数列求和中常见放缩方法和技巧含答案汇编.docx
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数列求和中常见放缩方法和技巧含答案汇编
数列求和中常见放缩方法和技巧
一、放缩法常见公式:
(1)
(2)
(3)
(4)
(二项式定理)
(5)
,
(常见不等式)
常见不等式:
1、均值不等式;
2、三角不等式;
3、糖水不等式;
4、柯西不等式;
5、绝对值不等式;
若欲证不等式含有与自然数n有关的n项和,可采用数列中裂项求和等方法来解题。
例4.已知n∈N*,求
。
证明:
因为
,
则
,证毕。
例5.已知
且
,求证:
对所有正整数n都成立。
证明:
因为
,所以
,
又
,
所以
,综合知结论成立。
例6、求证:
证明:
此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧,放缩拆项时,不一定从第一项开始,须根据具体题型分别对待,即不能放的太宽,也不能缩的太窄,真正做到恰倒好处。
例6.已知函数
,证明:
对于
且
都有
。
证明:
由题意知:
,
又因为
且
,所以只须证
,
又因为
,
所以
。
例3.已知a、b、c为三角形的三边,求证:
。
证明:
由于a、b、c为正数,所以
,
,
,所以
,又a,b,c为三角形的边,故b+c>a,则
为真分数,则
,同理
,
,
故
.
综合得
。
4、证明:
证明:
∴
5、求证:
证明:
∵
∴
6、若
,求证:
证明:
∵
∴
一、运用放大、缩小分母或分子的办法来达到放缩的目的
分式的放缩对于分子分母均取正值的分式,如需放大,则只要把分子放大或分母缩小即可;如需缩小,则只要把分子缩小或分母放大即可.还可利用真分数的分子和分母加上同一个正数,则分数值变大;假分数的分子和分母加上同一个正数,则分数值变小来进行放缩.
1、若a,b,c,d是正数.求证:
2、求证:
3、求证:
4、证明:
【练习】求证:
5、求证:
二、放缩法常见技巧式:
(数列求和中常见放缩方法和技巧--放缩后能求和如放缩后是等比或可裂项求和)
1、添加或舍弃一些正项(或负项)
例1、已知
求证:
证明:
若多项式中加上一些正的值,多项式的值变大,多项式中加上一些负的值,多项式的值变小。
由于证明不等式的需要,有时需要舍去或添加一些项,使不等式一边放大或缩小,利用不等式的传递性,达到证明的目的。
本题在放缩时就舍去了
,从而是使和式得到化简.
例2、函数f(x)=
,求证:
f
(1)+f
(2)+…+f(n)>n+
.
证明:
由f(n)=
=1-
得f
(1)+f
(2)+…+f(n)>
.
此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征,先将分子变为常数,再对分母进行放缩,从而对左边可以进行求和.若分子,分母如果同时存在变量时,要设法使其中之一变为常量,分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。
如需放大,则只要把分子放大或分母缩小即可;如需缩小,则只要把分子缩小或分母放大即可。
例3、已知an=n,求证:
<3.
证明:
=
<1+
<1+
=
=1+
(
-
)
=1+1+
-
-
<2+
<3.
本题先采用减小分母的两次放缩,再裂项,最后又放缩,有的放矢,直达目标.
三.单调函数放缩
根据题目特征,通过构造特殊的单调函数,利用其单调性质进行放缩求解。
例10.已知a,b∈R,求证
。
证明:
构造函数
,首先判断其单调性,设
,因为
,所以
,所以
在
上是增函数,取
,
,显然满足
,
所以
,
即
。
证毕。
二、函数放缩
例8.求证:
.
解析:
先构造函数有
从而
cause
所以
例10.求证:
解析:
提示:
函数构造形式:
当然本题的证明还可以运用积分放缩
如图,取函数
首先:
从而,
取
有,
所以有
…,
相加后可以得到:
另一方面
从而有
取
有,
所以有
所以综上有
例13.证明:
解析:
构造函数
求导,可以得到:
令
有
令
有
所以
所以
令
有,
所以
所以
例3(武汉市模拟)定义数列如下:
证明:
(1)对于
恒有
成立。
(2)当
,有
成立。
(3)
。
分析:
(1)用数学归纳法易证。
(2)由
得:
……
以上各式两边分别相乘得:
,又
(3)要证不等式
,
可先设法求和:
,再进行适当的放缩。
又
原不等式得证。
本题的关键是根据题设条件裂项求和。
数列不等式证明中的一些放缩技巧
1.放缩为裂项求和
例1.设数列
的前n项的和
.
(1)求首项
与通项
;
(2)设
,证明:
.
解:
(1)
;
(2)
所以,
.
2.放缩为等比求和
例2.已知数列{
}满足
(1)求数列{
}的通项公式;
(2)证明:
解:
(1)
;
(2)先证不等式的右边:
.
再证不等式的左边:
(先将通项放缩,从某一项开始放缩后,和式转化为等比数列求和)
.
例3.设数列{
}满足
(1)当
时,求
并由此猜想出
的一个通项公式;
(2)当
时,证明对所有的
,有
(ⅰ)
;(ⅱ)
证明:
(ⅱ)由(ⅰ)
下面考虑对1+
进行缩小
=
.
(无穷递缩等比数列,其部分项和
)
3.奇偶相邻问题捆绑求和放缩
例4.已知数列{
}的前n项和
满足
(1)写出数列{
}的前3项
;
(2)求数列{
}的通项公式;
(3)证明:
对任意的整数m>4,有
.
解:
(2)
;
(3)由
(2)不等式左边=
分母-1与1交错出现,容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩,尝试知:
(4)
,因此,可将
保留,再将后面的项两两组合后放缩,即可求和.这里需要对m进行分类讨论:
当
且n为奇数时,
=
,于是
(1)当m>4且m为偶数时
(2)当m>4且m为奇数时
由
(1)知:
.
总之,数列和不等式的证明,关键是把和求出来,若不能直接求和,就要先把通项放缩,再求和,求和后再放缩,证得结果.
练习:
1.已知数列{
},
记
,
求证:
当
时,
(1)
(2)
;(3)
.
(1)数学归纳法,
(2)逐差累加,(3)左边放大为等比数列再求和.
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