列举法求概率.docx

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列举法求概率

25.2用列举法求概率（2课时）

第1课时用列举法和列表法求概率

1.

会用列举法和列表法求简单事件的概率．

2.能利用概率知识解决计算涉及两个因素的一个事件概率的简单实际问题．

重点

正确理解和区分一次试验中涉及两个因素与所包含的两步试验．难点

当可能出现的结果很多时，会用列表法列出所有可能的结果．

活动1创设情境

我们在日常生活中经常会做一些游戏，游戏规则制定是否公平，对游戏者来说非常重要，其实这就是一个游戏双方获胜概率大小的问题．

下面我们来做一个小游戏，规则如下：

老师向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，老师赢；如果落地后两面一样，你们赢．请问：

你们觉得这个游戏公平吗？

学生思考计算后回答问题：

把其所能产生的结果全部列出来，应该是正正、正反、反正、反反，共有四种可能，并且每种结果出现的可能性相同．

21

（1）记满足两枚硬币一正一反的事件为A，则P（A）＝＝；

42

21

（2）记满足两枚硬币两面一样的事件为B，则P（B）＝＝.

42

由此可知，双方获胜的概率一样，所以游戏是公平的．

当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目比较少时，我们看到结果很容易被全部列出来；若出现结果的数目较多时，要想不重不漏地列出所有可能的结果，还有什么更好的方法呢？

我们来看下面的这个问题．

活动2探索交流

例1为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下转盘游戏：

A，B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是1，6，8，转盘B上的数字分别是4，5，7（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）．每次选择2名同学分别拨动A，B两个转盘上的指针，使之产生旋转，指针停止后所指数字较大的一方为获胜者，负者则表演一个节目（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次）．作为游戏者，你会选择哪个装置呢？

并请说明理由．

在这个环节里，首先可以让学生自己用列举法列出所有的情况，很多学生会发现列出所有的情况会有困难，会漏掉一些情况．这个时候可以要求学生分组讨论，探索交流，然后引

导学生将实际问题转化为数学问题，即“停止转动后，哪个转盘指针所指数字较大的可能性更大呢？

”

由于事件的随机性，我们必须考虑事件发生概率的大小．此时，首先引导学生观看转盘动画，同学们会发现这个游戏涉及A，B两个转盘，即涉及两个因素，与上节课所讲授单转

盘概率问题相比，可能产生的结果数目增多了，变复杂了，列举时很容易造成重复或遗漏．怎

样避免这个问题呢？

实际上，可以将这个游戏分两步进行，教师指导学生构造下列表格：

B

A457

1

6

8

分析：

首先考虑转动A盘：

指针可能指向1，6，8三个数字中的任意一个，可能出现的结果就会有3个；接着考虑转动B盘：

当A盘指针指向1时，B盘指针可能指向4，5，7三个数字中的任意一个．当A盘指针指向6或8时，B盘指针同样可能指向4，5，7三个数字中的任意一个，这样一共会产生9种不同的结果．

学生独立填写表格，通过观察与计算，得出结论（即列表法）．

B

A457

1（1，4）（1，5）（1，7）

6（6，4）（6，5）（6，7）

8（8，4）（8，5）（8，7）

从表中可以发现：

A盘数字大于B盘数字的结果共有5种，而B盘数字大于A盘数字的结果共有4种．

5

∴P（A数较大）＝

9

，P（B数较大）＝

4

，∴P（A数较大）＞P（B数较大），∴选择A装置的获胜

9

可能性较大．

在学生填写表格过程中，注意向学生强调数对的有序性．

由于游戏是分两步进行的，我们也可用其他的方法来列举．即先转动B盘，可能出现4，5，7三种结果；第二步考虑转动A盘，可能出现1，6，8三种情况．

活动3例题精讲

通过上面例1的分析，学生对用列表法求概率有了初步的了解，为了帮助学生熟练掌握这种方法，教师引导学生分析解决教材第136页例2.然后引导学生进行题后小结：

当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法．运用列

表法求概率的步骤如下：

（1）列表；

（2）通过表格计数，确定公式P（A）＝

m

中的m和n的值；

n

m

（3）利用公式P（A）＝

n

计算事件发生的概率．

活动4过关练习

教材第138页练习第1～2题．活动5课堂小结与作业布置

课堂小结

引导学生从知识、方法、情感三方面来谈一谈这节课的收获，要求每个学生在组内交流，派小组代表发言．

作业布置

教材第139页～140页习题第1～3题和第5题．第2课时用树状图求概率

1.理解并掌握用树状图求概率的方法，并利用它们解决问题．

2.

正确认识在什么条件下使用列表法，在什么条件下使用树状图法．

重点

理解树状图的应用方法及条件，用画树状图的方法求概率．难点

用树状图列举各种可能的结果，求实际问题中的概率．

一、复习引入

用列举法求概率的方法．

（1）总共有几种可能，即求出n；

（2）每个事件中有几种可能的结果，即求出m，从而求出概率．什么时候用列表法？

列举所有可能的结果的方法有哪些？

二、探索新知画树状图求概率

例1甲口袋中装有2个相同的球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中3个相同的球，

它们分别写有字母C，D和E；丙口袋中2个相同的球，它们分别写有字母H和I.从三个口袋中各随机地取出1个球．

（1）取出的三个球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别为多少？

（2）取出的三个球上全是辅音字母的概率是多少？

例1与上节课的例题比较，有所不同：

要从三个袋子里摸球，即涉及到三个因素．此时同学们会发现用列表法就不太方便，可以尝试树状图法．

本游戏可分三步进行．分步画图和分类排列相关的结论是解题的关键．

从图形上可以看出所有可能出现的结果共有12个，即：

AAAAAABBBBBBCCDDEECCDDEEHIHIHIHIHIHI

（幻灯片上用颜色区分）

这些结果出现的可能性相等．

（1）只有一个元音字母的结果（黄色）有5个，即ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以

5

P（1个元音）＝；

12

41

有两个元音的结果（白色）有4个，即ACI，ADI，AEH，BEI，所以P（2个元音）＝＝；

123

1

全部为元音字母的结果（绿色）只有1个，即AEI，所以P（3个元音）＝.

12

21

（2）全是辅音字母的结果（红色）共有2个，即BCH，BDH，所以P（3个辅音）＝＝.

126

通过例1的解答，很容易得出题后小结：

当一次试验要涉及3个或更多的因素时，通常采用“画树形图”．运用树状图法求概率的步骤如下：

（幻灯片）

①画树状图；

②列出结果，确定公式P（A）＝

m

中m和n的值；

n

③利用公式P（A）＝

m

计算．

n

三、巩固练习

教材第139页练习四、课堂小结

本节课应掌握：

1.利用树状图法求概率．

2.什么时候用列表法，什么时候用树状图法，各自的应用特点：

有两个元素且情况较多时用列表法，当有三个或三个以上元素时用树状图法．

五、作业布置

列举法求概率

教学目标：

知识与技能目标

学习用列表法、画树形图法计算概率，并通过比较概率大小作出合理的决策。

过程与方法目标

经历实验、列表、统计、运算、设计等活动，学生在具体情境中分析事件，计算其发生的概率。

渗透数形结合，分类讨论，由特殊到一般的思想，提高分析问题和解决问题的能力。

情感与态度目标

通过丰富的数学活动，交流成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的应用

价值，培养积极思维的学习习惯。

教学重点：

习运用列表法或树形图法计算事件的概率。

教学难点：

能根据不同情况选择恰当的方法进行列举，解决较复杂事件概率的计算问题。

教学过程

1.创设情景，发现新知

教材是通过P151—P152的例5、例6来介绍列表法和树形图法的。

例5（教材P151）：

同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：

（1）两个骰子的点数相同；

（2）两个骰子的点数的和是9；

（3）至少有一个骰子的点数为2。

这个例题难度较大，事件可能出现的结果有36种。

若首先就拿这个例题给学生讲解，大多数学生理解起来会比较困难。

所以在这里，我将新课的引入方式改为了一个有实际背景的转盘游戏（前一课已有例２作基础）。

（1））创设情景

引例：

为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下转盘游戏：

A、B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是1，6，8，转盘B上的数字分别是4，5，7（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）。

每次选择2名同学分别拨动A、B两个转盘上的指针，使之产生旋转，指针停止后所指数字较大的一方为获胜者，负者则表演一个节目（若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次）。

作为游戏者，你会选择哪个装置呢？

并请说明理由。

【设计意图】选用这个引例，是基于以下考虑：

以贴近学生生活的联欢晚会为背景，创设转盘游戏引入，能在最短时间内激发学生的兴趣，引起学生高度的注意力，进入情境。

（2））学生分组讨论，探索交流

在这个环节里，首先要求学生分组讨论，探索交流。

然后引导学生将实际问题转化为数学问题，即：

“停止转动后，哪个转盘指针所指数字较大的可能性更大呢？

”

由于事件的随机性，我们必须考虑事件发生概率的大小。

此时我首先引导学生观看转盘动画，同学们会发现这个游戏涉及A、B两转盘，即涉及2个因素，与前一课所讲授单转盘概率问题（教材P148例2）相比，可能产生的结果数目增多了，列举时很容易造成重复或遗漏。

怎样避免这个问题呢？

实际上，可以将这个游戏分两步进行。

于是，指导学生构造表格

（3））指导学生构造表格

AB457

1

6

8

首先考虑转动A盘：

指针可能指向1，6，8三个数字中的任意一个，可能出现的结果就会

有3个。

接着考虑转动B盘：

当A盘指针指向1时，B盘指针可能指向4、5、7三个数字中的任意一个，这是列举法的简单情况。

当A盘指针指向6或8时，B盘指针同样可能指向4、5、7三个数字中的任意一个。

一共会产生9种不同的结果。

【设计意图】这样既分散了难点，又激发了学生兴趣，渗透了转化的数学思想。

（4））学生独立填写表格，通过观察与计算，得出结论（即列表法）

AB457

1（1，4）（1，5）（1，7）

6（6，4）（6，5）（6，7）

8（8，4）（8，5）（8，7）

从表中可以发现：

A盘数字大于B盘数字的结果共有5种。

∴P（A数较大）=,P（B数较大）=.

∴P（A数较大）＞P（B数较大）

∴选择A装置的获胜可能性较大。

在学生填写表格过程中，注意向学生强调数对的有序性。

由于游戏是分两步进行的，我们也可用其他的方法来列举。

即先转动Ａ盘，可能出现1，6，8三种结果；第二步考虑转动Ｂ盘，可能出现4，5，7三种结果。

（5））解法二：

由图知：

可能的结果为：

（1，4），（1，5），（1，7），

（6，4），（6，5），（6，7），

（8，4），（8，5），（8，7）。

共计9种。

∴P（A数较大）=,P（B数较大）=.

∴P（A数较大）＞P（B数较大）

∴选择A装置的获胜可能性较大。

然后，引导学生对所画图形进行观察：

若将图形倒置，你会联想到什么？

这个图形很像一棵树，所以称为树形图（在幻灯片上放映）。

列表和树形图是列举法求概率的两种常用的方法。

【设计意图】自然地学生感染了分类计数和分步计数思想。

2.自主分析，再探新知

通过引例的分析，学生对列表法和树形图法求概率有了初步的了解，为了帮助学生熟练掌握这两种方法，我选用了下列两道例题（本节教材P151—P152的例5和例6）。

例1：

同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：

（1）两个骰子的点数相同；

（2）两个骰子的点数的和是9；

（3）至少有一个骰子的点数为2。

例1是教材上一道“掷骰子”的问题，有了引例作基础，学生不难发现：

引例涉及两个转盘，这里涉及两个骰子，实质都是涉及两个因素。

于是，学生通过类比列出下列表。

第2个

第1个123456

1（1，1）（1，2）

（1，3）（1，4）（1，5）

（1，6）

2（2，1）（2，2）

（2，3）（2，4）（2，5）

（2，6）

3（3，1）（3，2）

（3，3）（3，4）（3，5）

（3，6）

4（4，1）（4，2）

（4，3）（4，4）（4，5）

（4，6）

5（5，1）（5，2）

（5，3）（5，4）（5，5）

（5，6）

6（6，1）（6，2）

（6，3）（6，4）（6，5）

（6，6）

由上表可以看出，同时掷两个骰子，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等。

由所列表格可以发现：

（1））满足两个骰子的点数相同（记为事件A）的结果有6个，即（1，1），（2，2），（3，3），

（4，4），（5，5），（6，6），所以P（A）==。

[满足条件的结果在表格的对角线上]

（2））满足两个骰子的点数的和是9（记为事件B）的结果有4个，即（3，6），（4，5），（5，4），（6，3），所以P（B）==。

[满足条件的结果在（3，6）和（6，3）所在的斜线上]

（3））至少有一个骰子的点数为2（记为事件C）的结果有11个，所以P（C）=。

[满足条件的结果在数字2所在行和2所在的列上]

接着，引导学生进行题后小结：

当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法。

运用列表法求概率的步骤如下：

①列表；

②通过表格计数，确定公式P（A）=中m和n的值；

③利用公式P（A）=计算事件的概率。

分析到这里，我会问学生：

“例1题目中的“掷两个骰子”改为“掷三个骰子”，还可以使用列表法来做吗？

”由此引出下一个例题。

例2：

甲口袋中装有2个相同的球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中3个相同的球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中2个相同的球，它们分别写有字母H和I。

从三个口袋中各随机地取出1个球。

（1））取出的三个球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别为多少？

（2））取出的三个球上全是辅音字母的概率是多少？

例2与前面两题比较，有所不同：

要从三个袋子里摸球，即涉及到3个因素。

此时同学们会发现用列表法就不太方便，可以尝试树形图法。

本游戏可分三步进行。

分步画图和分类排列相关的结论是解题的关键。

从图形上可以看出所有可能出现的结果共有12个，即：

（幻灯片上用颜色区分）

这些结果出现的可能性相等。

（1））只有一个元音字母的结果（黄色）有5个，即ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以；有两个元音的结果（白色）有4个，即ACI，ADI，AEH，BEI，所以；

全部为元音字母的结果（绿色）只有1个，即AEI，所以。

（2））全是辅音字母的结果（红色）共有2个，即BCH，BDH，所以。

通过例2的解答，很容易得出题后小结：

当一次试验要涉及3个或更多的因素时，通常采用“画树形图”。

运用树形图法求概率的步骤如下：

（幻灯片）

①画树形图；

②列出结果，确定公式P（A）=中m和n的值；

③利用公式P（A）=计算事件概率。

接着我向学生提问：

到现在为止，我们所学过的用列举法求概率分为哪几种情况？

列表法和画树形图法求概率有什么优越性？

什么时候使用“列表法”方便，什么时候使用“树形图法”更好呢？

【设计意图】通过对上述问题的思考，可以加深学生对新方法的理解，更好的认识到列表

法和画树形图法求概率的优越性在于能够直观、快捷、准确地获取所需信息，有利于学生根据实际情况选择正确的方法。

3.应用新知，深化拓展

为了检验学生对列表法和画树形图法的掌握情况，提高应用所学知识解决问题的能力，在此我选择了教材P154课后练习作为随堂练习。

（1））经过某十字路口的汽车，它可能继续前行，也可能向左或向右，如果这三种可能性大小相同。

三辆汽车经过这个十字路口，求下列事件的概率：

①三辆车全部继续前行；

②两辆车向右转，一辆车向左转；

③至少有两辆车向左转。

[随堂练习

（1）是一道与实际生活相关的交通问题，可用树形图法来解决。

]

（2））在6张卡片上分别写有1——6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的概率是多少？

通过解答随堂练习

（2），学生会发现列出的表格和例1的表格完全一样。

不同的是：

变换了实际背景，设置的问题也不一样。

这时，我提出：

我们是否可以根据这个表格再编一道用列举法求概率的题目来呢？

为了进一步拓展思维，我向学生提出了这样一个问题，供学生课后思考：

在前面的引例中，转盘的游戏规则是不公平的，你能把它改成一个公平的游戏吗？

【设计意图】以上问题的提出和解决有利于学生发现数学问题的本质，做到举一反三，融会贯通。

4.归纳总结，形成能力

我将引导学生从知识、方法、情感三方面来谈一谈这节课的收获。

要求每个学生在组内交流，派小组代表发言。

【设计意图】通过这个环节，可以提高学生概括能力、表达能力，有助于学生全面地了解自己的学习过程，感受自己的成长与进步，增强自信，也为教师全面了解学生的学习状况、因材施教提供了重要依据。

5.布置作业，巩固提高

考虑到学生的个体差异，为促使每一个学生得到不同的发展，同时促进学生对自己的学习进行反思，在第五个环节“布置作业，巩固提高”里作如下安排：

（1）必做题：

书本P154/3，P155/4，5

（2）选做题：

①请设计一个游戏，并用列举法计算游戏者获胜的概率。

②研究性课题：

通过调查学校周围道路的交通状况，为交通部门提出合理的建议等。

【设计意图】通过教学实践作业和社会实践活动，引导学生灵活运用所学知识，让学生把动脑、动口、动手三者结合起来，启发学生的创造性思维，培养协作精神和科学的态度。