完整版大学物理授课教案第十二章机械振动.docx
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完整版大学物理授课教案第十二章机械振动
第十二章机械振动沈阳工业大学郭连权(教授)
第四篇振动与颠簸
第十二章机械振动
§12-1简谐振动
1、弹簧振子运动
如图所取坐标,原点O在m均衡地点。
现将m略向右移到A,而后松开,此时,由
于弹簧伸长而出现指向均衡地点的弹性力。
在弹性
力作用下,物体向左运动,当经过地点
O时,作用
在m上弹性力等于0,可是因为惯性作用,m将持续向
O左侧运动,使弹簧压缩。
此时,因为弹簧被压缩,
而出现了指向均衡地点的弹性力并将阻挡物体向左
运动,使m速率减小,直至物体静止于
B(刹时静
止),以后物体在弹性力作用下改变方向,向右运动。
这样在弹性力作用下物体左右来去运动,即作机械振动。
图12-1
2、简谐振动运动方程
由上剖析知,m位移为x(相对均衡点O)时,它遇到弹性力为(胡克定律):
F
kx
(12-1)
式中:
当x
0即位移沿+x时,F沿-x,即F
0当x
0即位移沿-x时,F沿+x,即F0
k为弹簧的倔强系数,“—”号表示力F与位移x(相对O点)反向。
定义:
物体受力与位移正比反向时的振动称为简谐振动。
由定义知,弹簧振子做谐振动。
由牛顿第二定律知,m加快度为
a
F
kx
m
m
(m为物体质量)
a
d2x
d2x
kx
0
∵
dt2
∴dt2
m
k
2
∵k、m均大于0,∴可令m
可有:
第十二章
机械振动
沈阳工业大学
郭连权(教授)
d2x
2x0
(12-2)
dt2
式(12-2)是谐振动物体的微分方程。
它是一个常系数的齐次二阶的线性微分方程,它的解为
x
Asint
'
(12-3)
或
x
Acos
t
(12-4)
'
2
式(12-3)(12-4)是简谐振动的运动方程。
所以,我们也能够说位移是时间
t的正弦或余
弦函数的运动是简谐运动。
本书顶用余弦形式表示谐振动方程。
3、谐振动的速度和加快度
物体位移:
x
Acost
dx
Asin
t
V
(12-5)
速度:
dt
d2x
a
2Acost
2x
加快度:
dt2
(12-6)
可知:
Vmax
A
amax
2A
xt、V
t、a
t曲线以下
图12-2
图12-3
第十二章
机械振动
沈阳工业大学
郭连权(教授)
说明:
(1)
F
kx是谐振动的动力学特点;
(2)a
2x是谐振动的运动学特点;
(3)做谐振动的物体往常称为谐振子。
§12-2谐振动的振幅角频次位相
上节我们得出了谐振动的运动方程xAcost,此刻来说明式中各量意义。
1、振幅
做谐振动的物体走开均衡地点最大位移的绝对值称为振幅,记做A。
A反应了振动的强弱。
2、角频次(圆频次)
为了定义角频次。
第一定义周期和频次。
物体作一次完好振动所经历的时间叫做振动的周期,用T表示;在单位时间内物体所作的完好振动次数叫做频次,用v表示。
1
1
v
T
由上可知:
T
或
v
∵T为周期,∴x
Acost
AcostT
∵从t时辰经过1个周期时,物体又初次回到本来
t时辰状态,∴T
2(余弦函数
周期为2)
2
2v
T
可见:
表示在2秒内物体所做的完好振动次数,称为角频次(圆频次)
k
∵m
2
2
m
T
k
∴
v
1
k
2
m
2
关于给定的弹簧振子,m、k都是必定的,所以T、v完好由弹簧振子自己的性质所决定,与其余要素没关。
所以,这类周期和频次又称为固有周期和固有频次。
3、位相
在力学中,物体在某一时辰的运动状态由地点坐标和速度来决定,振动中,当A、
第十二章
机械振动
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郭连权(教授)
给定后,物体的地点和速度取决于
t
,
t
称为位相(或周相、相位)。
由上可见,位相是决定振动物体运动状态的物理量。
是t0时的位相,称为初相。
4、A、确实定
关于给定的系统,
已知,初始条件给定后可求出
A、。
初始条件:
t0时
xx0由x、v表达式有
vv0
x0Acos
v0Asin即
x0Acos
v0
Asin
tg
0即
x0
arctg
v0
x0
A
2
v02
x0
2
值所在象限:
1)x0
0,v0
0:
在第Ⅰ象限
2)x0
0,v0
0:
在第Ⅱ象限
3)x0
0,v0
0:
在第Ⅲ象限
4)x0
0,v0
0:
在第Ⅳ象限
(12-6)
(12-7)
5、两个谐振动物体在同一时辰位相差
设物体1和2的谐振动方程为
图12-4
x1
A1cos
1t
1
x2
A2cos
2t
2
随意t时辰两者位相差为
2t
2
1t121t
21
1:
2的位对比1超前
1:
2、1同位相
0:
2的位对比1落伍
第十二章
机械振动
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郭连权(教授)
例12-1:
以下图,一弹簧振子在圆滑水平面上,已知k
1.60N/m,,试
求以下状况下m的振动方程。
(1)将m从均衡地点向右移到x
0.10m处由静止开释;
(2)将m从均衡地点向右移到x
0.10m处并给予m向左的速率为。
解:
(1)m的运动方程为
x
Acos
t
k
2/s
由题意知:
m
初始条件:
t
0时,x0
0.10m,v00
A
2
v02
2
可得:
x0
2
0.100
图12-5
arctg
v0
arctg0
x0
∵
x0
0
,
v0
0
,∴
0
x
0.10cos2tm
2)初始条件:
t
0时,x0
0.10m,v0
0.20m/s
A
2
v02
2
0.202
0.12m
x0
2
22
arctg
v0
arctg
arctg1
x0
2
∵x0
0,v0
0,∴
4
x
0.12cos2t
m
4
可见:
关于给定的系统,假如初始条件不一样,则振幅和初相就有相应的改变。
例12-2:
以下图,一根不能够伸长的细绳上端固定,下端系一小球,使小球稍偏离均衡地点开释,小球即在铅直面内均衡地点邻近做振动,这一系统称为单摆。
(1)证明:
当摆角很小时小球做谐振动;
(2)求小球振动周期。
证:
(1)设摆长为l,小球质量为m,某时辰小球悬线与铅
直线夹角为
,选悬线在均衡地点右边时,角位移
为正,由
转动定律:
MJ
有
mgsinlml2d2
图12-6
dt2
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郭连权(教授)
d2
gsin0
即
dt2
l
∵很小。
∴sin
0
d2
g
0
dt2
l
∵这是谐振动的微分方程(或与正比反向)
∴小球在做谐振动。
(2)
22l
T2
gg
l
(注意做谐振动时条件,即很小)
§12-3表示谐振动的旋转矢量方法
在中学中,为了更直观更方便地研究三角函数,引进了单位圆的图示法,相同,在此为了更直观更方便地研究简谐振动,来引进旋转矢量的图示法。
一、旋转矢量
自ox轴的原点o作一矢量A,其模为简谐振动的振幅A,并使A在图面内绕o点逆时针转动,角速度大小为谐振动角频次,矢量A称为旋转矢量。
二、简谐振动的旋转矢量表示法
图12-7
A
(1)旋转矢量A的矢端M在x轴上投影坐标可表示为x轴上的谐振动,振幅为
(2)旋转矢量A以角速度旋转一周,相当于谐振动物体在x轴上作一次完好振
动,即旋转矢量旋转一周,所用时间与谐振动的周期相同。
(3)t
0时辰,旋转矢量与
x轴夹角
为谐振动的初相,
t时辰旋转矢量与
x轴夹
角
t
为t时辰谐振动的位相。
说明:
(1)旋转矢量是研究谐振动的一种直观、简易方法。
(2)一定注意,旋转矢量自己其实不在作谐振动,而是它矢端在x轴上的投影点在x轴上做谐振动。
旋转矢量与谐振动xt曲线的对应关系(设0)
第十二章机械振动沈阳工业大学郭连权(教授)
图12-8
三、旋转矢量法应用举例
例12-3:
一物体沿x轴作简谐振动,振幅为,周期为2s。
t0时,位移为,
且向x轴正向运动。
(1)求物体振动方程;
(2)设t1时辰为物体第一次运动到x0.06m处,试求物体从t1时辰运动到均衡
地点所用最短时间。
解:
(1)设物体谐振动方程为
xAcost
由题意知A
2
2
S1
T
2
?
〈方法一〉用数学公式求
x0Acos
∵A
0.12m,x0
cos
1
2
3
∴
∵v0
Asin
0
∴3
x0.12costm
3
〈方法二〉用旋转矢量法求
依据题意,犹如左图所示结果
∴3图12-9
x0.12costm
3
第十二章机械振动沈阳工业大学郭连权(教授)
由上可见,〈方法二〉简单
(2)〈方法一〉用数学式子求
t
0.12cost1
t1
由题意有:
3
(∵
t1
2
4
3
3
或
3
v1
Asin
t1
0
∵此时
3
t1
2
3
3
∴
t1
1s
设t2时辰物体从t1时辰运动后初次抵达均衡地点,
0
t2
3
有:
t2
3
(∵t22
t2
3
2或2
∴3
v2
A
sin
t2
0
∵3
3
t2
∴32
11
t2s
115
tt2t11s
66
〈方法二〉用旋转矢量法求t
由题意知,有左图所示结果,M1为t1时辰A
尾端地点,M2为t2时辰A尾端地点。
从
t1t2内A转角为
t2
t1
M1OM2
5
2
6
5
3
5
5
tt2
6
t1
6
s
6
明显〈方法二〉简单。
例12-4:
图为某质点做谐振动的xt曲线。
求振动方程。
解:
设质点的振动方程为x
Acost
由图知:
A10cm
2
2
s1
T
2
T2
t1
3
2
∴
)
2
)
图12-10
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图12-11
3
用旋转矢量法(见上页图)可知,
2(或
2
)
x10costcm
2
例12-5:
弹簧振子在圆滑的水平面上做谐振动,A为振幅,t0时辰状况以下图。
O为原点。
试求各样状况下初相。
图12-12
§12-4谐振动的能量
关于弹簧振子,系统的能量E=Ek(物体动能)+Ep(弹簧势能)
已知:
物体位移
x
Acos
t
物体速度v
Asin
t
EEkEp
1mv2
1kx2
2
2
第十二章机械振动沈阳工业大学郭连权(教授)
1
Asin
t
2
1
t
2
m
kAcos
2
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2m
A
sin
t
2
kA
cos
t
(m
2
k)
kA2sin2
t
cos2
t
2
1kA2
2
1
1
E
kA2
m
2A2
(11-8)
2
2
说明:
(1)固然
Ek
、
Ep
均随时间变化,但总能量
E
Ek
Ep
且为常数。
原由是系
统只有守旧力作功,机械能要守恒。
(2)Ek与Ep相互转变。
当x
0时,Ep
0,Ek
Ekmax
E。
在x
A处,
Ek
0
,
Ep
Epmax
E
。
例12-6:
一物体连在弹簧一端在水平面上做谐振动,振幅为
A。
试求
Ek1Ep
的地点。
2
解:
设弹簧的倔强系数为k,系统总能量为
EEk
Ep
1kA2
2
1
kEp
在2时,有E
EkEp
3Ep
3
1kx2
2
2
2
3kx2
1kA2
4
2
2
xA
∴3
例12-7:
以下图系统,弹簧的倔强系数k
25N/m,物块m1,物块m2,
m1与m2间最大静摩擦系数为
,m1与地面间是圆滑的。
现将物块拉离平
衡地点,而后任其自由振动,使m2在振动中不致从m1上滑落,问系统所能具
有的最大振动能量是多少。
解:
系统的总能量为
E1kA2
2
Ekmax
E
1kA2
0)
2(此时Ep
m2不致从m1上滑落时,须有
m2a
m2g
图12-13
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极限状况amaxgA
2
g
g
m1
m2
A2
k
即
1k
2
2g22
Ekmax
g
m1
m2
1
m1
m2
2
k
2
k
1
2
2
2
25
2
§12-5同方向同频次两谐振动合成
一个物体能够同时参加两个或两个以上的振动。
如:
在有弹簧支撑的车厢中,人坐
在车厢的弹簧垫子上,当车厢振动时,人便参加两个振动,一个为人对车厢的振动,另
一个为车厢对地的振动。
又如:
两个声源发出的声波同时流传到空气中某点时,因为每
一声波都在该点惹起一个振动,所以该质点同时参加两个振动。
在此,我们考虑一质点
同时参加两个在同向来线的同频次的振动。
取振动所在直线为x轴,均衡地点为原点。
振动方程为
x1
A1cos
t
x2
A2cos
t
1
2
A1、A2分别表示第一个振动和第二个振动的振幅;1、2分别表示第一个振动和第二
个振动的初相。
是两振动的角频次。
因为x1、x2表示同向来线上距同一均衡地点的位移,所以合成振动的位移x在同向来线上,并且等于上述两分振动位移的代数和,即
xx1x2
为简单起见,用旋转矢量法求分振动。
图12-14图12-15
以下图,t
0时,两振动对应的旋转矢量为
A1、A2,合矢量为AA1A2。
∵A1、
A2以相同角速度
转动,∴转动过程中A1与A2间夹角不变,可知A大小不变,并且A也
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以转动。
随意时辰t,A矢端在x轴上的投影为:
xx1x2
所以,合矢量A即为合振动对应的旋转矢量,A为合振动振幅,为合振动初相。
合振动方程为:
xAcost(仍为谐振动)
由图中三角形OM1M2知:
AA12
A22
2A1A2cos
2
1
(12-9)
由图中三角形OMP知:
A1sin1
A2sin
2
PM
tg
A2cos
OP
A1cos1
2
(12-10)
议论:
(1)2
1
2k
(k
0,
1,
2,
)时(称为位相相同)
AA1
A2
(2)2
1
2k
1
(k
0,
1,
2,)时(称为位相相反)
A
A1A2
例12-8:
有两个同方向同频次的谐振动,其合成振动的振幅为
0.2m,位相与第一振动
的位相差为6,若第一振动的振幅为3101m,用振幅矢量法求第二振动的振幅及第一、第二两振动位相差。
解:
(1)A2?
A2
A12
A2
2A1Acos
6
3
1012
2
23101
6
(2)∵A
2
2
2
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