初中几何最值问题第四讲.docx
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初中几何最值问题第四讲
初中几何最值问题第四讲
一、解决几何最值问题的理论依据
(1)两点之间线段最短(常规考题有“将军饮马”问题);
(2)直线外一点与直线上所有点的连线段中,垂线段最短;
(3)两平行线间的所有线段中,平行线之间的距离最短;
(4)三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边(重合时取到最值).
二、
(1)两点之间线段最短例题精讲
例1:
有一个长方体,它的长、宽、高分别为5,3,4.在点C处有一只蚂蚁,它想吃到与点C相对的D点的食物,沿长方体表面需要爬行的最短路程是多少?
变式:
长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是多少?
例2:
在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,点P是AB上的任意一点,作PD⊥AC于点D,PE⊥CB于点E,连结DE,则DE的最小值为多少?
变式:
线段AB的长为2,C为AB上一个动点,分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE,那么DE长的最小值是多少?
(2)强化练习
1、如图1,点A和点B分别是棱长为20cm的正方体盒子上相邻面的两个中心.一只蚂蚁在盒子表面由A处向B处爬行,所走的最短路程是.
2、如图2,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程是.
3、如图3,一圆柱形油罐底面圆的周长为24m,高为6m,一只壁虎从距底面1m的A处爬行到对角B处去捕食,它爬行的最短路线长为.
图1图2图3
4、如图4,一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别等于165cm、30cm和18cm.A和B是这个台阶上的两个相对的端点.A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发沿着台阶爬到B点的最短路程是.
5、如图5,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF中点,则AM的最小值为.
6、如图6,圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为.
图4图5图6
三、将军饮马问题
(1)模型精讲
两点一线型
模型1模型2
两点两线型
模型3模型4模型5
一点两线型
模型6
(2)例题精讲
例1:
如图,蚂蚁找到食物的地方离一条笔直的小溪11米,而它的家距离小溪21米,小蚂蚁出来觅食时共走了一段长26米的直路,找到食物后小蚂蚁想先到小溪边喝点水,然后再回家,小蚂蚁应该怎么走才能使所走的路程最短呢?
最短路程又是多长?
变式1:
如图1,在边长为2cm的正方形ABCD中,点Q为BC边的中点,点P为对角线AC上一动点,连接PB、PQ,则△PBQ周长的最小值为cm(结果不取近似值).
变式2:
如图2,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=6,对角线AC平分∠BAD,点E在AB上,且AE=2(AE<AD),点P是AC上的动点,则PE+PB的最小值是.
图1图2
(3)强化练习
1、在∠MON的内部有一点A,在OM上找一点B,在ON上找一点C,使得△BAC周长最短.
2、在∠MON的内部有点A和点B,在OM上找一点C,在ON上找一点D,使得四边形ABCD周长最短.
3、点C为∠AOB内一点.
(1)在OA求作点D,OB上求作点E,使△CDE的周长最小,请画出图形;
(2)在
(1)的条件下,若∠AOB=30°,OC=10,求△CDE周长的最小值和此时∠DCE的度数.
4、如图:
点P是∠AOB内一定点,点M、N分别在边OA、OB上运动,若∠AOB=45°,OP=
,则△PMN的周长的最小值是多少?
5、已知A(1,1)、B(4,2).
(1)P为x轴上一动点,求PA+PB的最小值和此时P点的坐标.
(2)P为x轴上一动点,求|PA-PB|的值最大时,P点的坐标.
(3)CD为x轴上一条动线段,D在C点右边且CD=1,求
当AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标.
四:
点到直线垂线段最短例题精讲
例1:
(一点一线型)如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为.
例2:
(一点两线型)在∠MON的外部有一点A,在OM上找一点B,在ON上找一点C,使得AB+BC最短.
变式1:
如图1,在锐角△ABC中,AB=
,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值是.
变式2:
如图2,正方形ABCD的边长是4,∠DAC的平分线交DC于点E,若点P,Q分别是AD和AE上的动点,则DQ+PQ的最小值为.
图1图2
五:
“造桥选址”及“河边漫步”例题精讲
例1:
(造桥选址)直线l1∥l2,在直线l1上找一个点C,直线l2上找一个点D,使得CD⊥l2,且AC+BD+CD最短.
例2:
(河边漫步)如图,点B的坐标为(-1,1)时,在x轴上另取两点E,F,且EF=1.线段EF在x轴上平移,线段EF平移至何处时,四边形ABEF的周长最小?
求出此时点E的坐标.
变式1:
如图1,当四边形PABN的周长最小时,a=.
变式2:
如图2,在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点.若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,则点F的坐标为.
图1图2
六:
两平行线间的距离最短例题精讲
例1:
图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,点D在BC上,以AC为对角线的所有□ADCE中,DE最小的值是.
变式:
图2,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上任意一点,求PK+QK的最小值.
图1图2
七:
利用三角形三边关系求最值例题精讲
例1:
如图,两点A、B在直线MN外的同侧,A到MN的距离AC=8,B到MN的距离BD=5,CD=4,P在直线MN上运动;
(1)
能否取到最大值?
若能,求出最大值并画出点P的位置.
(2)
能否取到最小值?
若能,求出最小值并画出点P的位置.
变式:
A、B两点在直线的两侧,点A到直线的距离AM=4,点B到直线的距离BN=1,且MN=4,P为直线上的动点,|PA﹣PB|的最大值是.
例2:
如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离是多少?
变式1:
.如图,点P在第一象限,△ABP是边长为2的等边三角形,当点A在x轴的正半轴上运动时,点B随之在y轴的正半轴上运动,运动过程中,点P到原点的最大距离是.
变式2:
一次函数y1=kx-2与反比例函数y2=
的图象交于A,B两点,其中点A的坐标为(-6,2)
(1)求m,k的值;
(2)点P为y轴上的一个动点,当点P在什么位置时|PA-PB|的值最大?
并求出最大值.
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