高中数学函数小结与系统复习.docx
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高中数学函数小结与系统复习
第一节 函数及其表示
考纲
考纲传真
1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.
2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数,并能简单应用.
考点梳理
1.函数
(1)函数的定义
设集合A是一个非空的数集,对A中的任意数x,按照确定的法则f,都有唯一确定的数y与它对应,则这种对应关系叫做集合A上的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x叫做自变量.
(2)函数的定义域、值域
定义域:
函数y=f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域.
值域:
所有函数值构成的集合{y|y=f(x),x∈A}叫做这个函数的值域.
(3)函数的两个要素:
定义域和对应法则.
2.映射
设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应法则f,对A中的任意一个元素x,在B中有且仅有一个元素y与x对应,则称f是集合A到集合B的映射.
3.函数的表示方法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应法则,这样的函数称为分段函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.
学情自测
1.(人教B版教材习题改编)给出四个命题:
①函数是其定义域到值域的映射;
②f(x)=+是一个函数;
③函数y=2x(x∈N)的图象是一条直线;
④f(x)=lgx2与g(x)=2lgx是同一函数.
其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解析】 由函数的定义知①正确.
∵满足f(x)=+的x不存在,∴②不正确.
又∵y=2x(x∈N)的图象是位于直线y=2x上的一群孤立的点,∴③不正确.
又∵f(x)与g(x)的定义域不同,∴④也不正确.
【答案】 A
2.下列函数中,与函数y=x相同的是( )
A.y=B.y=()2
C.y=lg10xD.y=2log2x
【解析】 因为y==x(x≠0);y=()2=x(x≥0);
y=lg10x=x(x∈R);y=2log2x=x(x>0),故选C.
【答案】 C
3.函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},则其值域为________.
【解析】 列表如下:
x
0
1
2
3
y
0
-1
0
3
由表知函数的值域为{0,-1,3}.
【答案】 {0,-1,3}
4.(2012·江西高考改编)设函数f(x)=则f(f(3))=________.
【解析】 由题意知f(3)=,f()=()2+1=,
∴f(f(3))=f()=.
【答案】
5.(2012·广东高考)函数y=的定义域为________.
【解析】 要使函数有意义,
需
解得
∴原函数的定义域为{x|x≥-1且x≠0}.
【答案】 {x|x≥-1且x≠0}
(见学生用书第10页)
典例探究
考向一:
求函数的定义域
例1.
(1)(2013·大连模拟)求函数f(x)=的定义域;
(2)已知函数f(2x)的定义域是[-1,1],求f(x)的定义域;
【思路点拨】
(1)根据解析式,构建使解析式有意义的不等式组求解即可.
(2)要明确2x与f(x)中x的含义,从而构建不等式求解.
【尝试解答】
(1)要使该函数有意义,
需要则有:
解得:
-3<x<0或2<x<3,
所以所求函数的定义域为(-3,0)∪(2,3).
(2)∵f(2x)的定义域为[-1,1],即-1≤x≤1,
∴≤2x≤2,故f(x)的定义域为[,2].
【规律方法】
1.题
(2)中易理解错f(x)与f(2x)定义域之间的关系.
2.
(1)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题,取交集时可借助数轴,并注意端点值的取舍.
(2)对抽象函数:
①若函数f(x)的定义域为[a,b],则函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出.②若已知函数f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a,b]时的值域.
【变式训练】
已知函数f(x)的定义域为[1,2],则函数g(x)=的定义域为________.
【解析】 要使函数g(x)=有意义,则必须有∴≤x<1,故函数g(x)的定义域为[,1).
【答案】 [,1)
考向二:
求函数的解析式
例2.
(1)已知f(+1)=lgx,求f(x);
(2)已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,求f(x);
(3)已知f(x)+2f()=x(x≠0),求f(x).
【审题视点】
(1)用换元法,令+1=t;
(2)本题已给出函数的基本特征,即二次函数,可采用待定系数法求解.
(3)用代入,构造方程求解.
【尝试解答】
(1)令t=+1,则x=,
∴f(t)=lg,即f(x)=lg.
(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由f(0)=2,得c=2,
f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)-ax2-bx=x-1,
即2ax+a+b=x-1,
∴即
∴f(x)=x2-x+2.
(3)∵f(x)+2f()=x,∴f()+2f(x)=.
解方程组得f(x)=-(x≠0).
【规律方法】
求函数解析式常用以下解法:
(1)待定系数法:
若已知函数的类型,可用待定系数法;
(2)换元法:
已知复合函数f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围;
(3)构造法:
已知关于f(x)与f()或f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,通过解方程组求出f(x).
【变式训练】
(1)已知f(1-cosx)=sin2x,求f(x)的解析式;
(2)已知2f(x)-f(-x)=lg(x+1),x∈(-1,1),求f(x)的解析式.
【解】
(1)令t=1-cosx,则cosx=1-t,0≤t≤2,
∴f(t)=1-cos2x=1-(1-t)2=-t2+2t,
即f(x)=-x2+2x(0≤x≤2).
(2)∵2f(x)-f(-x)=lg(x+1),
∴2f(-x)-f(x)=lg(1-x),
解方程组得
f(x)=lg(x+1)+lg(1-x)(-1<x<1).
考向三:
分段函数及其应用
例3.
(1)根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位:
分钟)为
f(x)=(A,c为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,那么c和A的值分别是( )
A.75,25 B.75,16
C.60,25D.60,16
(2)已知函数f(x)=则f(x)-f(-x)>-1的解集为( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.[-1,-)∪(0,1]
C.(-∞,0)∪(1,+∞)D.[-1,-]∪(0,1)
【思路点拨】
(1)由x≥A时,f(x)=15知,4<A,从而可列方程组求解.
(2)分-1≤x<0和0<x≤1两种情况求解.
【尝试解答】
(1)因为组装第A件产品用时15分钟,所以=15,①
所以必有4<A,
且==30.②
联立①②解得c=60,A=16.
(2)①当-1≤x<0时,0<-x≤1,
此时f(x)=-x-1,f(-x)=-(-x)+1=x+1,
∴f(x)-f(-x)>-1化为-2x-2>-1,
得x<-,则-1≤x<-.
②当0<x≤1时,-1≤-x<0,
此时,f(x)=-x+1,f(-x)=-(-x)-1=x-1,
∴f(x)-f(-x)>-1化为-x+1-(x-1)>-1,
解得x<,则0<x≤1.
故所求不等式的解集为[-1,-)∪(0,1].
【答案】
(1)D
(2)B
【规律方法】
1.解答本题
(2)时,因自变量范围不确定,应分类求解.
2.应用分段函数时,首先要确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应关系代入计算求解,特别要注意分段区间端点的取舍,当自变量的值不确定时,要分类讨论.
3.若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围.
【变式训练】
(2013·青岛模拟)设函数y=f(x)在R上有定义.对于给定的正数M,定义函数fM(x)=则称函数fM(x)为f(x)的“孪生函数”.若给定函数f(x)=2-x2,M=1,则fM(0)的值为( )
A.2 B.1 C. D.-
【解析】 由题设,f(x)=2-x2≤1,得当x≤-1或x≥1时,fM(x)=2-x2;当-1<x<1时,fM(x)=1.
∴fM(0)=1.
【答案】 B
名师微博
一种方法
求复合函数y=f(g(x))的定义域的方法
(1)若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式得a<g(x)<b即可求出y=f(g(x))的定义域;
(2)若y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)的值域即为f(x)的定义域.
两个防范
1.解决函数问题,必须优先考虑函数的定义域.
2.用换元法解题时,应注意换元前后的等价性.
三个要素
函数的三要素是:
定义域、值域和对应关系.值域是由函数的定义域和对应关系所确定的.两个函数的定义域和对应关系完全一致时,则认为两个函数相等.函数是特殊的映射,映射f:
A→B的三要素是集合A、B和对应关系f.
高考体验(命题透视)
从近两年高考试题看,函数的定义域、分段函数与分段函数有关的方程、不等式是考查的重点内容,题型以选择题、填空题为主,既重视三基,又注重思想方法的考查,预计2014年仍以分段函数及应用为重点,同时应特别关注与分段函数有关的方程的问题.
思想方法之一 数形结合求解分段函数问题
(2012·天津高考)已知函数y=的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是________.
【解析】 根据绝对值的意义,y==
在直角坐标系中作出该函数的图象,如图中实线所示.根据图象可知,
当0 【答案】 (0,1)∪(1,4) 阅卷心语 易错提示: (1)没有化简函数解析式,从而无法画出函数图象求解. (2)不知道直线恒过定点(0,-2),无法确定k的取值范围. 防范措施: (1)解析式含有绝对值符号的函数,一般要去掉绝对值符号,把函数化为分段函数,利用几何直观求解. (2)直线方程中x或y的系数含有参数时,直线恒过定点,可通过该点旋转直线寻找满足条件的k的取值范围. 自主体验 1.(2012·福建高考)设f(x)=g(x)=则f(g(π))的值为( ) A.1 B.0 C.-1D.π 【解析】 根据题设条件,∵π是无理数,∴g(π)=0, ∴f(g(π))=f(0)=0. 【答案】 B 2.(2012·安徽高考)下列函数中,不满足f(2x)=2f(x)的是( ) A.f(x)=|x|B.f(x)=x-|x| C.f(x)=x+1D.f(x)=-x 【解析】 将f(2x)表示出来,看与2f(x)是否相等. 对于A,f(2x)=|2x|=2|x|=2f(x); 对于B,f(2x)=2x-|2x|=2(x-|x|)=2f(x); 对于C,f(2x)=2x+1≠2f(x); 对于D,f(2x)=-2x=2f(x),故只有C不满足f(2x)=2f(x),所以选C. 【答案】 C 课后作业(四)
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