中考二次函数实际问题应用题.docx
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中考二次函数实际问题应用题
二次函数的实际应用
1.(2012重庆市10分)企业的污水处理有两种方式,一种是输送到污水厂进行集中处
理,另一种是通过企业的自身设备进行处理.某企业去年每月的污水量均为12000吨,由于
污水厂处于调试阶段,污水处理能力有限,该企业投资自建设备处理污水,两种处理方式同
时进行.1至6月,该企业向污水厂输送的污水量y1(吨)与月份x(1 之间满足的函数关系如下表: 月份艺(月) 1 2 3 4 5 6 输送的污水量yi(吨) 12000 6000 4000 3000 2400 2000 7至12月,该企业自身处理的污水量y2(吨)与月份x(7wx<12,且x取整数)之间满足 二次函数关系式为y2=ax2+c(a^0)•其图象如图所示.1至6月,污水厂处理每吨污水的费 1 用: Z1(元)与月份x之间满足函数关系式: z1x,该企业自身处理每吨污水的费用: 31 z2(元)与月份x之间满足函数关系式: z2=xx2;7至12月,污水厂处理每吨污 412 水的费用均为2元,该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元. (1)请观察题中的表格和图象,用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识,分别直接写出屮,y2与x之间的函数关系式; (2)请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W(元)最多,并求出这个最多费用; (3)今年以来,由于自建污水处理设备的全面运行,该企业决定扩大产能并将所有污水全 a%同时每 部自身处理,估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加 吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加(a-30)%为鼓励节能降耗,减轻企业 负担,财政对企业处理污水的费用进行50%勺补助.若该企业每月的污水处理费用为18000 将(1,12000)代入得: k=1X12000=12000, 12000 •-y1(1wxw6,且x取整数)。 x 根据图象可以得出: 图象过(7,10049),(12,10144)点,代入y2=ax+c得: 49a+c=10049“口a=1 2,解得: 2。 144a+c=10144Jc=10000 2.. •••y2=x+10000(7wxw12,且x取整数)。 (2)当1wxw6,且x取整数时: 22 =-1000x+10000x-3000=-1000(x-5)+2200。 •/a=-1000V0,1wxw6,「.当x=5时,W最大=22000(元)。 当7wxw12时,且x取整数时: 2212 V=2X(12000-y1)+1.5y2=2X(12000-x-10000)+1.5(x+10000)=-x+1900。 2 1 Ta=-_v0,对称轴为x=0,当7wxw12时,W随x的增大而减小, 2 •••当x=7时,W最大=18975.5(元)。 •/22000>18975.5, •去年5月用于污水处理的费用最多,最多费用是22000元。 (3)由题意得: 12000(1+a%x1.5x[1+(a-30)%]x(1-50%=18000,设t=a%整理得: 10t+17t-13=0,解得: t=17土」809。 20 809 〜28.4 •t仟0.57,t2~-2.27(舍去) 答: a整数值是57。 【考点】二次函数的应用,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质,解一元二次方程。 【分析】 (1)利用表格中数据可以得出xy=定值,则y1与x之间的函数关系为反比例函数关 系,求出即可。 再利用函数图象得出: 图象过(7,10049),(12,10144)点,求出二次函 数解析式即可。 (2)利用当1wxw6时,以及当7wxw12时,分别求出处理污水的费用,即可得出答案。 (3)利用今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%同时每吨污水处理的 费用将在去年12月份的基础上增加(a一30)%得出等式12000(1+a%)x1.5x[1+(a-30)%]x(1-50%)=18000,进而求出即可。 1答案】解: (1)1400-50x. (2)根据题意得; 严(-50X+1400)-4800=-SO^+UOOx-<1800=-50(x-M)2+5000fl 当}j=14时,在范围內,y有最大值5000» 二当日租出14辆时,租赏公司日收益最大,最大值500C元. (3)要使租贺公司日收益不盈也不亏,即*y-Oi即: 50(x-14)3+5000=0? 解得X]=24j5^=4, 丁沪24不合题意,舍去. 二当日租出4辆时,租巒公司日收益不盈也不亏n 【着点】二次函数的应用,二次函数的最值,解一元二徐方程. 【分析】 (1)丁某汽车租赏公司拥育加辆汽车.据统计,当每辆车的日租金为4叩元时,可全部租出, 当每辆车的日租金每増加50元,未租出的车将増加1辆, 二当全部齐租出时,銅租金为’400+20x50=1400元, 二公司每日租出孟辆车时,每辆车的日租金为;1400-50x. (2)根据已知得到的二次函数栄系应用二次函数的最值求得日收益的最大值即可° ⑶要使租贯公司日收益不盘也不亏即: y-50(x-14)2+50000,求出x即可- 3.(2012浙江台州12分)某汽车在刹车后行驶的距离s(单位: 米)与时间t(单位: 秒)之间的关系得部分数据如下表: 时间t(秒) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 行驶距离s(米) 0 2.8 5.2 7.2 8.8 10 10.8 (1)根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点; (2)选择适当的函数表示s与t之间的关系,求出相应的函数解析式; (3)①刹车后汽车行驶了多长距离才停止? ②当t分别为tl,t2(tivt2)时,对应s 的值分别为s1,s2,请比较2与J的大小,并解释比较结果的实际意义. 【答案】解: (1)描点图所示: (2)由散点图可知该函数为二次函数。 设二次函数的解析式为: s=at2+bt+c, •••抛物线经过点(0,0),•'•c=0。 又由点(0.2,2.8),(1,10)可得: O.04a+0.2b=2.8,解得: a=—5 。 a+b=10 L b=15 经检验,其余各点均在s=—5t2+15t上。 •••二次函数的解析式为: s=-5t2,15t。 (3)①汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离。 •••—5「5匸-5-2罟,•当t=3时,滑行距离最大,为: 。 因此,刹车后汽车行驶了 45 45米才停止。 4 ②•••s=-5t215t,•••s=-5t12-15t1? s2=-5t22-15t2。 •••tKt2,.・.s1-s2=-5t[155t215=5t2-t[>0oas1>s2。 t1t2t1t2 其实际意义是刹车后到t2时间内的平均速到t1时间内的度小于刹车后平均速度。 【考点】二次函数综合题,待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,二次函数的性质和 应用,不等式的应用。 【分析】 (1)描点作图即可。 (2)首先判断函数为二次函数。 用待定系数法,由所给的任意三点即可求出函数解析式。 (3)将函数解析式表示成顶点式(或用公式求),即可求得答案。 (4)求出s1与s2,用差值法比较大小。 t1t2 4.(2012江苏常州7分)某商场购进一批L型服装(数量足够多),进价为40元/件,以60元/件销售,每天销售20件。 根据市场调研,若每件每降1元,则每天销售数量比原 来多3件。 现商场决定对L型服装开展降价促销活动,每件降价x元(x为正整数)。 在促 销期间,商场要想每天获得最大销售利润,每件降价多少元? 每天最大销售毛利润为多少? (注: 每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差) 【答案】解: 根据题意,商场每天的销售毛利润Z=(60—40—x)(20+3x)=—3x2+40x+400 •••当x=—2=—"40=62时,函数Z取得最大值。 2a」3 22 •/x为正整数,且7-62<62-6, 33 •••当x=7时,商场每天的销售毛利润最大,最大销售毛利润为—3•72+40•7+400=533。 答: 商场要想每天获得最大销售利润,每件降价7元,每天最大销售毛利润为533元。 【考点】二次函数的应用,二次函数的最值。 【分析】求出二次函数的最值,找出x最接近最值点的整数值即可。 5.(2012湖北黄冈12分)某科技开发公司研制出一种新型产品,每件产品的成本为2400 元,销售单价定为3000元•在该产品的试销期间,为了促销,鼓励商家购买该新型产品, 公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时,每件按3000元销售;若一次购买该种产品超过10件时,每多购买一件,所购买的全部产品的销售单价均降低10元,但销售单价均不低于2600元. (1)商家一次购买这种产品多少件时,销售单价恰好为2600元? (2)设商家一次购买这种产品x件,开发公司所获的利润为y元,求y(元)与x(件)之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围. (3)该公司的销售人员发现: 当商家一次购买产品的件数超过某一数量时,会出现随着一 次购买的数量的增多,公司所获的利润反而减少这一情况•为使商家一次购买的数量越多, 公司所获的利润越大,公司应将最低销售单价调整为多少元? (其它销售条件不变) 【答案】解: (1)设件数为x,依题意,得3000—10(x—10)=2600,解得x=50。 答: 商家一次购买这种产品50件时,销售单价恰好为2600元。 (2)当0 当10vxw50时,y=[3000—10(x—10)—2400]x,即y=—10x+700x;当x>50时,y=(2600—2400)x=200x。 600x(0_x-10且x为整数) •••y工三一10x2700x(10 200x(x>50,且x为整数) 此时,销售单价为3000—10(x—10)=2750元, 答: 公司应将最低销售单价调整为2750元。 【考点】二次函数的应用。 【分析】 (1)设件数为X,则销售单价为3000-10(x-10)元,根据销售单价恰好为2600 元,列方程求解。 (2)由利润丫=销售单价X件数,及销售单价均不低于2600元,按0wxw10,10vxw50,x>50三种情况列出函数关系式。 (3)由 (2)的函数关系式,禾U用二次函数的性质求利润的最大值,并求出最大值时x的值,确定销售单价。 6.(2012四川巴中9分)某商品的进价为每件50元,售价为每件60元,每个月可卖 出200件。 如果每件商品的售价上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于72元)。 设每件商品的售价上涨x元(x为整数),每个月的销售利润为y元, (1)求y与x的函数关系式,并直接写出x的取值范围; (2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润? 最大月利润是多少元? 【答案】解: (1)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),则每件商品的利润为: (60— 50+x)元,总销量为: (200-10X)件, 2 商品利润为: y=(60—50+x)(200—10x)=—10X+100X+2000。 •••原售价为每件60元,每件售价不能高于72元,•••0vxw12。 22 (2)vy=—10x+100X+2000=—10(x—5)+2250, •••当x=5时,最大月利润y=2250。 答: 每件商品的售价定为5元时,每个月可获得最大利润,最大月利润是2250元。 【考点】二次函数的应用,二次函数的最值。 【分析】 (1)根据题意,得出每件商品的利润以及商品总的销量,即可得出y与x的函数关 系式。 (2)根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式(或用公式法),从而得出当 x=5时得出y的最大值。 7.(2012辽宁锦州10分)某商店经营儿童益智玩具,已知成批购进时的单价是20元. 调查发现: 销售单价是30元时,月销售量是230件,而销售单价每上涨1元,月销售量就 减少10件,但每件玩具售价不能高于40元.设每件玩具的销售单价上涨.了x元时(x为正 整数),月销售利润为y元• (1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围• (2)每件玩具的售价.定为多少元时,月销售利润恰为2520元? (3)每件玩具的售价.定为多少元时可使月销售利润最大? 最大的月利润是多少? 【答案】解: (1)依题意得y=(30x-20)(230-10x)=-10x2130x2300 自变量x的取值范围是: 0vxw10且x为正整数。 (2)当y=2520时,得-10x2130x2300=2520, 解得X1=2,X2=11(不合题意,舍去)。 当x=2时,30+x=32。 •每件玩具的售价定为32元时,月销售利润恰为2520元。 (3)y--10x2130x2300--10(x-6.5)22722.5 •/a=-10v0•••当x=6.5时,y有最大值为2722.5。 •/0vxw10且x为正整数, •••当x=6时,30+x=36,y=2720,当x=7时,30+x=37,y=2720。 •每件玩具的售价定为36元或37元时,每个月可获得最大利润。 最大的月利润是2720元。 【考点】二次函数的应用,二次函数的最值,解一元二次方程。 【分析】 (1)根据销售利润=销售量X销售单价即可得y与x的函数关系式。 因为x为正整数,所以x>0;因为每件玩具售价不能高于40元,所以xw40—30=10。 故自变量x的取值范围是: Ovxw10且x为正整数。 (2)求出函数值等于2520时自变量x的值即可。 (3)将函数式化为顶点式即可求。 8.(2012贵州省毕节市,25,12分)某商品的进价为每件20元,售价为每件30,每个月可买出180件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月就会少卖出10件,但每件售价不能高于35元,设每件商品的售价上涨x元(X为整数),每个月的销售利润为X的取值范围为y元。 (1)求y与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围; (2)每件商品的售价为多少元时,每个月可获得最大利润? 最大利润是多少? (3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰好是1920元? 解析: (1)销售利润=每件商品的利润X(180-10X上涨的钱数),根据每件售价不能高于35元,可得自变量的取值; (2)利用公式法结合 (1)得到的函数解析式可得二次函数的最值,结合实际意义,求得整数解即可; (3)让 (1)中的y=1920求得合适的x的解即可. 解答: 解: (1)y=(30-20+x)(180-10x)=-10x2+80x+1800(0wx<5,且x为整数); _80一一 (2)当x=4时,y最大=1960兀;.••每件商品的售价为34兀. 2"-10) 答: 每件商品的售价为34元时,商品的利润最大,为1960元; (3))1920=-10x2+80x+1800,x2-8x+12=0,即(x-2)(x-6)=0, 解得x=2或x=6,■/0wxw5,•••x=2, •••售价为32元时,利润为1920元. 点评: 考查二次函数的应用;得到月销售量是解决本题的突破点;注意结合自变量的取值求 得相应的售价. 9.(2012山西,24,10分)山西特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元,按每 千克60元出售,平均每天可售出100千克,后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则 平均每天的销售可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回 答: (1)每千克核桃应降价多少元? (2)在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场,该店应按原售价的几折出售? 【解析】 (1)解: 设每千克核桃应降价x元.…1分 根据题意,得(60-x-40)(100+'X20)=2240.…4分 2 化简,得x-10x+24=0解得X1=4,X2=6.…6分 答: 每千克核桃应降价4元或6元.…7分 (2)解: 由 (1)可知每千克核桃可降价4元或6元. 因为要尽可能让利于顾客,所以每千克核桃应降价6元.…8分 一Rd 此时,售价为: 60-6=54(元),一--■•.…9分 60 答: 该店应按原售价的九折出售.…10分 10.(2012年常州市)某商场购进一批L型服装(数量足够多),进价为40元/件,以 60元/件销售,每天销售20件。 根据市场调研,若每件每降1元,则每天销售数量比原来 多3件。 现商场决定对L型服装开展降价促销活动,每件降价x元(x为正整数)。 在促销 期间,商场要想每天获得最大销售利润,每件降价多少元? 每天最大销售毛利润为多少? (注: 每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差) 【答案】解: 根据题意,商场每天的销售毛利润Z=(60-40-x)(20+3x)=-3x+40X+400 •••当x=—2=—"40=62时,函数z取得最大值。 2a」3 22 •/x为正整数,且7-62<62-6, 33 •••当x=7时,商场每天的销售毛利润最大,最大销售毛利润为一3•72+ 40•7+400=533。 答: 商场要想每天获得最大销售利润,每件降价7元,每天最大销售毛利润为 533元。 11.(2012河北省24,9分)某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计)这些薄板的 形状均为正方形,边长(单位: cm)在5~50之间,每张薄板的成本价(单位: 元)与它的 2 面积(单位: cm)成正比例,每张薄板的出厂价(单位: 元)由基础价和浮动价两部分组成,其中基础价与薄板的大小无关,是固定不变的,浮动价与薄板的边长成正比例,在营销 过程中得到了表格中的数据, 薄板的边长(cm) 20 30 出厂价(元/张) 50 70 【解析】 (1)根据每张薄板的出厂价(单位: 元)由基础价和浮动价两部分组成,设出出厂价的表达式(为一次函数)再根据表格中的数据,求出解析式。 (2)根据利润=出厂价-成本 价,列出利润的关系式,为二次函数,再利用顶点坐标,求出当边长为多少时,博班利润最大? 最大利润是多少? 但是需要验证顶点的横坐标在不在x的取值范围内。 【答案】解: (1)设一张薄板的边长为xcm,它的出厂价为y元,基础价为n元,浮动价为kx元, 贝Vy=kx+n2分 50=20k+nk=2 由表格中数据得丿解得丿•y=2x+10 70=30k+nr=10 (2[①设一张薄板的利润为P元,它的成本价为mf元,由题意得 22 P=y—mx=2x+10-mx 1 将x=40,P=26代入P=2x+10-mx2中,得26=24010_m402解得m— 25 1b2 ②,a0•••当x25(在5~50之间)时, 252a2乂(一丄) 25 丄〕"。 —22 (2^-=35—丄'「可丿 y随x的增大而增大还是缩小;二次函数的极值分为两部分: 顶点极值和非顶点极值。 是每次中考都要考查的重点内容。 教学时要多加注意。 难度中等。 12.(2012山东省青岛市,22,10)(10分)在“母亲节”期间,某校部分团员参加社 会公益活动,准备购进一批许愿瓶进行销售,并将所得利润捐给慈善机构•根据市场调查, 这种许愿瓶一段时间内的销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间的对应关系如图所示: ⑴试判断y与x之间的函数关系,并求出函数关系式; ⑵若许愿瓶的进价为6元/个,按照上述市场调查的销售规律,求销售利润w(元)与销售 单价x(元/个)之间的函数关系式; ⑶若许愿瓶的进货成本不超过900元,要想获得最大的利润,试确定这种许愿瓶的销售单价, 并求出此时的最大利润• 【解析】 (1)根据图象可观察得y与x成一次函数关系,利用一次函数解析来解答 (2)利用“利润=销售量x每吨的利润”列函数关系式 (3)先利用“成本w900元”求得自变量的取值,然后根据函数性质求最值. 【答案】解: ⑴y是x的一次函数,设y=kx+b图象过点(10,300),(12,240), 10k+b=300口k=-30 解得y=-30x+600 12k+b=240b=600 当x=14时,y=180;当x=16时,y=120, 即点(14,180),(16,120)均在函数y=-30x+600的图象上./•y与x之间的函数关系式为y=-30x+600. 2 ⑵w=(x-6)(-30x+600)=-30x+780x-3600 即w与x之间的函数关系式为w=-30x2+780x-3600. ⑶由题意得6(-30x+600)<900,解得x>15. •••抛物线开口向下,当x>15时,w随x增大而减小,.••当x=15时,w最大=1350.即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350元. 【点评】本题是主要考查了一次函数、二次函数模型的选择与应用.运用函数性质求二次函数的最值常用配方法或公式法. (1)问中,要注意将其余各点代入验证,这一点容易忽视 13.(2012四川成都,26,8分)“城市发展交通先行”,成都市今年在中心城区 启动了缓堵保畅的二环路高架桥快速通道建设工程,建成后将大大提升二环路的通行能力•研究表明,某种情况下,高架桥上的车流速度V(单位: 千米/时)是车流密度x(单位: 辆/千米)的函数,且当0 (1)求当28
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- 中考 二次 函数 实际问题 应用题