二次函数根与系数关系.docx
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二次函数根与系数关系
一元二次程的根与系数的关系也称为韦达定理,其逆定理也成立,它是由16世纪的法国数学家韦达发现的.它揭示了实系数一元二次程的根与系数的关系,它形式简单但涵丰富,在数学解题中有着广泛的应用.
【知识要点】
1.如果程
(a≠O)的两根为
,
,那么
,
,这就是一元二次程的根与系数的关系.
2.如果两个数的和为m,积为n,则以这两个数为根的一元二次程为
.
3.若已知一元二次程的一个根,可不直接解原程,利用根与系数关系,求出另一根.
4.求一元二次程根的对称式的值,关键在于利用两根和及两根积表示所给对称式.
5.当一元二次程
(a≠O)有两根
,
时:
(1)若
,则程有一正一负根;
(2)若
,
,则程有两个正根;(3)若
,
,则程有两个负根.
【趋势预测】
利用根与系数关系,可以解决多有关程的问题,有些非程类的问题我们也可以通过根与系数关系构造一元二次程,然后用一元二次程的知识来解.因此预测以后竞赛的重点在以下几个面:
①求程中字母系数的值或取值围;
②求代数式的值;
③结合根的判别式,判断根的符号特征;
④构造一元二次程解题;
⑤证明代数等式,不等式;
⑥与一元二次程的整数根有关的问题.
【例解读】
题1 (1997·) 已知二次程
(ac≠0)有两异号实根m和n,且m 的根的情况是 ( ) (A)有两个负根 (B)有两个正根 (C)两根异号 (D)无实数根 分析 首先考虑程 的判别式的符号.如果由判别式符号确定程有实根,还要通过根与系数关系来确定两根的正负号. 解 ∵m,n异号且m ∴ m<0,n>0,从而 , . 程 的判别式: ,故程 必有两实根. 设这两个实根为 , ,则由根与系数关系得 , ,可知 , 均为负数,故选(A). 题2 (1997·上海) 若a和b是程 的两个实根,c和d是程 的两个实根,e和f是程 的两个实根,则 的值为_____________. 分析 由已知可得ab=3,cd=3,ef=3,a+b=-2p,c+d=-2q, ,将(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)展开,把上列数值代入,可得所求值.但若全部展开,结果很繁,因此考虑局部展开,分步代入. 解 由程根与系数关系得 ab=3,cd=3,ef=3,a+b=-2p,c+d=-2q, ,则 题3 (1996·祖冲之杯) 已知α,β是程 的两根,α>β,不解程,求 的值. 分析 待求式中α,β是不对称的,但根与系数的关系具有对称性,应设法构造一个与待求式相对应的代数式一起辅助解决问题. 解 由根与系数的关系得α+β=7,αβ=8, ∴ , . 因α>β,故 , . 记 ,令 ,从而 , ∴ . 题4 (2000·) 已知 , ,其中m,n为实数,则 __________. 分析 根据两个程系数的特点,可作恰当的变形,使两个程具有相同的结构.把两个变元看成关于某个字母的一元二次程,然后用根与系数关系来求值. 解 由已知等式可变形成 与 , 由于m, 的关系没有给定,故应分两种情况: ①当 时, ; ②当 时,可知m, 是程 的两个根,则由根与系数关系 得 , . ∴ . 综合①,②得 或 . 题5 (1996·) 设 的两个实根为α,β, (1)求以 , 为根的一元二次程; (2)若以 , 为根的一元二次程仍是 ,求所有这样的一元二次程. 分析 根据程根与系数关系求 和 的值,由此即可作出新程;根据新程的一次项系数等于-p,常数项等于q,可求得p,q的值. 解 (1)由根与系数关系得α+β=p,αβ=q,∴ , .所求程是 ; (2)由题意得 则 根据七种情况的值依次得以下七个程: , , , , , , . 其中仅 无实数根,舍去. 故所有这样的一元二次程有六个,分别为: , , , , , . 题6 (2000·全国) 设关于x的二次程 的两根都是整数.求满足条件的所有实数k的值. 分析 根据程系数的特点,可先用十字相乘法求出程两根,然后利用两根都是整数设法先消去是求得两根后,再求出是的值. 解 原程可化为 . ∵(k-4)(k-2)≠0,∴解得程两根为 , ∴ , , 消去k,得 ,∴ . 由于 , 都是整数,故 对应的k的值分别为6,3, . 【法指引】 1.构造对偶式法.对一个已知代数式或一个已知命题,我们构造一个与之对应的代数式或对应的命题,然后一起参与运算(通常是加、减、乘、除),从而使问题获得巧解.这种法称为构造对偶式法.常用的构造法有利用倒数关系、有理化因式、配对等. 2.解一元二次程的整数根问题的基本法有: (1)直接求解法.若根可用有理式表示,则先求出根,再结合整除性求解. (2)利用判别式法.在二次程有根的前提下通过判别式确定字母或根的围,运用枚举法讨论,不等式分析求解. (3)运用根与系数的关系.由根与系数的关系得到待定字母表示的两根和、积式,从中消去待定字母,再通过因式分解和整数性质求解. (4)巧换主元法.若运用相关法直接求解困难时,可选择换主元的法,结合整除知识求解. 【综合能力训练】 1.△ABC的一边长为5,另两边长恰好是程 的两根,那么m的取值围是________________. 2.设 , 是程 的两实根,且 ,则k的值是 ( ) (A)-3或1 (B)-3 (C)1 (D)不小于 的一切实数 3.若程 的两根为α,β,它也是程 的两个根,则 p=_____________. 4.若ab≠1,且有 ,及 ,则 的值是( ) (A) (B) (C) (D) 5.在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA和sinB是程 的两根,求∠A和∠B的度数及k的值. 6.求满足如下条件的所有k值,使关于x的程 的根都是整数。 参考答案 【综合能力训练】 1.设另外两边长为a、b,则 , ,因为a,b是实数,所以 ,即 ,∴ . 由三角形两边之差小于第三边,有 , , ∴ ,故m的取值围为 。 2.由根与系数关系得 , ,而 由题意得 ,解得 , 。 而当 时, ,无实数根,舍去;当 时,程的两个实数根为1和3。 故选(C)。 3.由 是程 的两根得 , , ∴ . 由 是程 的两根,得 , 。 两式相减,得 。 4.原式可变形为 , ,又 即 , ∴a, 是程 的两根。 ∴ ,即 . 故选(A)。 5.由根与系数关系,得 ∵∠A+∠B=90°,∴ 。 于是有 由①式两边平,得 。 ③ 由②、③式知 . 又由①、③式可得 , 是程 的两根,则有 ,即 ,故∠A=∠B=45°。 6. (1)若k=0,则程为 ,解得 符合题意; (2)若 ,设程的两个整数根为 , ( ),则有 ①-②得 , 。 ∴ ∴ 或 , ∴ , , 或 ,k=1。 又当 或k=1时,判别式均可得到 ,∴ 或k=1。 综上所述,满足条件的所有k的值有三个,分别为k=0, 或1。
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- 二次 函数 系数 关系