随机过程第三版课后答案.docx
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随机过程第三版课后答案
随机过程第三版课后答案
【篇一:
随机过程习题答案】
们的均值分别为mx和my,它们的自
相关函数分别为rx(?
)和ry(?
)。
(1)求z(t)=x(t)y(t)的自相关函数;
(2)求z(t)=x(t)+y(t)的自相关函数。
答案:
(1)rz(?
)?
e?
z(t?
?
)z(t)?
?
e?
x(t?
?
)y(t?
?
)x(t)y(t)?
利用x(t)和y(t)独立的性质:
rz(?
)?
e?
x(t?
?
)x(t)?
e?
y(t?
?
)y(t)?
?
?
rx(?
)ry(?
)
(2)rz(?
)?
e?
z(t?
?
)z(t)?
?
e?
?
x(t?
?
)?
y(t?
?
)?
?
?
x(t)?
y(t)?
?
?
e?
x(t?
?
)x(t)?
x(t?
?
)y(t)?
y(t?
?
)x(t)?
y(t?
?
)y(t)?
仍然利用x(t)和y(t)互相独立的性质:
rz(?
)?
rx(?
)?
2mxmy?
ry(?
)
2、一个rc低通滤波电路如下图所示。
假定输入是均值为0、双边功率谱密度函数为n0/2
的高斯白噪声。
(1)求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数;
(2)求输出信号的一维概率密度函数。
电流:
i(t)
电压:
y(t)
答案:
(1)该系统的系统函数为h(s)?
y(s)1
?
x(s)1?
rcs
则频率响应为h(j?
)?
1
1?
jrc?
n0
2
而输入信号x(t)的功率谱密度函数为px(j?
)?
该系统是一个线性移不变系统,所以输出y(t)的功率谱密度函数为:
py(j?
)?
px(j?
)h(j?
)?
2
n0/2
1?
rc?
2
对py(j?
)求傅里叶反变换,就得到输出的自相关函数:
1
ry(?
)?
2?
?
?
?
?
py(j?
)e
j?
?
1
d?
?
2?
n0/2j?
?
?
?
?
1?
rc?
2ed?
?
(2)线性系统输入为高斯随机过程,则输出也一定是高斯的。
因此,为了求输
出的一维概率密度函数,仅需知道输出随机过程的均值和方差即可。
均值:
已知输入均值mx=0,则输出均值my=mxh(0)=0
2
方差:
ry(0)?
var(y)?
my
因为均值为0,所以方差var(y)?
ry(0)?
一维pdf:
略
1
2?
n0/2
?
?
?
1?
rc2?
2d?
?
3、理想带通滤波器的中心频率为fc、带宽为b,其在通带的频率增益为1。
假定输入是均
值为0、双边功率谱密度函数为n0/2的高斯白噪声。
(1)求输出信号的自相关函数和功率谱密度函数;
(2)求输出信号的平均功率;(3)求输出信号的一维概率密度函数。
答案:
类似上一题,仅需注意的是:
(a)此处滤波器的频率响应为h(j?
)?
?
?
1,?
0
2?
(fc?
b/2)?
?
?
2?
(fc?
b/2)
otherwise
(b)平均功率等于功率谱密度函数的积分,也即等于输出信号y(t)的自相关在?
?
0处
的值,即ry(0)
4、设x1(t)与x2(t)为零均值且互不相关的平稳随机过程。
x1(t)通过某个lti系统所得的输出
为y1(t),x2(t)通过同一个lti系统的输出为y2(t)。
试证明y1(t)与y2(t)互不相关。
答案:
就是要证明y1(t)与y2(t)的协方差为0。
由于x1(t)与x2(t)为零均值,显而易见y1(t)与y2(t)的均值都为0。
所以,我们仅需要证明y1(t)与y2(t)的互相关为0。
设lti系统的单位冲激响应为h(t),则:
y1(t)?
?
?
?
?
?
x1(t?
?
)h(?
)d?
y2(t)?
?
x2(t?
?
)h(?
)d?
?
?
所以有:
?
?
?
e?
y1(t)y2(t)?
?
e?
x1(t?
?
)h(?
)d?
?
x2(t?
v)h(v)dv?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?
?
?
?
?
?
?
?
?
x1(t?
?
)x2(t?
v)h(?
)h(v)d?
dv?
?
?
?
?
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
e?
x(t?
?
)x(t?
v)?
h(?
)h(v)d?
dv
?
?
?
?
?
再利用x1(t)与x2(t)互不相关的性质,则有:
e?
y1(t)y2(t)?
?
?
?
e?
x(t?
?
)?
e?
x(t?
v)?
h(?
)h(v)d?
dv?
0,从而完成证明。
1
2
?
教材:
2.8和2.9题?
答案略
【篇二:
随机过程答案版-副本】
机过程x(t)?
y?
zt,t?
0,其中,y,z是相互独立的n(0,1)随机变量,则此随机过程的一维概率密度族为;随机过程第2章第46页例题4
2.对于一个强度为?
的poisson过程,在t时间内来k个顾客的概率为;
t),t3.设{x(?
0}为具有参数?
>0的泊松过程,则
p{x(t?
h)?
x(t)?
0}?
;
?
0}是具有参数?
的泊松分布,tn(n?
1)是对应的时间间隔序列,则随机变量tn(n?
1,2,?
)的概率密度
t),t4.设{x(
函数为;
t),t5.设{wn,n?
1}是与泊松过程{x(
等待时间序列,则wn服从参数为的?
分布。
6.设随机变量关系为;
7.设随机过程x(t)?
?
0}对应的一个
y)的
x,y的数学期望都存在,则e(x)与e(x
xh(t)?
a(?
?
?
t?
?
),x是服从正
态分布的随机变量,e(x)=0,d(x)=1。
则x(t)的一维分布密度函数f(x)为;8.设{x(t),t9.设
?
0}为具有跳跃强度函数?
(t)的非齐次泊松过程,
马尔可夫链,则对任意整数
,n步转移概率
(n)
pij
则此非齐次泊松过程的均值函数为;
{xn,n?
t}为
n?
0,0?
l?
n和i,j?
i
用一步转移概率表达为;10.设{xn,n
绝对概率pj(n)用初始概率和n步转移概率表达为;
(n)11.首达概率可以用一步转移概率来表示:
f?
_______________;ij
(12)设pij(t)是齐次马尔可夫过程的转移概率,qij为齐次马尔可夫过程从状态i到状态j的转移速率,则柯尔莫哥洛夫向后方程为;
(13)设随机序列{xn,n?
1}均方收敛于随机变量x,则
m,n?
?
limxm?
xn=;
{x(t)?
tt的}相关函数为
223
r(s,t?
)3s?
t2则随机过程st{x(t),t?
t}与其导数过程{x?
(t),t?
t}的互相关函数rxx?
(s,t)=;
(14)设随机过程
15.设{xn,n?
1}是相互独立具有相同分布,且均具有二阶矩
的随机变量序列,e(xn)
?
?
n?
1,2,?
,则
1
lim
n?
?
xk?
k
?
1
n
=;
16.二阶矩过程{x(t),t?
t}在t0?
t
处均方可微的充
要条件是它的相关函数r(s,t)在(t0,t0)处;17.对一齐次马氏链,其任意n步转移概率之间的关系为。
二、问答题
(l)(n)
与首达概率fijpij
?
xy?
1、已知随机变量x~n(2,1),y~n(10,4),
令
1
,2
z1?
x?
2y
和z2?
x?
y,试求d(z1)和
cov(z1,z2).
(完)
?
?
求z求x问x
2,设z?
x?
y.的数学期望和方差.与z的相关系数.
与z是否相互独立?
为什么?
(完)
3.设某路公共汽车从早上5时到晚上9时有车发出。
乘客流量如下:
5时平均乘客为200人/时;5时至8时乘客线性增加,8时达到1400人/时;8时至18时保持平均到达率不变;18时至21时到达率线性下降,到21时为200人/时。
假定乘客数在不相重叠的时间间隔内是相互独立的。
求12时至14时有2000人来站乘车的概率,并求出这两小时内乘客人数的数学期望。
随机过程第五版p36例题3.9
4.设某设备的使用期限为10年,在前5年内它平均2.5年需要维修一次,后5年平均2年需要维修一次,求它在使用期内只维修过一次的概率
第3章泊松过程第39页例
5.设随机过程x(t)?
r?
t?
c,t?
(0,?
),c为常数,r服从[0,1]区间上的均匀分布。
求均值函数、自相关函数。
随机过程第2章第44页例题3
6、设?
xn,n?
1,2,?
?
?
?
是相互独立的随机变量序列,其分布律为
?
n0?
?
xn~?
?
121?
12?
n?
?
n
讨论{xn,n?
1,2,?
?
?
}均方连续性.第三章、随机分析第6页例题17设x(t)的均值函数为x
m(t)?
5sint,相关函数为
rx(s,t)?
3e
求其导数过程的均值函数与相关函数.
第三章、随机分析第18页例题38.设马尔可夫链的转移概率矩阵为
s)
?
(t?
2
2
?
0.70.10.2?
?
?
0.80.1p=0.1?
?
?
?
0.050.050.9?
?
求马尔可夫链的平稳分布几各状态的平均返回时间。
随机过程第五版p66页例题4.16应用随机过程p144例6-27
9、顾客到达某商店服从参数?
?
4人/小时的泊松过程,已知商店上午9:
00开门,试求1)10:
00到12:
00没有顾客的概率;
2)到9:
30时仅到一位顾客,而到11:
30时总计已达5位顾客的概率。
第3章_泊松过程第4页例题应用随机过程试卷(a)中的大题
10、markov链在经济预测领域里也有其广泛的应用。
如[商品销售情况预测]设某商品在市场上销售情况共有24个季度的数据(“1”表示畅销、“2”表示滞销)112122*********211212111并假设该商品的销售状态满足齐次markov性。
(1)试确定销售状态的转移概率矩阵;
(2)如果现在是畅销,试预测这以后第4个季度的销售状况;(3)如果影响销售的所有因素不变,试预测长期的销售状况。
平稳分布习题课2第13页例5-20
11.一质点在1,2,3三个点上作随机游动,1和3是两个吸收壁,当质点处于2时,下一时刻转移到1和3的概率各为
1。
写出一步转移概率矩阵,判断此链是否具有遍历性?
2
若有,求出极限分布。
随机过程_copy第108页例题3
12.一质点在1,2,3三个点上作随机游动,1和3是两个反射壁,当质点处于2时,下一时刻转移到1和3的概率各为
1。
写出一步转移概率矩阵,判断此链是否具有遍历性,2
若有,求出极限分布。
随机过程_copy第107页例题2
13.一质点在1,2,3三个点上作随机游动,1和3是两个反射壁,当质点处于2时,下一时刻处于1,2,3是等可能的。
写出一步转移概率矩阵,判断此链是否具有遍历性,若有,求出极限分布。
随机过程_copy第106页例题1
14、设{xn,n?
0}是具有三个状态0,1,2的齐次马氏链一步转移概率矩阵为:
012
0?
4?
1
p?
1?
2?
?
0
4134
0?
1?
?
1?
4?
初始分布pi(0)?
p{x0?
i}?
(1)p{x0?
0,x2?
1,x4?
1};
1
i?
0,1,2试求:
3
(2)p{x2?
1,x4?
1,x5?
0|x0?
0};(3)p{x2?
1,x4?
1,x5?
0};
随机过程_copy第97页例题1
15:
某计算机机房的一台计算机经常出故障,研究者每隔
15分钟观察一次计算机的运行状态,收集了24个小时的数(共作97次观察),用1表示正常状态,用0表示不正常状态,所得的数据序列如下:
111001*********001111011111100111111111000111101111011011010111101110111101111110011011111100111
设xn为第n(n=1,2,…,97)个时段的计算机状态,可以认为它是一个齐次马氏链.求
(1)一步转移概率矩阵;
(2)已知计算机在某一时段(15分钟)的状态为0,问在此条件下,从此时段起,该计算机能连续正常工作45分钟(3个时段)的条件概率.
随机过程_copy第89张例题10
16、设{xn}是时齐markov链,i?
{0,1,2,3},其一步转移矩阵
?
00.5
?
00p?
?
?
00?
?
0.50
00.5?
?
10?
01?
?
00.5?
随机过程第5章第20页例题117、已知一齐次马尔可夫链只有三个状态1,2,3,其一步转移概率矩阵为
讨论状态0和3的常返性。
?
0.50.50?
?
?
p?
?
00.50.5?
?
0.500.5?
?
?
(2)
(1)求两步概率矩阵p;
(2)设初始分布为p{x0?
1}?
p{x0?
2}?
p{x0?
3}?
求经两步转移后处于状态3的概率。
1
412
随机过程第5版p68例题4.6随机过程第5版
18、设x(t)?
at?
2b,其中a,b是相互独立的二阶矩随机变量,均值都为a,方差都为?
。
(1)均值函数和相关函数;
(2)讨论上随机过程的方连续性、均方可导性。
2
19、设某电报局接受的电报数n(t)组成poisson流,平均每小时接到3次电报,试求:
(1)一上午(8点到12点)没有接到电报的概率;
(2)下午第一个电报的到达时间的分布。
应用随机过程p95练习题3
20、设马氏链的状态空间为s?
{a,b,c,d,e},其转移概率矩阵为:
?
0.6000.40?
?
?
00.4?
?
00.60
p?
?
00.20.600.2?
?
?
?
0.4000.60?
?
?
00.8?
?
00.20
(1)画出其状态转移概率图;
(2)试对s进行分类,并说明各状态的类型。
21、设质点在[0,4]的整数点作随机游动,到达0点或4点后以概率1停留在原处,在其它整数点分别以概率1/3向左、向右移动一格或停留在原处。
求质点随机游动的一步和两步转移概率矩阵。
随机过程第五版p67习题44.1题
【篇三:
随机过程习题答案a】
t>第一讲作业:
1、设随机向量
的两个分量相互独立,且均服从标准正态分布
和
的分布密度
是否独立?
说明理由。
。
(a)分别写出随机变量(b)试问:
解:
(a)
(b)由于:
与
因此
是服从正态分布的二维随机向量,其协方差矩阵为:
因此
与
独立。
和
。
2、设和为独立的随机变量,期望和方差分别为
(a)试求
和的相关系数;
(b)与能否不相关?
能否有严格线性函数关系?
若能,试分别写出条件。
解:
(a)利用
的独立性,由计算有:
(b)当
的时候,和线性相关,即
3、
设
是一个实的均值为零,二阶矩存在的随机过程,其相关函数
为
,且是一个周期为t的函数,即
,试求方差
函数
解:
由定义,有:
。
4、考察两个谐波随机信号
和
,其中:
式中和为正的常数;是内均匀分布的随机变量,是标准正态分布的随机变量。
(a)求(b)若解:
(a)
的均值、方差和相关函数;与独立,求
与
y
的互相关函数。
(b)
第二讲作业:
p33/2.解:
其中为整数,
为脉宽
从而有一维分布密度:
p33/3.解:
由周期性及三角关系,有:
反函数
,因此有一维分布:
p35/4.解:
(1)由题意可知,
其中
的联合概率密度为:
利用变换:
,及雅克比行列式:
我们有
的联合分布密度为:
因此有:
且v和相互独立独立。
(2)典型样本函数是一条正弦曲线。
(3)给定一时刻,由于
独立、服从正态分布,因此
也服从正态分布,且
所以
。
(4)由于:
所以
当
时,
因此
当
时,
由
(1)中的结论,有:
p36/7.证明:
(1)
(2)由协方差函数的定义,有:
p37/10.解:
(1)
(2)
当i=j时令
;否则
,则有
第三讲作业:
p111/7.解:
(1)是齐次马氏链。
经过次交换后,甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关,和之前的状态和交换次数无关。
(2)由题意,我们有一步转移矩阵:
p111/8.解:
(1)由马氏链的马氏性,我们有:
(2)由齐次马氏链的性质,有:
,
因此:
p112/9.解:
(1)
;
,因此有:
(2)由
(1)的结论,当为偶数时,递推可得:
计算有:
,递推得到
p112/11.解:
矩阵的特征多项式为:
由此可得特征值为:
,及特征向量:
,
令矩阵
则有:
因此有:
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