九年级数学圆的性质及习题.docx
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九年级数学圆的性质及习题
、圆的概念
集合形式的概念:
1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;
2
、圆的外部:
可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合;
3
轨迹形式的概念:
、圆的内部:
可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
1、圆:
至U定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆;
固定的端点O为圆心。
连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径。
圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧。
2、垂直平分线:
到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线;
3、角的平分线:
至U角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是:
平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线;
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是:
平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。
四、圆与圆的位置关系
外离
(图
1)
—
无交点
—
dRr;
外切
(图
2)
—
有一个交点
—
d=Rr;
相交
(图
3)
—
有两个交点
—
R-r:
:
d:
:
Rr;
内切
(图
4)
—
有一个交点
—
d=R_r;
=d:
:
:
R_r;
五、垂径定理
垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧
推论1:
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;
(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理,简称2推3定理:
此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即:
①AB是直径②AB_CD③CE=DE中任意2个条件推出其他3个结论。
推论2:
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
即:
在OO中,tAB//CD
•••弧AC二弧BD
④弧BC二弧BD
⑤弧AC二弧AD
六、圆心角定理
顶点到圆心的角,叫圆心角。
圆心角定理:
同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等。
此
定理也称1推3定理,即上述四个结论中,
只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,
即:
①AOB=/DoE:
②AB=DE;
③OC=OF:
④弧BA=弧BD
A
B
D
对的弧是半圆,
角形是直角三
七、圆周角定理
顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫圆周角。
1、圆周角定理:
同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的
即:
∙∙∙.AoB和.ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角
∙∙∙.AOB=2ACB
2、圆周角定理的推论:
推论1:
同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,
的弧是等弧;
即:
在。
O中,∙∙∙•C、.D都是所对的圆周角
C=.D
推论2:
半圆或直径所对的圆周角是直角;圆周角是直角所所对的弦是直径。
即:
在OO中,IAB是直径或I.C=90
..C=90.AB是直径
推论3:
若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形。
即:
在△ABC中,IOC=OA=OB
•••△ABC是直角三角形或∙C=:
90
注:
此推论实是初二年级几何中矩形的推论:
在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定
八、圆内接四边形圆的内接四边形定理:
圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角。
即:
在OO中,
•••四边形ABCD是内接四边形
CBAD=180
BD=180
.DAE=∕C
九、切线的性质与判定定理
(1)切线的判定定理:
过半径外端且垂直于半径的直线是切线;
两个条件:
过半径外端且垂直半径,二者缺一不可
即:
VMN丄OA且MN过半径OA
外端
∙∙∙MN是。
O的切线/
O
(2)性质定理:
切线垂直于过切点的半径(如上图)(
■
推论1:
过圆心垂直于切线的直线必过切F—
A
N点0
推论2:
过切点垂直于切线的直线必过圆
心。
以上三个定理及推论也称二推一定理:
即:
①过圆心;②过切点;③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个
十、切线长定理
切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
即:
∙∙∙PA、PB是的两条切线点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
2
二CE=AEBE
即:
在。
O中,∙∙∙PA是切线,PB是割线
2
∙∙∙PA=PCPB
(4)割线定理:
从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(如上图)。
即:
在。
O中,TPB、PE是割线
∙∙∙PCPB=PDPE
十二、两圆公共弦定理
(2)外公切线长:
CO2是半径之差;内公切线长:
CO2是半径之和。
AB:
OB:
OA=1:
∙.3:
2.
十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
1、扇形:
(1)弧长公式:
R;
180
(2)扇形面积公式:
R
3602
2、圆柱:
(1)A圆柱侧面展开图
S^=SM2S底=2二rh2二r2
B圆柱的体积:
V-二r2h
(2)A圆锥侧面展开图
S^=S侧'S底=爲Rrn:
;r
1
B圆锥的体积:
V=-二r2h
3
一、圆的定义。
1、以定点为圆心,定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内,至U—个定点的距离都相等的点组成的图形。
二、圆的各元素。
1、半径:
圆上一点与圆心的连线段。
2、直径:
连接圆上两点有经过圆心的线段。
3、弦:
连接圆上两点线段(直径也是弦)。
4、弧:
圆上两点之间的曲线部分。
半圆周也是弧。
(1)劣弧:
小于半圆周的弧。
(2)优弧:
大于半圆周的弧。
5、圆心角:
以圆心为顶点,半径为角的边。
&圆周角:
顶点在圆周上,圆周角的两边是弦。
7、弦心距:
圆心到弦的垂线段的长。
三、圆的基本性质。
1、圆的对称性。
(1)圆是轴对称图形,它的对称轴是直径所在的直线。
(2)圆是中心对称图形,它的对称中心是圆心。
(3)圆是旋转对称图形。
2、垂径定理。
(1)垂直于弦的直径平分这条弦,且平分这条弦所对的两条弧。
(2)推论:
平分弦(非直径)的直径,垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
平分弧的直径,垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。
圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
(1)同弧所对的圆周角相等。
(2)直径所对的圆周角是直角;圆周角为直角,它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中,两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一
对量相等,其余四对量也分别相等。
5、夹在平行线间的两条弧相等。
6设ΘO的半径为r,OP=d。
d
d=r点P在ΘO上
d>r(r 7、 (1)过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。 (2)不在同一直线上的三点确定一个圆,圆心是三边中垂线的交点,它到三个点的距离相等。 (直角三角形的外心就是斜边的中点。 ) 8、直线与圆的位置关系。 d表示圆心到直线的距离,r表示圆的半径。 直线与圆有两个交点,直线与圆相交;直线与圆只有一个交点,直线与圆相切;直线与圆没有交点,直线与圆相离。 2 d d=r'=直线与圆相切。 d>r(r 9、平面直角坐标系中,A(xi,yi)、B(x2,y2)0 则AB=(Xi-X2)2(yi-丫2)2 10、圆的切线判定。 (1)d=r时,直线是圆的切线。 切点不明确: 画垂直,证半径。 (2)经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线 切点明确: 连半径,证垂直。 11、圆的切线的性质(补充)。 (1)经过切点的直径一定垂直于切线。 (2)经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心 12、切线长定理 (1)切线长: 从圆外一点引圆的两条切线,切点与这点之间连线段的长叫这个点到圆的切线长 (1)三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点,它到三边的距离相等 (2)如图,△ABC中,AB=5,BC=6,AC=7,ΘO切厶ABC三边于点D、E、FO求: AD、BE、CF的长。 分析: 设AD=X,贝UAD=AF=X,BD=BE=5—X,CE=CF=7—x.可得方程: 5—X+7—x=6,解得x=3 (3)△ABC中,∠C=90°,AC=b,BC=a,AB=Co 求内切圆的半径ro 分析: 先证得正方形ODCE, 得CD=CE=r AD=AF=b—r,BE=BF=a—r b—r+a—r=c 得r=ab-c得r= 2 1 (4)SδABC=r(ab■c) 2 14、(补充) (1)弦切角: 角的顶点在圆周上,角的一边是圆的切线,另一边是圆的弦。 如图,BC切ΘO于点B,AB为弦,∠ABC叫弦切角,∠ABC=∠D (2)相交弦定理。 圆的两条弦AB与CD相交于点P,贝UPA∙PB=PC∙PDo (3)切割线定理。 如图,PA切ΘO于点A,PBC是ΘO的割线,贝UPA2=PB∙PCo (4) 推论: 如图,PAB、PCD是ΘO的割线,贝UPA∙PB=PC∙PDo 15、圆与圆的位置关系。 (1)外离: d>n+Q,交点有 外切: d=r1+r2,交点有 相交: r1—r2 d=r1—匕,交点有 内含: 0≤d (2)性质。 相交两圆的连心线垂直平分公共弦相切两圆的连心线必经过切点 16、圆中有关量的计算。 (1)弧长有L表示,圆心角用n表示,圆的半径用R表示。 nn兀R L=2二R= 360180 (2) 扇形的面积用S表示。 (3)圆锥的侧面展开图是扇形 r为底面圆的半径,a为母线长。 扇形的圆心角α=—3600 a 2 S侧=二arS全=二ar+二r 1、圆的有关概念与性质 1.圆上各点到圆心的距离都等于半径。 2.圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴;圆又是中心对称图 形,圆心是它的对称中心。 3.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧;平分弦(不是直径)的直径垂直 于弦,并且平分弦所对的弧。 4.在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦心距,两个圆周角中有一组量相等,那 么它们所对应的其余各组量都分别相等。 5.同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于它所对的圆心角的一半。 6.直径所对的圆周角是90°,90°所对的弦是直径。 7.三角形的三个顶点确定J_个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,三角形的外接圆的圆心叫心,是 三角形三边垂直平分线的交点。 8.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点的 交点,叫做三角形的内心。 9.圆内接四边形: 顶点都在圆上的四边形,叫圆内接四边形. 10.圆内接四边形对角互补,它的一个外角等于它相邻内角的对角 2、与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系共有三种: ①点在圆外,②点在圆上,③点在圆内;对应的点到圆心的距 离d和半径r之间的数量关系分别为: ①d>r,②d=r,③d 2.直线与圆的位置关系共有三种: ①相交,②相切,③相离; 对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为: ①d 3.圆与圆的位置关系共有五种: ①内含,②相内切,③相交,④相外切,⑤外离; 两圆的圆心距d和两圆的半径Rr(R≥r)之间的数量关系分别为: ①d 4.圆的切线垂直于过切点的半径;经过直径的一端,并且垂直于这条 直径的直线是圆的切线. 5.从圆外一点可以向圆引-J—条切线,切线长相等,这点与圆心之间的连线平分这两条切线的 夹角。 3、与圆有关的计算 1.圆的周长为2∏r nJir 为180,弧长公式为 1°的圆心角所对的弧长为面 I=⅛0=n为圆心角的度数上为圆半径 n的圆心角所对的弧长 ). 2.圆的面积为 πr2,1°的圆心角所在的扇形面积为 n 360 2 二r 360 ,n°的圆心角所在的扇形面积为 S= *rl(n为圆心角的度数,R为圆的半径) 3.圆柱的侧面积公式: S=2二rI(其中为底面圆的半径 为圆柱的高.) 4.圆锥的侧面积公式: S=(其中为底面的半径,为母线的长.) 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积 、选择题(每小题3分,共45分) 1.在△ABC中,∠C=90°, 是()。 A.C在ΘA上 C.C在ΘA内 2.一个点到圆的最大距离为 A.16cm或6cm 3.AB是Θ0的弦,∠ A.40°B. 4.O是厶ABC的内心, A.130° 测试题 AB=3cm,BC=2cm,以点A为圆心,以 2.5cm为半径作圆, 则点C和ΘA的位置关系 B.C在ΘA夕卜 D.C在ΘA位置不能确定。 11cm,最小距离为5cm,则圆的半径为 B.3cm或8cmC.3cm AOB=80°则弦AB所对的圆周角是()。 140°或40°C.20°D.20°或 ∠BOC为130°,则∠A的度数为( B.60° )。 D.80° )。 D.8cm 160° 5.如图1,ΘO是厶ABC的内切圆,切点分别是DE、F,已知∠A=100°,∠C=30°,A.55°B.60° 6.如图2,边长为12米的正方形池塘的周围是草地,池塘边 D.70° A、BC 则∠DFE的度数是()。 处各有一棵树,且AB=BC=CD=米.现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上.为了使羊在草地上活动区域的面积最大,应将绳子拴在( A.A处B.B处 图1 7.已知两圆的半径分别是 A•内含 8.已知半径为 A.R+r 图2 3,那么这两圆的位置是(.相交 2和4, B.内切 R和r的两个圆相外切。 则它的外公切线长为( C.■R+r 则圆锥的侧面积为( C.15π n个正三角形恰好可以进行平面镶嵌,则n .5D 圆心距是 C B.∙R2+r2I 3,咼为4, .12π 9•已知圆锥的底面半径为 A.10∏B 10.如果在一个顶点周围用两个正方形和 A.3B.4C 11.下列语句中不正确的有( 1相等的圆心角所对的弧相等 2平分弦的直径垂直于弦 3圆是轴对称图形,任何一条直径都是它的对称轴 4长度相等的两条弧是等弧 A.3个B.2个 C.1个 D.外切 )。 D.2Rr )。 D.20π 的值是()。 D.4个 12.先作半径为3的第一个圆的外切正六边形,接着作上述外切正六边形的外接圆,再作上述外接圆的外切正 2 图3图4 二、填空题(每小题3分,共30分) 1.两圆相切,圆心距为9Cm,已知其中一圆半径为5cm,另一圆半径为. 2.两个同心圆,小圆的切线被大圆截得的部分为6,则两圆围成的环形面积为。 3.边长为6的正三角形的外接圆和内切圆的周长分别为。 4.同圆的外切正六边形与内接正六边形的面积之比为。 5.矩形ABCD中,对角线AC=4,∠ACB=30°,以直线AB为轴旋转一周得到圆柱的表面积是。 6.扇形的圆心角度数60°,面积6π,则扇形的周长为。 7.圆的半径为4cm,弓形弧的度数为60°,则弓形的面积为。 8.在半径为5cm的圆内有两条平行弦,一条弦长为6cm,另一条弦长为8cm,则两条平行弦之间的距离为C 9.如图6,^ABC内接于OQAB=AC∠BoC=100,MN是过B点而垂直于OB的直线,则∠ABM= ∠CBN=L 10.如图乙在矩形ABCD中,已知AB=8cm,将矩形绕点A旋转90°,到达AB'C'D'的位置,则在转过程中,边CD扫过的(阴影部分)面积S=。 三、解答下列各题(第9题11分,其余每小题8分,共75分) 1.如图,P是ΘO外一点,PABPCD分别与ΘO相交于A、BC、DO (I)PO平分∠BPD (2)AB=CD;(3)OE丄CDOF⊥AB(4)OE=OFO从中选出两个作为条件,另两个作为结论组成一个真命题,并加以证明。 2.如图,ΘO的圆心在ΘO的圆周上,ΘO和ΘO交于A,B,AC切ΘO于A,连结CBBD是ΘO的直径,∠D40°求: ∠A0iB、/ACB和∠CAD的度数。 3 与ΘA的关系如何? 并证明你的结论。 C、D、E, DC=PA∙BCO 4.如图,ABCD是ΘO的内接四边形,DP//AC,交BA的延长线于P,求证: AD- C 5.如图"ABC中∠A=90°,以AB为直径的ΘO交BC于D,E为AC边中点,求证: DE是ΘO的切线。 6.如图,已知扇形OACB中∠AOB=120°,弧AB长为L=4π,ΘO'和弧ABOAOB分别相切于点求ΘO的周长。 7•如图,半径为2的正三角形ABC的中心为Q过Q与两个顶点画弧,求这三条弧所围成的阴影部分的面积。 8.如图,ΔABC的∠C=Rt∠,BC=4,AC=3,两个外切的等圆ΘQ,ΘQ各与AB,AC,BC相切于F,H,E,G 求两圆的半径。 9.如图①、②、③中,点ED分别是正厶ABC正四边形ABCM正五 边形ABCMr中以C点为顶点的相邻两边上的点,且BE=CD,DB交AE于P点。 ⑴求图①中,∠APD的度数; ⑵图②中,∠APD的度数为,图③中,∠APD的度数为; ⑶根据前面探索,你能否将本题推广到一般的正n边形情况.若能,写出推广问题和结论;若不能,请说 明理由。 参考答案 一、1、C2、B3、B4、D5、C6、B7、C8、D 9、C10、A11、D12、A13、D14、B15、C 二、1、4Cm或14cm;2、9π;3、3π,43π;4、4: 3; 5、(248.3)∏;6、12+2∏;7、(-∏-43)cm2;8、7cm或1cm;9、65°,50°;10、16πcnf。 3 三、 1、命题1,条件③④结论①②,命题2,条件②③结论①④. 证明: 命题1VOE⊥CD,OF丄AB,OE=OF, ∙∙∙AB=CD,PO平分∠BPD 2、/AO1B=140o,∠ACB=70,∠CAD=130。 3、作AD⊥BC垂足为D,VAB=AC∠BAC=120,∙∠B=∠C=30°. VBC=4...3,∙BD=IBC=2.3.可得AD=2•又vΘA半径为2, ∙∙∙ΘA与BC相切。 2 4、连接BD,证厶PAD^△DCB5、连接ODOE证厶OEA^AOED6、12π° 7、4π-630 【解析】解: 三条弧围成的阴影部份构成"三叶玫瑰",其总面积等于6个弓形的面 积之和•每个弓形的半径等于厶ABC外接园的半径R=(2∕sin60°)/2 =2√3/3每个弓形对应的园心角θ=π/每个弓形的弦长b=R=2√3/3. ∙一个弓形的面积S=(1∕2)R^2(θ-sinθ) =(1/2)(2√3∕3)^2[--si∕3[π/3)] =(2/3)(π-√3/2) 于是三叶玫瑰的总面积=6S=4(π/3-√3/2)=2(2π3√3)/3. 8、5。 提示: 将两圆圆心与已知的点连接,用面积列方程求。 9、(7I)VAABC是等边三角形∙AB=BC∠ABEgBCD=60 VBE=CD•••△ABE^△BCD∙∠BAE=ZCBD ∙∠APD∠ABP+∠BAE=ZABP+ZCBD∠ABE=60 (2)90°,108° (3)能.如图,点E、D分别是正n边形ABCM-中以C点为顶点的相邻两边上的点,且BE=CDBD与AE交 于点P,则∠APD的度数为(n-2)18°。 n 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.如图,△ABC内接于ΘO,∠A=400,则∠OBC的度数为() OOOO A.20B.40C.80D.70 2.如图,ΘO的直径为10,圆心O到弦AB的距离OM的长是3,则弦AB的长是() A.4B.6C.7D.8 3.下列命题中正确的是() A.平分弦的直径垂直于这条弦;B.切线垂直于圆的半径 C.三角形的外心到三角形三边的距离相等;D.圆内接平行四边形是矩形 4.以下命题中,正确的命题的个数是() (1)同圆中等弧对等弦. (2)圆心角相等,它们所对的弧长也相等. (3)三点确定一个圆.(4)平分弦的直径必垂直于这条弦. A.1个B.2个C.3个D.4个 5.如图,AB是半圆O的直径,∠BAC=20°,D是弧AC点,则∠D是() 0000 A.120B.110C.100D.90 6.若ΘO所在平面内一点P到ΘO上的点的最大距离为a,最小距离为b(a>b),则此圆的半径为() aba-bab^a—b亠 A.B.C.或D.a+b或a-b 2222 7.如图,顺次连接圆内接矩形各边的中点,得到菱形ABCD,若BD=10,DF=4,则菱 形ABCD的边长为() A.42B.5、、2C.6D.9 8.过ΘO内一点M的最长的弦长为6cm,最短的弦长为4cm.则OM的长为() A.,3CmB.
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