概率论与数理统计作业与解答.docx
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概率论与数理统计作业与解答
概率论与数理统计作业及解答
第一次作业★1.甲.乙.丙三门炮各向同一目标发射一枚炮弹•设事件ABC分别表示甲.乙.丙击中目标.则三门炮最多有一门炮击中目标如何表示•
事件E丸事件A,B,C最多有一个发生},则E的表示为
E=ABCABCABCABC;或工ABUacUbC;或工ABUACUBC;
或工ABACBC;或工ABC_(abCabcAbc).
(和AB即并AUB,当代B互斥即AB二'时.AUB常记为AB)
2.设M件产品中含m件次品.计算从中任取两件至少有一件次品的概率
112CmCMmCm
m(2M-m-1)
M(M-1)
★3.从8双不同尺码鞋子中随机取6只.计算以下事件的概率
A二{8只鞋子均不成双},B={恰有2只鞋子成双},C珂恰有4只鞋子成双}.
C6(C2)632C8C4(C2)480
P(A)8/0.2238,P(B)8皆0.5594,
143
★4.设某批产品共50件.其中有5件次品•现从中任取3件•求
(1)其中无次品的概率-
(2)其中恰有一件次品的概率‘
/八C51419C:
C599
⑴冷0.724.⑵虫产0.2526.
C501960C50392
5.从1〜9九个数字中•任取3个排成一个三位数•求
(1)所得三位数为偶数的概率-
(2)所得三位数为奇数的概率•
4
(1)P{三位数为偶数}=P{尾数为偶数}=-,
9
⑵P{三位数为奇数}=P{尾数为奇数}=5,
9
或P{三位数为奇数}=1-P{三位数为偶数}=1-彳=5.
99
6.某办公室10名员工编号从1到10任选3人记录其号码求
(1)最小号码为5的概率⑵
最大号码为5的概率记事件A={最小号码为5},B={最大号码为5}.
1
20
C2ic2
⑴P(A)=#詁;
(2)P(B)X=
C1012C10
7.袋中有红、黄、白色球各一个每次从袋中任取一球.记下颜色后放回共取球三次求下列事件的概率:
A={全红}B={颜色全同}C={颜色全不同}D={颜色不全同}E={无黄色球}F={无红色且无黄色球}G={全红或全黄}.
111a3!
28
p(a)=3^2?
p(b)=3p(a)=9,P(C^#=?
=9,P(DH^P(BH?
28112
P(E)亏方P(F)亏审P(Gr2P(A)盲
☆某班n个男生m个女生(m^n1)随机排成一列•计算任意两女生均不相邻的概率
☆•在[0■1]线段上任取两点将线段截成三段•计算三段可组成三角形的概率
1
4
第二次作业
1.设AB为随机事件P(A)=0.92■P(B)=0.93P(B|Z)=0.85求⑴P(A|B)
(2)p(auB)■
(1)0.85=P(B|A)=P(AB)P(AB),p(Ab)=0.850.08=0.068,
P(A)1-0.92
P(AB)二P(A)-P(AB)二P(A)-P(B)P(AB)=0.92-0.930.068=0.058,
P(A|B):
=P(AB)=0.。
58胡.83.
P(B)1-0.93
(2)P(AUB)=P(A)P(B)-P(AB)=0.920.93-0.862=0.988.
2.投两颗骰子已知两颗骰子点数之和为7求其中有一颗为1点的概率.
记事件A二{(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)},B二{(1,6),(6,1)}
2P(B|A)話
★在1—2000中任取一整数•求取到的整数既不能被5除尽又不能被7除尽的概率
记事件A珂能被5除尽},B珂能被7除尽}.
28557
4001命碱一2000]28557一2000]57
P(A),取整285,P(B),57,P(AB),
2000517」2000400厅7」2000
p(AB)=p(aUb)=1-p(aUb)=1_p(a)_p(b)p(ab)
15757
=1一丄一竺570.686.
54002000
3.由长期统计资料得知•某一地区在4月份下雨(记作事件A)的概率为4/15刮风(用B
表示)的概率为7/15.既刮风又下雨的概率为1/10.求P(A|B)、P(B|A)、P(AB).
P(A|BrfO=如仝,P(B|ArP(AB)_1/10_3,
P(B)7/1514P(A)4/158
47119
P(AUB)=P(A)P(B)-P(AB)二喜---=--.
15151030
4.设某光学仪器厂制造的透镜第一次落下时摔破的概率是1/2若第一次落下未摔破第
二次落下时摔破的概率是7/10若前二次落下未摔破第三次落下时摔破的概率是9/10.
试求落下三次而未摔破的概率•
.1.7.9
1-
11
——
2.10.
10
3
200
记事件a={第i次落下时摔破}i=1,2,3.
P(AA2A3)=P(AjP(A2|A1)P(A3|入1入2)=
5■设在n张彩票中有一张奖券有3个人参加抽奖分别求出第一、二、三个人摸到奖券概率•
记事件A={第i个人摸到奖券}i=1,2,3.
一1由古典概率直接得P(A1HP(A2^P(A3).
n
n_111
或P(A2)=P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1),
nn-1n
n-1n-211
P(A3)=P(A^A2a3^P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)=
nn—1n—2n
1
或第一个人中奖概率为p(A)二-,
n
21
前两人中奖概率为P(A1A2HP(A1)P(A2^-,解得P(A2)=—,
nn
31
前三人中奖概率为P(A1A,A3^P(A1)P(A2)P(A3),解得P(A3).
nn
6甲、乙两人射击•甲击中的概率为08.乙击中的概率为07・两人同时射击•假定中靶与否是独立的求
(1)两人都中靶的概率・
(2)甲中乙不中的概率-(3)甲不中乙中的概率•记事件A={甲中靶}B={乙中靶}.
(1)P(AB)二P(A)P(B)=0.70.7=0.56,
(2)P(AB)二P(A)-P(AB)=0.8-0.56=0.24,
(3)P(AB)二P(B)-P(AB)=0.7-0.56=0.14.
★7-袋中有a个红球b个黑球•有放回从袋中摸球•计算以下事件的概率
(1)A冗在n次摸球中有k次摸到红球}-
(2)B={第k次首次摸到红球}
(3)C冗第r次摸到红球时恰好摸了k次球}■
次.已知他至少命中一次的概率为80求该射手射击
81
次命中目标的概率.
设射击一次命中目标的概率为
彳4,8011,2P,q=1_'P.q1,q,p=1-q
818133
9■设某种高射炮命中目标的概率为0.6问至少需要多少门此种高射炮进行射击才能以0.99的概率命中目标
(1-0.6)n=d-0.99,0.4n<0.01,由0.4^0.01024,0.46<0.01,得n_6.
☆.证明一般加法(容斥)公式
n
P(IXa)八P(A),P(AAj)'P(AAjAk)…(-1)2卩心:
).
i4i 证明只需证分块人IliAkAjIlAnUAjILAk只计算1次概率.(i1川,in是1川,n的一个排列k=1,2,HI,n.)分块概率重数为 AJIIA中任取1个-任取2个(-1厂任取k个即 c: -C: +川+(—1)k」c;=1u 1_ck+C: +川+(_1)kc: =(1_1)k=0. 将u,n互换可得对偶加法(容斥)公式 n P(IXa)P(A)」P(AUAj)•P(AUAjUAk)……(-1)n'pQ角A). i=1i ☆.证明若AB独立AC独立•则ABUC独立的充要条件是ABC独立. 证明 P(A(BUC))二P(ABUAC)二P(AB)P(AC)-P(ABC) 二P(A)P(B)P(A)P(C)-P(ABC) 充分性•二: P(A(bUc))=P(A)P(B)P(A)P(C)_P(ABC),代入P(ABC)=P(A)P(BC)二P(A)(P(B)P(C)-P(BC))二P(A)P(BUC),即A,BUC独立. 必要性=: P(A(BUc))=P(A)P(bUc)工P(A)(P(B)P(C)-P(BC)) =P(A)P(B)P(A)P(C)-P(A)P(BC)=P(A)P(B)P(A)P(C)-P(ABC) P(ABC)=P(A)P(BC),即代BC独立. ☆.证明: 若三个事件A、B、C独立,则AUB、AB及A—B都与C独立.证明因为 P[(AljB)C]二P(ACUBC)二P(AC)P(BC)-P(ABC) =P(A)P(C)P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C) -[P(A)P(B)-P(A)P(B)]P(C) =p(aUb)p(c) P[(AB)C]=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)二[P(A)P(B)]P(C)=P(AB)P(C) P[(A_B)C]=P(AC_B)=P(AC)_P(ABC)=P(A)P(C)_P(A)P(B)P(C)=[P(A)_P(AB)]P(C)=P(A_B)P(C) 所以AUB、AB及A—B都与C独立. 第三次作业 1•在做一道有4个答案的选择题时.如果学生不知道问题的正确答案时就作随机猜测.设他知道问题的正确答案的概率为P.分别就P=0.6和p=0.3两种情形求下列事件概率: (1)学生答对该选择题;⑵已知学生答对了选择题求学生确实知道正确答案的概率•记事件A={知道问题正确答案}B={答对选择题}. (1) 由全概率公式得P(B^P(A)P(B|A)P(A)P(B|A) 13P _1 .30.6 _7 =0.7, — — 44 4 4 10 13p 1 30.3 19 =0.475 + 44 4 4 40 当p=0.3时P(B)= 当p=0.6时P(B)二 0.70•当报警系统B单独使用时•其有效的概率为0.80.在报警系统A有效的条件下•报警系统B有效的概率为0.84.计算以下概率: (1)两种报警系统都有效的概率; (2)在报警系统B有效的条件下.报警系统A有效的概率;(3)两种报警系统都失灵的概率. P(A)=0.7,P(B)=0.8,P(B|A)=0.84. (1) P(AB)=P(A)P(B|A)P70.84=0.588, 0.735, 0.8 P(AB)=P(AUB)=1-P(AUB)=1-P(A)-P(B)P(AB) P(A|B)=週-呻 P(B) J-0.7-0.80.588=0.088. ☆.为防止意外•在矿内同时设有两种报警系统A与B每种系统单独使用时•其有效的概率系统A为0,92.系统B为0.93.在A失灵的条件下.B有效的概率为0.85,.求: ⑴发生意外时.两个报警系统至少有一个有效的概率• (2)B失灵的条件下.A有效的概率 3.设有甲、乙两袋.甲袋中有n只白球.m只红球•乙袋中有N只白球.M只红球从甲袋中任取一球放入乙袋.在从乙袋中任取一球•问取到白球的概率是多少,记事件A={从甲袋中取到白球}B={从乙袋中取到白球}. 由全概率公式得 P(B)=P(A)P(B|A)P(A)P(B|A) nN+1mNn+N(n+m) nmNM1nmNM1(nm)(NM1) ☆.设有五个袋子•其中两个袋子•每袋有2个白球•3个黑球•另外两个袋子•每袋有1个白球.4个黑球.还有一个袋子有4个白球.1个黑球, (1)从五个袋子中任挑一袋.并从这袋中任取一球.求此球为白球的概率. (2)从不同的三个袋中任挑一袋.并由其中任取一球.结果是白球.问这球分别由三个不同的袋子中取出的概率各是多少? ★4、发报台分别以概率06和04发出信号“•及由于通信系统受到于扰•当发出信号“•时.收报台分别以概率08及02收到信息“及“”;又当发出信号“时•收报台分别以概率09及0l收到信号“”及“•求: (1)收报台收到“的概率⑵收报台收到“”的概率⑶当收报台收到“•时.发报台确系发出信号“•的概率⑷收到“”时.确系发出“”的概率 记事件B={收到信号“}・人={发出信号“}A2={发出信号“”. (1)P(B)=P(AJP(B|AJP(A2)P(B|A? )=0.6(1-0.2)0.40.1=0.52; (2) P(B)=1-P(B)=1-0.52P48; 5对以往数据分析结果表明•当机器调整良好时•产品合格率为90%而机器发生某一 故障时•产品合格率为30%.每天早上机器开动时•机器调整良好的概率为75% (1)求机器产品合格率• (2)已知某日早上第一件产品是合格品•求机器调整良好的概率 记事件B={产品合格}A={机器调整良好}. (1)由全概率公式得 P(B^P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)=0.750.90.250.3=0.75, 222 (A)P(B|A)=(1-(1-p)(1-p))=p(4-4pp), (B)P(B|A)=1—(1-p2)(1-p2HP%-p2), (C)由全概率公式得 P(B)=P(A)P(B|A)P(A)P(B|A) 二p卩2(4「4pp2)(1「p)p2(2「p2) =2p22p3「5p42p5. 第四次作业 1•在15个同型零件中有2个次品•从中任取3个•以X表示取出的次品的个数•求X的分布律. P(X二k): k2上 X 0 1 2 P 22/35 12/35 1/35 ☆.经销一批水果•第一天售出的概率是0.5・每公斤获利8元•第二天售出的概率是0.4每公斤获利5元•第三天售出的概率是0.1.每公斤亏损3元,求经销这批水果每公斤赢利X的概率分布律和分布函数, X -3 5 8 P 0.1 0.4 0.5 0,X<-3, F(—3)=P(X=—3)=0.1厂3兰x£5, F(x)= 、F(8)=1,x沁 2■抛掷一枚不均匀的硬币•每次出现正面的概率为2/3连续抛掷8次•以X表示出现 正面的次数.求X的分布律. 3.一射击运动员的击中靶心的命中率为0.35.以X表示他首次击中靶心时累计已射击 的次数.写出X的分布律.并计算X取偶数的概率 XLJG(p=0.35),P(X=k)=pqkJ1=0.350.65k‘,k=1,2|“. P(X奇)+P(X偶)=1, P(X奇)=P(X偶), Iq 解得P(X偶)=」空513L0.394. 1+q1+0.6533 4.一商业大厅里装有4个同类型的银行刷卡机•调查表明在任一时刻每个刷卡机使用的概率为0.1求在同一时刻 (1)恰有2个刷卡机被使用的概率 (2)至少有3个刷卡机被使用的概率• (3)至多有3个刷卡机被使用的概率(4)至少有一个刷卡机被使用的概率在同一时刻刷卡机被使用的个数XLIB(n=4,p=0.1). 222 (1)P(X=2)=C40.10.9-0.00486, (2)P(XA3)=P(X=3)+P(X=4)=C: x0.13x0.9+0.14=0.0037, (3)P(X<3)=1-P(X=4)=^0.1^0.9999, (4)P(X_1)=1-P(X=0)h-0.94=1-0.6561=0.3439. 5■某汽车从起点驶出时有40名乘客•设沿途共有4个停靠站.且该车只下不上•每个乘客在每个站下车的概率相等.并且相互独立.试求: (1)全在终点站下车的概率 (2)至少有2个乘客在终点站下车的概率■(3)该车驶过2个停靠站后乘客人数降为20的概率 记事件A={任一乘客在终点站下车}乘客在终点站下车人数xLIB(n=40,^1/4). (1^0 (1)P(X=40)8.271810尤 14丿 ⑵P(X一2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-3-C: 。 1-=1-坐- 4404434 =1-0.000134088=0.999865912. (3) 「20 12|詳=0.1268.(精确值) /九n 记事件B={任一乘客在后两站下车}乘客在后两站下车人数YUB(n=40,p=1/2). 20f1ff1f p(丫=2o)=c: 02 应用斯特林公式n山血赢|耳, le丿 6・已知瓷器在运输过程中受损的概率是0.002•有2000件瓷器运到•求: (1)恰有2个受损的概率⑵小于2个受损的概率•⑶多于2个受损的概率•⑷至少有1个受损的概率 受损瓷器件数XLIB(n二2000,p=0.002),近似为泊松分布P(—np=4). 42鼻4 (1)R=—e=8e=0.146525, 2! (2)F2M-eA-5e^=0.0915782, .1! (3)F3=1—R—F2=1—13e°=0.761897, (4)F4=1-e^=0.981684. 7.某产品表面上疵点的个数X服从参数为1.2的泊松分布•规定表面上疵点的个数不超过2个为合格品.求产品的合格品率• 产品合格品率P=1+咚二12e」2=2.92e」2=0.879487. 1! 2! ★8设随机变量X的分布律是 X -3 5 8 P 0.2 0.5 0.3 求X的分布函数•以及概率P(3: : XE6),P(X1),P(X乞5),P(|X|乞5). 随机变量X的分布函数为 Qxv-3, F(—3)=P(X=—3)=0.2,—3Exc5, F(x)=]F(5)=P(X=—3)+P(X=5)=0.2+0.5=0.7,5兰xv8, F(8)=1,x_8. P(3: : X空6)=P(X=5)=0.5, P(X1)=P(X=5)P(X=8)=0.50.3=0.8, P(X乞5)=P(|XF5)=F(5)=P(X--3)P(X=5)=0.20.5=0.7, 第五次作业 1■学生完成一道作业的时间X是一个随机变量(单位: 小时)其密度函数是 7x,其他T5 试求: ⑴系数k; (2)X的分布函数;⑶在15分钟内完成一道作业的概率;⑷在10到20分钟之间完成一道作业的概率. 仁F(0.5)=°5kx2xdx二kx1x2=—1,^21, 」0132仏248 QxcO F(x)pP(X_x)=o21x2xdx=7x3x2,0_x: : 0.5, F(0.5)=1,x0.5. 2■设连续型随机变量X服从区间[-a■a](a・0)上的均匀分布•且已知概率P(X.1)=1.求 3 (1)常数a;⑵概率P(Xcg), a1a—11 (1)P(X1)dx,a=3, 山2a2a3 1111 (1)5 (2)P(X: : —)=3—dx13—=5. 3匕66(3丿9 用时间超过1200小时的概率•⑵任取3只灯泡各使用时间都超过1200小时的概率.丄1200卫 ⑴P(X1200)=e800二e2=0.2231301602, 此处.6=1.6487212707001. 9 (2)P3(X1200)=0.0111089965. 5.设X~N(0.1).求: P(X<061).P(-262vX<125).P(^>134).P(|Xp>2.13). (1)P(X: : 0.61)=「(0.61)=0.72907, (2)P(-2.62: : X: : 1.25)=(1.25)—: : 」(—2.62)(1.25)亠述(2.62)-1 =0.8943599560-1=0.88995, (3)P(X1.34)=1-门(1.34)=1-0.90988=0.09012, (4)P(|X|2.13)=2-2门(2.13)=2_20.98341=0.03318. 6“飞机从甲地飞到乙地的飞行时间X~N(4.g),设飞机上午10: 10从甲地起飞•求: (1)飞机下午2: 30以后到达乙地的概率;⑵飞机下午2: 10以前到达乙地的概率;(3)飞机在下午1: 40至2: 20之间到达乙地的概率, (1)Pix13=1-Pixd=1Ji31公4=1-门 (1)=1-0.84134=0.15866, I3丿J3丿V1/3J') (2)P(X: : 4)=门(0)=0.5, ⑶P「X用、_: ;j 126)I1/3丿V1/3.丿 =: : 」1门3-1=0.691460.93319-1=0.62465. 22 ★7、设某校高三女学生的身高X~N(162-25).求: (1)从中任取1个女学生•求其身高超过165的概率: (2)从中任取1个女学生•求其身高与162的差的绝对值小于5的概率: ⑶从中任取6个女学生•求其中至少有2个身高超过165的概率 i’X—162165—162)不 (1)P(X165)=P0.6=1一-(0.6)=1-0.7258=0.2742, -5丿 ⑶记事件A={任一女生身高超过165}•p二P(A)二P(X165^0.2742,随机变量YLI贝努利分布B(n=6,p二0.2742), P(Y_2)=1_P(Y=0)_P(Y=1)=1_(1_p)6_C;p(1_p)5=0.52257. 第六次作业 ★1.设随机变量X的分布律为 X -2 -1 0 1 1 1 1 1 Pk
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