]明万元,郑华盛。 求解数值积分的两类新的Monte—Carlo方法[J].南昌航空大学学报,2010,40(10): 180—186. [10]文U长虹,关永亮等.蒙特卡洛在数值积分上的应用[J]。 上海工程技术大学学报,2010,24 (1): 43—46. [11]王岩.Monte-Carlo方法应用研究[J].云南大学学报(自然科学版),2006,28(SI): 23-26.
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