大学物理习题答案第2章质点动力学doc.docx
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大学物理习题答案第2章质点动力学doc
质点动力学习题答案
2-1
一个质量为
P的质点,在光滑的固定斜面(倾角为
)上以初速度
v0运动,
v0的方向
与斜面底边的水平线
AB平行,如图所示,求这质点的运动轨道
.
解:
物体置于斜面上受到重力
mg,斜面支持力
N
.建立坐标:
取
v0方向为
X
轴,平行斜
面与
X
轴垂直方向为
Y轴.如图
2-1.
图2-1
X方向:
Fx
0
xv0t
①
Y方向:
Fy
mgsin
may
②
t
0时
y0
vy
0
y
1
gsin
t2
t,得
2
由①、②式消去
y
1
2
gsin
x2
2v
0
2-2
质量为m的物体被竖直上抛,初速度为v0,物体受到的空气阻力数值为
fKV,K为
常数.求物体升高到最高点时所用时间及上升的最大高度.
解:
⑴研究对象:
m
⑵受力分析:
m受两个力,重力P及空气阻力f
⑶牛顿第二定律:
合力:
FPf
Pfma
y分量:
mg
KV
mdV
dt
mdV
dt
mg
KV
即
mg
dV
1dt
KV
m
v
dV
t
1dt
v0
mg
KV0
m
1lnmgKV1dt
KmgKV0m
Kt
mgKVem(mgKV0)
1
Kt
V
m
(mgKV0)e
K
1
mg①
K
V
0时,物体达到了最高点,可有
t0为
t0
m
mgKV0
m
ln(1
KV0
)
②
ln
mg
K
mg
K
∵V
dy
dt
∴dy
Vdt
1
K
1
y
t
t
t
mgdt
dy
Vdt
(mgKV0)em
K
0
0
0
K
m2(mg
K
t
1mgt
y
KV0)em
1
K
K
m(mg
K
t
1mgt
KV0)1
em
③
K2
K
tt0
时,y
ymax,
Km
KV0
)
ln(1
ymax
m2(mgKV0)1emK
mg
K
1
m
KV0
)
mg
ln(1
mg
K
K
m
1
m2
KV0
K2(mg
KV0)1
mgKV0
K2gln(1
mg
)
mg
m(mg
KV0)
KV0
m2gln(1
KV0)
K2
mg
KV0
K2
mg
mV0
m
2
KV0
)
K
K2
gln(1
mg
2-3一条质量为m,长为l的匀质链条,放在一光滑的水平桌面,链子的一端由极小的一
段长度被推出桌子边缘,
在重力作用下开始下落,
试求链条刚刚离开桌面时的速度.
解:
链条在运动过程中,其部分的速度、加速度均相同,沿链条方向,受力为
m
xg,
l
根据牛顿定律,有
F
mxgma
l
mxg
mvdv
图2-4
通过变量替换有
l
dx
x0,v
0,积分
lm
v
xg
mvdv
0
l
0
由上式可得链条刚离开桌面时的速度为
vgl
2-5升降机内有两物体,质量分别为
m1和m2,且m2=2m1.用细绳连接,跨过滑轮
绳子
不可伸长,滑轮质量及一切摩擦都忽略不计,当升降机以匀加速
a=1g上升时,求:
2
(1)
m1和m2相对升降机的加速度.
(2)在地面上观察m1和m2的加速度各为多少
解:
分别以m1,m2为研究对象,其受力图如图所示.
(1)设m2相对滑轮(即升降机)的加速度为a,则m2对地加速度a2
aa;因绳不可伸
长,故m1对滑轮的加速度亦为
a,又m1在水平方向上没有受牵连运动的影响,
所以m1
在水平方向对地加速度亦为
a,由牛顿定律,有
m2gT
m2(aa)
T
m1a
题2-5图
联立,解得ag方向向下
(2)m2对地加速度为
a2aa
g
方向向上
2
m1在水面方向有相对加速度,竖直方向有牵连加速度,即
a绝
a相'
a牵
∴
a1
a2
a2
g2
g2
5g
4
2
arctana
arctan1
26.6o,左偏上.
a
2
2-6
一物体受合力为
F
2t
(SI),做直线运动,试问在第二个
5秒内和第一个5
秒内物体
受冲量之比及动量增量之比各为多少
解:
设物体沿+x方向运动,
I1
5
5
25N·S(I1沿i方向)
Fdt
0
2tdt
0
10
10
2沿i
I2
Fdt
5
2tdt
75N·S(I
方向)
5
I2/I1
3
I2
(
p)2
∵
(
p)1
I1
∴(
p)2
3
(
p)1
2-7
一弹性球,质量为
m
0.020kg,速率v
5m/s,与墙壁碰撞后跳回.设跳回时速率不
变,碰撞前后的速度方向和墙的法线夹角都为
60,⑴求碰撞过程中小球受到的冲
量I?
⑵设碰撞时间为
t
0.05
s,求碰撞过程中小球
受到的平均冲力F
?
解:
Ix
mv2x
mv1x
mvcos
(mvcos
)
2mvcos
Iy
mv2y
mv1y
mvsin
mvsin
0
I
Ixi
2mvcosi
2
0.0205
cos60
i
0.10iN·S
2-9
一颗子弹由枪口射出时速率为
v0m
s1,当子弹在枪筒内被加速时,它所受的合力为
F=(a
bt)N(a,b为常数),其中t以秒为单位:
(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零,
试计算子弹走完枪筒全长所需时间;
(2)求子弹所受的冲量.(3)求子弹的质量.
解:
(1)由题意,子弹到枪口时,有
F
(a
bt)
0,得t
a
b
(2)子弹所受的冲量
I
t
bt)dt
at
1bt2
(a
0
2
a
将t
代入,得
b
a2
I
2b
(3)由动量定理可求得子弹的质量
I
a2
m
2bv0
v0
2-10木块B静止置于水平台面上,小木块A放在B板的一端上,如图所示.已知mA
0.25kg,
mB=0.75kg,小木块A与木块B之间的摩擦因数
1=,木板B与台面间的摩擦因数
2=.
现在给小木块A一向右的水平初速度
v0=40m/s,问经
过多长时间A、B恰好具有相同的速度(设B板足够长)
图2-10
解:
当小木块
A以初速度v0向右开始运动时,它将受到木板
B的摩擦阻力的作用,木板
B则在A给予的摩擦力及台面给予的摩擦力的共同作用下向右运动
.如果将木板B与小
木块A视为一个系统,A、B之间的摩擦力是内力,不改变系统的总动量,只有台面与
木板B之间的摩擦力才是系统所受的外力,改变系统的总动量
.设经过t时间,A、B
具有相同的速度,根据质点系的动量定理
Fk
t(mA
mB)vmAv0
Fk2(mA
mB)g
再对小木块
A单独予以考虑,
A受到B给予的摩擦阻力
FK'
,应用质点的动量定理
Fk'tmAvmBv0
以及
Fk'
1mAg
解得
v
mA
1
v0
v0v
(
2)
t
mA
mB
12
1g
代入数据得
v
2.5m/s
t=
2-11一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光滑水平面上的木块,如图
2-11所示.已知两木
块的质量分别为
m1和m2,子弹穿过两木块的时间各为
t1和
t2,设子弹在木块中所受的阻力为恒力
F,求子弹穿过后,
两木块各以多大速度运动.
图2-11
解:
子弹穿过第一木块时,两木块速度相同,均为v1,初始两木块静止,由动量定理,
于是有
Ft1(m1m2)v10
设子弹穿过第二木块后,第二木块速度变为v2,对第二块木块,由动量定理有
Ft2m2v2m1v1
解以上方程可得
v1
Ft1,v2
Ft1
Ft2
m1m2
m1m2
m2
2-12一端均匀的软链铅直地挂着,
链的下端刚好触到桌面.如果把链的上端放开,
证明在链
下落的任一时刻,作用于桌面上的压力三倍于已落到桌面上那部分链条的重量
.
解:
设开始下落时t
0,在任意时刻t落到桌面上的链长为x,链未接触桌面的部分下落
速度为v,在dt时间内又有质量
dm
dx(为链的线密度)的链落到桌面上而静止.根
据动量定理,桌面给予
dm的冲量等于
dm的动量增量,即
IFdtvdmvdx
所以
F
vdx
v2
dt
由自由落体的速度
v2
2gx
得
F
2
gx
这是t时刻桌面给予链的冲力
.根据牛顿第三定律,链对桌面的冲力
F'
F,F'方向向下,
t时刻桌面受的总压力等于冲力
F'和t时刻已落到桌面上的那部分链的重力之和,所以
N
F'
xg3xg
所以
N
3
xg
即链条作用于桌面上的压力
3倍于落在桌面上那部分链条的重量.
2-13一质量为50kg的人站在质量为100kg的停在静水中的小船上,
船长为5m,问当人从船
头走到船尾时,船头移动的距离.
解:
以人和船为系统,整个系统水平方向上动量守恒
设人的质量为m,船的质量为M,应用动量守恒得
mv+MV=0
其中v,V分别为人和小船相对于静水的速度,
m
可得V=-v
M
人相对于船的速度为
v'
v
V
M
mv
设人在t时间内走完船长
l,则有
M
t
'
tM
m
M
m
t
l
v
dt
vdt
vdt
0
0
M
M
0
x
t
在这段时间内,人相对于地面走了
vdt
0
所以x
Ml
M
m
ml
5
船头移动的距离为
x'
l
x
M
m3
2-14质量为M的木块静止在光滑的水平桌面上,
质量为m,速度v0的子弹水平地射入木块,
并陷在木块内与木块一起运动.求:
(1)子弹相对木块静止后,木块的速度和动量;
(2)子弹相对木块静止后,子弹的动量;
(3)在这个过程中,子弹施于木块的冲量.
解:
子弹相对木块静止后,其共同速度设为u,子弹和木块组成系统动量守恒
(1)mv0(mM)u
mv0
所以u
mM
Mmv0
PMMu
mM
m2v0
(2)子弹的动量Pmmu
mM
(3)针对木块,由动量守恒知,子弹施于木块的冲量为
I
PM
0
Mm
Mm
v0
2-15质量均为M的两辆小车沿着一直线停在光滑的地面上,质量为
一辆车,接着又以相同的速率跳回来.试求两辆车的速率之比
.
m的人自一辆车跳入另
解:
质量为m的人,以相对于地面的速度v从车A跳到车B,此时车A得到速度u1,
由于车是在光滑的地面上,沿水平方向不受外力,因此,由动量守恒得
mvMu1
人到达车B时,共同得速度为u2,由动量守恒得
(Mm)u2mv
人再由车B以相对于地面的速度v跳回到车A,则车B的速度为u2',而车A与人的共
同速度为u1',如图所示,由动量守恒得
Mu2
'
mv
(Mm)u2
(M
m)u1'
mv
Mu1
2mv
2mv
联立方程解得:
u'
u'
2
M
1
Mm
所以车B和车A得速率之比为
u2
'
M
m
u1'
M
2-16体重为P的人拿着重为
p的物体跳远,起跳仰角为
,初速度为v0.到达最高点时,
该人将手中的物体以水平向后的相对速度
u抛出,问跳远成绩因此增加多少
解:
人和物体组成系统在最高点抛出物体前后沿水平方向动量守恒,
注意到对地面这个惯
性参考系
(m
m')v0cos
mvm'(v
u)
v
v0
cos
m'
'u
mm
从最高点到落地,人做平抛运动所需时间
v0sin
t
g
跳远距离增加为
s
(v0cos
m'
v0cos
t
m
'u)t
m
m''ut
p
uv0
sin
m
m
P
p
g
2-17铁路上有一平板车,其质量为
M,设平板车可无摩擦地在水平轨道上运动
.现有N个
人从平板车的后端跳下,
每个人的质量均为
m,相对平板车的速度均为
u.
问在下述两
种情况下,平板车的末速度是多少(
1)N个人同时跳离;
(2)一个人、一个人的跳离.
所得结果是否相同.
解:
取平板车和N个人为研究对象,由于在水平方向上无外力作用,故系统在该方向上
动量守恒.
取平板车运动方向为坐标轴正方向,设最初平板车静止,则有
Mv
Nm(v
u)
0
所以N个人同时跑步跳车时,车速为
Nm
vu
MNm
(2)若一个人、一个人地跳车,情况就不同了.第一个跳车时,由动量守恒定律可得
[M(N1)m]v1m(v1u)0
第二个人跳车时,有
[M(N2)m]v2m(v2u)[M(N1)m]v1
v2v1
mu
M(N1)m
以此类推,第
N个人跳车时,有
MvN
m(vN
u)
(M
m)vN1
vN
vN
1
mu
M
m
1
1
1
N
所以vN
)
mu(
m
M
2m
M
M
Nmn1
因为
1
1
1
M
m
M
2m
M
Nm
1
1
1
N
M
m
M
2m
M
Nm
M
Nm
故vNv
2-18质量为10kg的物体作直线运动,受力与坐标关系如图
v1m/s,试求x16m时,v?
解:
在x0到x16m过程中,外力
功为力曲线与x轴所围的面积代数和=40J
由动能定理为:
W
1
mv22
1
mv12
2
1
2
1
即
40
10v22
10
1
2
2
v2
3m/s
mu
Mnm
2-18所示。
若x
0时,
图2-18
2-19
在光滑的水平桌面上,水平放置一固定的半圆形屏障
.
有一质量为
m的滑块以初速度
v0沿切线方向进入屏障一端,如图
2-19
所示,设滑块与屏障间的摩
擦因数为
,试证明当滑块从屏障另一端滑出时,摩擦力作功为
Wf
1
mv0
2(e
2
1)
2
图2-19
解:
滑块做圆周运动,依牛顿定律,有:
mv2
法向:
N
R
切向:
f
N
mdv
mdvd
mvdv
dt
d
dt
Rd
由以上两式,可得
dv
d
v
对上式两边积分,有
v
dv
d
v
v0
0
可得
v
v0e
由动能定理可得摩擦力做功为
Wf
1mv2
1mv02
1mv02(e2
1)
2
2
2
m,速率为v的子弹水平射入木块后
2-20
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