专升本一元函数微分学题目与答案A.docx
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专升本一元函数微分学题目与答案A
元函数微分学练习题
(A)
•选择题
1
xsin
x,xhO在x=0处()
0,x=0
设fx]=ln1x,则
设y二fx由方程e^-cosxy=e-1所确定,则曲线y二fx在点(0,1)
的切线斜率
f(0)=()
A.2
B.-2
C.1
D.-丄
2
2
5.设fx在x
=1有连续导数,
-J
且f11=2,则lim一"dx
fCOS,X=()
A.1
B.
-1
C.2
D
.-2
4.
6.已知函数f(x)具有任意阶导数,且f'(x)二[f(x)]2,则当n为大于2的正整数时,
f(x)的n阶导数是()
A.n!
[f(x)]n1B.n[f(x)]n1C.[f(x)]2nD.n!
[f(x)]2n
7.设函数y=f(x)在点xo处可导,当自变量x由xo增加到xo+lx时,记二y为f(x)
的增量,dy为f(x)的微分,|叫虽型等于()
A.-1
B.0
C.1
2■1
xsin
x
8.设f(x)=
axb
在x=0处可导,贝U()
A.a=1,b=0
B.a=0,b为任意常数
C.a=0,b=0
D.a=1,b为任意常数
9.曲线y=
1-e
A.没有渐近线;
B.仅有水平渐近线
C.仅有铅直渐近线
D.既有水平渐近线又有铅直渐近线
10.设函数fx在点0可导,
且心0,则愛)=()
C.不存在
D.:
:
11.当x=…时,函数f(x)
4
=acosx-
A.-2
1
cos4x取得极值,则a=()
4
B.-2
C.,2
12.曲线y=-2x^()
(1-x)2
A.既有水平渐近线,又有垂直渐近线
B.
只有水平渐近线
C.有垂直渐近线x=1
没有渐近线
13.设f(冷)★(冷)=0,f(xg)<0,贝U有
A.f(x°)是f(x)极大值;
B.
f(Xo)是f(x)极小值;
C.f(xc)是f(x)的极值;
D.点(xn,f(xO)是曲线y二
f(x)的拐点
A一个B两个C三个D四个
15.设函数f(x)在(a,b)内可导,则在(a,b)内f(x)0是函数f(x)在(a,b)内单
调增的()
A必要非充分条件B充分非必要条件
C充要条件D无关条件
•填空题
2
1.设y=6x,k是曲线y=3x-6x13的一条切线,则k二
(14)
2.设f(x)在x=2连续,且f
(2)=4,则limf(x)2
TJx-2x-4丿
3.直线I与x轴平行,且与曲线y=x-ex相切,则切点坐标是
4.y=fx由方程x3y3-sinx-6y=0确定,贝Udyxz0二
5.
设f(x)=a)xn+昭2七・汁,贝Ufj0)=
7.设函数y=y(x)由方程ex4y+cos(xy)=0确定,则业=
dx
8.已知f(—x)=—f(x),且f'(—x°)=k,贝Uf'(x°)=
9.设f(x)可导,则蚪f(x0F3)J(x0-Mx)=___
10.设f为可导函数,y=sin{f[sinf(x)]},则dy=r
dx
11.f(x)==^,则f(n)(x)=
1+x
12.设fx八1In2x,贝Ufe=
13.y=2x3—6x2—18x—7单调区间
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
三、
1.求
(1).
y=2x+(x>0)单调区间
x
10
y=—32单调区间
4x-9x+6x
y=ln(x+訥+x2)单调区间
y=x3-5x2+3x+5拐点及凹或凸区间
y=|n(x2+1)拐点及凹或凸区间
y=x-1n(1+x)的极值
y=x+寸1_x的极值
3曲线"丄的铅直渐近线为
x+2
计算题
下列函数的导数
1
1
J—
y-
(2).y=exxx
*'3x—5
⑷.
4100
⑶.y=(3x-1)
⑸.y=eaxsinbx(a,b为常数)(6).y=2cosx・[e3
e
11
(7).y:
(8).y=(x22x-3)5sin2x-cot3x
(10).y=In(x1x2)
1+Jx1-Vx
(9).y=(x21)e」lg(1-x2)
(13).y=10xx10lgx1010(14).y=u(a2b)
x33
(15).八亍克
(19).y=In(x\x2-a2)
(20).sin(xy)exy
(21).y=xx
(22).y=arctan(-
1
2x
(23)y=xln(x,叩x2)
21
(24)y=(1x)arctanxcosx
2
2
(25)y=cos3x
(26)2y-2x-siny=0
(27)y=ln(xy)
(28)ey=ylnx
(2)y=fx2b,求y;
2.求下列函数的高阶导数
(1)y=ln1-X2,求y;
(3)y=x..1-x2arcsinx,求y;
(4)
y=arctan2,求y;
1-x2
(5)y=x31nx,求y⑷;
(6)
1-'X(n)
,求y;
(7).已知xy-sin(「:
y2)=0,求y―及y心;y=!
y=!
(9).y=xInx
3.根据导数定义,求下列函数的导数
(1)y=.2x1,求y%討;
(2)fx]=lnx,求fx.
4.求下列函数的微分
(1)设y=1n(lnx),求dy;
⑵设y=Intan*,求dy•
2,
⑶y=sin(xy),求y'及dy;
1
(4)y=ln5+cosx?
—p,求y及dy;
x
⑸"評心,求y及dy;
⑹y=ex—xy,求y及dy;
⑺求y=e1J3xcosx的微分;
(8)设y=ecos2x,求dy;
(9)y=x3cosxecosx,求dy;
2x
(10)求、且的微分.
x
5.求下列函数的极限
⑴•lim沁⑵.
^n:
tan5x
x_x
求lime_e_2x
^^0
x-sinx
Insinx
⑶•lim2
i71压-2x)
2
mm
x—a,c、limnn(a=0)
X)aX-a
Intan7xxin0荷2;
2
ln(1x)
-lim
xasecx一cosx
⑺.
lim
x_]_:
:
l2
..4xx-1x1
.x2sinx
(8).
x.xe-elim
x>0sinx
cotxlimxQcot3x
s、Incos2x
(9).lim2(10).
F(X_兀)
Inx
(11).lim巴亠(12).
x-^ncotx
四.综合题
1.设fX有任意阶导数,且x2,求f(n)X.
2.y=1n[cos(103x2)],求y'.
3.方程y2cosxey=0确定y是x的函数,求y.
4.
方程ey-exx^0确定y是x的函数,求y.
6.判断函数的单调性
(1)判断函数y二e^—x的单调性.
(2)判断函数y=cosx・xsinx在区间[-,-]的单调性.
22
7•求下列函数的单调区间
(2)f(x)=2x2-Inx;
(1)f(x)=2x--9x212x-3;
(3)f(x)=3(2-x)2(x-1);
2
xf(x)=
8.求拐点及凹凸区间
(1)求曲线y=2x3•3x2-12x14的拐点;
(2)问曲线y=x4是否有拐点;
(3)求曲线y二汽的拐点;
(4)求曲线y=3x4-4x3,1的拐点及凹、凸的区间
9.求极值
(1)求函数f(x)=(x—4)3(x•1)的极值;
(2)求仙二1-(x-2)“的极值;
—1
(3)设x是函数f(x)二asinx•sin3x的极值点,贝Ua为何值?
此时的极值
33
点是极大值点还是极小值点?
并求出该值
10.求下列曲线的渐近线
1sinxy二
⑶f(x)/x-2)(x3)
X_1
五.证明题
1.证明方程X5x^0在区间(-1,0)内有且只有一个实根
2.若f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,f(a)二f(b)=0,证明:
-•R,
(a,b)使得:
f()■f()=0。
1
3.设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f
(1)=0,f()=1。
试证
2
至少存在一个:
(0,1),使f'「)=1。
4.证明:
若f(x)二阶可导,且f(x).0,f(0)=0,则F(x)二卫勺在
x
(0;:
:
内单调递增。
5.当x0时,应用单调性证明下列不等式成立:
(1)2x2.1x;
(2)xln(1x)x-1x2
2
二、一元函数微分学练习题
(A)
答案
一.选择题
1.C.2.C.3.A.4.B.5.B.
6.A.解析:
f''(x)=2f(x)f'(x)=2[f(x)]3,假设f(k)(x)=k!
[f(x)]k1,所以f(k1)(x)=(k1)k!
[f(x)]kf'(x)=(k1)!
[f(x)]k2,
按数学归纳法,f(n)(x)=叫f(x)]n1对一切正整数成立.选A
7.B.解析:
由微分定义.:
y=dy+o(.〉x),所以limy「dy二limx)二。
務J°,■■■.xx■■■.x
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- 一元函数 微分学 题目 答案