人教A版选择性必修第二册等差数列综合检测题.docx
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人教A版选择性必修第二册等差数列综合检测题
人教A版选择性必修第二册等差数列综合检测题
一、单选题
1.已知是等差数列,且,则的值是()
A.20B.15C.10D.5
2.在等差数列中,若,,则()
A.B.C.D.
3.5与11的等差中项是()
A.B.C.D.
4.已知等差数列{an},公差d≠0,Sn为其前n项和,S12=8S4,则=( )
A.B.C.D.
5.我国古代名著《孙子算经》中有如下有趣的问题:
“今有三女,长女五日一归,中女四日一归,少女三日归.问三女何日相会?
”.意思是:
“一家有三个女儿都已出嫁.大女儿五天回一次娘家,二女儿四天回次娘家,小女儿三天回一次娘家.三个女儿从娘家同一天走后,至少再隔多少天三人可以再次在娘家相会?
”,三人再次在娘家相会,则要隔的天数可以为()
A.90天B.180天C.270天D.390天
6.在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,则这五个数为()
A.3、8、13、18、23B.4、8、12、16、20
C.5、9、13、17、21D.6、10、14、18、22
7.已知等差数列的前项和为,且.定义数列如下:
是使不等式成立的所有中的最小值,则()
A.25B.50C.75D.100
8.等差数列中,,则的值为()
A.B.
C.10D.20
9.记为等差数列的前项和.若,,则的公差为()
A.B.C.D.
10.已知数列中,,且满足,若对于任意,都有成立,则实数的最小值是()
A.2B.4C.8D.16
11.已知等差数列的前项和满足:
,若,则的最大值为()
A.B.C.D.
12.定义:
在数列中,若满足(,为常数),称为“等差比数列”。
已知在“等差比数列”中,则()
A.B.
C.D.
第II卷(非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
13.设是等差数列的前项和,若,则______.
14.若数列的前项和为,则__________.
15.已知数列满足,且,,则______.
16.“可数集”是现代集合理论中的一个基本概念,可以理解为满足如下条件的一类集合:
存在一个数列,包含了集合中的所有元素,且任意元素在该数列中都至少有一个确定的位置.例如,正有理数集是一个可数集,且被包含在如下数列中:
,依照此规律,则该数列前100项中有____________项的值等于l.
三、解答题
17.已知等差数列的前n项和为,且,.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
18.已知等差数列满足:
,,的前项和为.
(Ⅰ)求通项公式及前项和;
(Ⅱ)令,求数列的前项和.
19.在等比数列中,已知,.
(1)求数列的通项;
(2)在等差数列中,若,,求数列前项和.
20.为等差数列的前项和,已知,.
(1)求数列的通项公式;
(2)求,并求的最小值.
21.在等差数列{an}中,a1+a3=8,且a4为a2和a9的等比中项,
(1)求数列{an}的首项,公差;
(2)求数列{an}的前n项和.
22.已知数列的前项和.
(1)求证:
是等差数列;
(2)求数列的前项和.
参考答案
1.B
【分析】
利用等差数列的性质直接求解.
【详解】
是等差数列,且,
.
故选:
B.
【点睛】
本题考查等差数列的性质,属于基础题.
2.A
【分析】
利用等差中项的性质可求得的值.
【详解】
由等差中项的性质可得,.
故选:
A.
【点睛】
本题考查利用等差中项的性质求值,考查计算能力,属于基础题.
3.B
【分析】
根据等差中项的定义,直接计算,即可得出结果.
【详解】
5与11的等差中项是.
故选:
B.
【点睛】
本题主要考查求等差中项,属于基础题型.
4.C
【分析】
利用等差数前项和公式推导出,再由可得结果
【详解】
解:
因为等差数列{an},公差d≠0,S12=8S4,
所以,解得,
所以
故选:
C
【点睛】
此题考查等差数列的通项公式和前项和公式和基本量计算,属于基础题
5.B
【分析】
求得的公倍数,由此确定正确选项.
【详解】
由可知,要隔的天数为60的正整数倍.
故选:
B
【点睛】
本小题主要考查中国古代数学文化,可看成是公差为的等差数列,属于基础题.
6.C
【分析】
根据首末两项求等差数列的公差,再求这5个数字.
【详解】
在1与25之间插入五个数,使其组成等差数列,
则,则,
则这5个数依次是5,9,13,17,21.
故选:
C
7.B
【分析】
先求得,根据,求得,进而得到,结合等差数列的求和公式,即可求解.
【详解】
由题意,等差数列的前项和为,且,可得,
因为,即,解得,
当,()时,,即,
即,
从而.
故选:
B.
8.A
【分析】
利用等差数列的性质即可求解.
【详解】
由,
所以.
故选:
A
9.C
【分析】
由等差数列前项和公式以及等差数列的性质可求得,再由等差数列的公式即可求得公差.
【详解】
解:
,
,
又,
,
.
故选:
C.
10.A
【分析】
将变形为,由等差数列的定义得出,从而得出,求出的最值,即可得出答案.
【详解】
因为时,,所以,而
所以数列是首项为3公差为1的等差数列,故,从而.
又因为恒成立,即恒成立,所以.
由得
所以,所以,即实数的最小值是2
故选:
A
11.C
【分析】
首先根据数列的通项与的关系,得到,,,再根据选项,代入前项和公式,计算结果.
【详解】
由得,,,.
又,
,
.
故选:
C.
【点睛】
关键点睛:
本题的第一个关键是根据公式,判断数列的项的正负,第二个关键能利用等差数列的性质和公式,将判断和的正负转化为项的正负.
12.C
【分析】
利用定义,可得是以1为首项,2为公差的等差数列,从而,利用,可得结论.
【详解】
,,
,
是以1为首项,2为公差的等差数列,
,
.
故选:
C.
【点睛】
数列的递推关系是给出数列的一种方法,根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项,由递推关系求数列的通项公式,常用的方法有:
①求出数列的前几项,再归纳猜想出数列的一个通项公式;②将已知递推关系式整理、变形,变成等差、等比数列,或用累加法、累乘法、迭代法求通项.
13.1
【分析】
先设等差数列的公差为d,根据题意得出首项和公差的关系,再由求和公式计算,即可求出结果.
【详解】
设等差数列的公差为d,
因为,所以,即,
所以.
故答案为:
1.
14.
【分析】
对递推关系多递推一项,再相减可得,即可得答案;
【详解】
当时,,解得:
,
当时,
整理得:
,即,
故数列是以为首项,为公比的等比数列,
所以.
故答案为:
15.2380
【分析】
由已知是等差数列,可得,由累加法可求出,即可求出.
【详解】
,,
是首项为,公差为3的等差数列,
,
,
.
故答案为:
2380.
【点睛】
本题考查的知识是能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.
16.7
【分析】
按照规律对数列中的数分组,可得显然当时,在第组中的第个数为,然后求出该数列前100项,共排了几组数,从而得到答案.
【详解】
根据数列的规律,将这些数按照下列方式进行分组:
第一组的数:
第二组的数:
第三组的数:
第四组的数:
第五组的数:
第组的数:
显然仅当时,在第组中的第个数为
前组一共有个数.由,得
当时,,当时,
由,
所以该数列前100项,按照上面的规律排了完整的13组,第14组只排了9个数,
所以该数列前100项中有7个组会出现1,故有7个1.
故答案为:
7.
【点睛】
关键点睛:
本题考查数列的规律和前项和的公式的应用,解答本题的关键是根据数列的规律进行分组,得出当时,在第组中的第个数为,再由,求出第100个数排在第几组中,从而得出答案,属于中档题.
17.
(1)
(2)
【分析】
(1)将已知条件转化为的形式,列方程组,解方程组求得的值,进而求得数列的通项公式.
(2)根据
(1)的结论求得数列的前项和公式.
【详解】
设的公差为d,则由题意得,
解得:
.
(1)的通项公式为,
即.
(2)的前n项和为.
【点睛】
本小题主要考查利用基本元的思想求等差数列的基本量、通项公式和前项和.基本元的思想是在等差数列中有个基本量,利用等差数列的通项公式或前项和公式,结合已知条件列出方程组,通过解方程组即可求得数列,进而求得数列其它的一些量的值.
18.(Ⅰ);;(Ⅱ).
【分析】
(Ⅰ)设等差数列的公差为,根据题中条件,求出首项和公差,进而可得通项公式,以及前项和;
(Ⅱ)先由由(Ⅰ)得到,根据裂项相消的方法,即可求出数列的和.
【详解】
(Ⅰ)设等差数列的公差为,由己知可得,
解得,,
所以;
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
所以,
所以,
即数列的前项和.
【点睛】
结论点睛:
裂项相消法求数列和的常见类型:
(1)等差型,其中是公差为的等差数列;
(2)无理型;
(3)指数型;
(4)对数型.
19.
(1);
(2).
【分析】
(1)先由题设求出等比数列的公比,再求其通项公式;
(2)先由题设和
(1)中求得的求得等差数列的首项与公差,再求得其前项和.
【详解】
解:
(1)设等比数列的公比为,由题设知:
,
,因此;
(2)由
(1)可得:
,,
公差,
.
20.
(1);
(2),时,的最小值为.
【分析】
(1)设的公差为,根据题意,求出公差,即可得出通项公式;
(2)由
(1)的结果,根据等差数列的求和公式,求出,配方,即可得出其最小值.
【详解】
(1)设的公差为,由,得,
解得,
所以的通项公式为;
(2)由
(1)得,
又,
所以当时,取得最小值,最小值为.
21.
(1)a1=4,d=0或a1=1,d=3;
(2)前n项和为Sn=4n或.
【分析】
由等比数列性质得,然后结合用基本量法求解.
【详解】
(1)由题意,又,
∴,解得,
∴
(2),直接利用等差数列求和公式得,
.
【点睛】
关键点睛:
解题关键就是利用等差数列的通项和求和公式进行求解
22.
(1)证明见解析;
(2).
【分析】
(1)现根据已知条件求解出的通项公式,然后根据等差数列的定义证明为等差数列;
(2)先将的通项公式分段书写,然后对分类讨论,由此求解出的最终结果.
【详解】
(1)由题意得
①若,则,
②若,则,经检验满足上式.
故,
由可知,数列是首项为23,公差为的等差数列.
(2)易得:
①若,,
②若,,
综上.
【点睛】
思路点睛:
已知为等差数列,求解的前项和的思路:
(1)先根据项的正负将的通项公式分段书写;
(2)根据分段的通项公式,分别考虑在对应的范围下的计算方法,由此求解出结果.
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- 人教 选择性 必修 第二 等差数列 综合 检测