高考理科数学全国大纲卷试题与答案word解析版.docx
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高考理科数学全国大纲卷试题与答案word解析版
20XX年高考理科数学全国大纲卷试题与答案word解析版
20XX年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013大纲全国,理1)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为().A.3B.4C.5D.62.(2013大纲全国,理2)=().A.-8B.8C.-8iD.8i3.(2013大纲全国,理3)已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ=().A.-4B.-3C.-2D.-14.(2013大纲全国,理4)已知函数f(x)的定义域为(-1,0),则函数f(2x+1)的定义域为().31öææ1ö-1,-ç÷ç,1÷2øC.(-1,0)D.è2øA.(-1,1)B.è5.(2013大纲全国,理5)函数f(x)=log2ç1+æè1ö-1÷(x>0)的反函数f(x)=().xø11xxA.2-1(x>0)B.2-1(x≠0)C.2x-1(x∈R)D.2x-1(x>0)46.(2013大纲全国,理6)已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=-,则{an}的前10项和等于().31A.-6(1-3-10)B.9(1-310)C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)7.(2013大纲全国,理7)(1+x)(1+y)的展开式中xy的系数是().A.56B.84C.112D.1688422x2y8.(2013大纲全国,理8)椭圆C:
+=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的43取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是().2é13ùé33ùé1ùé3ù,,,1,1úêúêúêúê248424ûB.ëûC.ëûD.ëûA.ë9.(2013大纲全国,理9)若函数f(x)=x+ax+21æ1ö在ç,+¥÷是增函数,则a的取值范围是().xè2øA.[-1,0]B.[-1,+∞)C.[0,3]D.[3,+∞)10.(2013大纲全国,理10)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于().21A.3B.3C.3D.311.(2013大纲全国,理11)已知抛物线C:
y=8x与点M(-2,2),过C的焦点且斜率为k的直线与C交2uuuruuur于A,B两点.若MA×MB=0,则k=().1A.2B.CD.212.(2013大纲全国,理12)已知函数f(x)=cosxsin2x,下列结论中错误的是().x=A.y=f(x)的图像关于点(π,0)中心对称B.y=f(x)的图像关于直线π2对称C.f(x)的最大值为D.f(x)既是奇函数,又是周期函数2013全国大纲卷理科数学第1页二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.13.(2013大纲全国,理13)已知α是第三象限角,sinα=-1,则cotα=__________.314.(2013大纲全国,理14)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有__________种.(用数字作答)ìx³0,ï15.(2013大纲全国,理15)记不等式组íx+3y³4,所表示的平面区域为D.若直线y=a(x+1)与Dï3x+y£4î有公共点,则a的取值范围是__________.16.(2013大纲全国,理16)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,OK=3,且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°,则球O的表面积等于__________.22三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(2013大纲全国,理17)(本小题满分10分)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a2,且S1,S2,S4成等比数列,求{an}的通项公式.18.(2013大纲全国,理18)(本小题满分12分)设△ABC的全国大纲卷理科数学第2页19.(2013大纲全国,理19)(本小题满分12分)如图,四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB和△PAD都是等边三角形.
(1)证明:
PB⊥CD;
(2)求二面角A-PD-C的大小.2013全国大纲卷理科数学第3页20.(2013大纲全国,理20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为果相互独立,第1局甲当裁判.
(1)求第4局甲当裁判的概率;
(2)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的数学期望.1,各局比赛的结2x2y221.(2013大纲全国,理21)(本小题满分12分)已知双曲线C:
2-2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分b别为F1,F2,离心率为3,直线y=2与C.
(1)求a,b;
(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:
|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.2013全国大纲卷理科数学第4页22.(2013大纲全国,理22)(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln(1+x)-
(1)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;
(2)设数列{an}的通项an=1+x(1+lx).1+x1111++L+,证明:
a2n-an+>ln2.23n4n2013全国大纲卷理科数学第5页20XX年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.答案:
B解析:
由题意知x=a+b,a∈A,b∈B,则x的可能取值为5,6,7,8.因此集合M共有4个元素.故选B.2.答案:
A解析:
=13=-8.故选A.3.答案:
B2222解析:
由(m+n)⊥(m-n)⇒|m|-|n|=0⇒(λ+1)+1-[(λ+2)+4]=0⇒λ=-3.故选B.4.答案:
B解析:
由题意知-1<2x+1<0,则-1<x<-5.答案:
A解析:
由题意知1+因此f(x)=6.答案:
C解析:
∵3an+1+an=0,∴an+1=-an.∴数列{an}是以--13231.故选B.211y=2⇒x=y(y>0),2-1x1(x>0).故选A.x2-11314为公比的等比数列.∵a2=-,∴a1=4.33éæ1ö10ù4ê1-ç-÷úè3øúêëû=3(1-3-10).故选C.∴S10=1+37.答案:
D解析:
因为(1+x)的展开式中x的系数为C8,(1+y)的展开式中y的系数为C4,所以xy的系数为22C8C4=168.故选D.822422228.答案:
Bx02y02+=1,解析:
设P点坐标为(x0,y0),则43y0y0,kPA1=,于是kPA1×kPA2x0+2x0-231故kPA1=-.4kPA2kPA2=∵kPA2∈[-2,-1],∴kPA1Îê,ú.故选B.842013全国大纲卷理科数学第6页33-x02y3=202=2=-.x0-2x0-442é33ùëû9.答案:
D11æ1öæ1ö≥0在上恒成立,即在,+¥,+¥a³-2xç÷ç÷上恒成立.∵22xxè2øè2ø111æ1ö函数y=2-2x在ç,+¥÷上为减函数,∴ymax<-2´=3.∴a≥3.故选D.22xè2øæ1öç÷è2ø解析:
由条件知f′(x)=2x+a-10.答案:
A解析:
如下图,连结AC交BD于点O,连结C1O,过C作CH⊥C1O于点H.üBD^平面ACC1A1üï∵BD^AA1ýýCHÌ平面ACCA11þACIAA1=AïþCH^BDüïCH^C1OýCH⊥平面C1BD,BDIC1O=Oïþ∴∠HDC为CD与平面BDC1所成的角.设AA1=2AB=2,则OC=BD^ACAC=,22C1O=由等面积法,得C1O²CH=OC²CC1,即∴CH=×CH2,222.32HC2∴sin∠HDC===.故选A.DC1311.答案:
D222解析:
由题意知抛物线C的焦点坐标为(2,0),则直线AB的方程为y=k(x-2),将其代入y=8x,得kx22-4(k+2)x+4k=0.4(k2+2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=4.①2kìy1=k(x1-2)由íy=k(x-2)î22ìy1+y2=k(x1+x2)-4k,①í2îy1y2=k[x1x2-2(x1+x2)+4].②uuuruuur∵MA×MB=0,∴(x1+2,y1-2)²(x2+2,y2-2)=0.∴(x1+2)(x2+2)+(y1-2)(y2-2)=0,即x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2-2(y1+y2)+4=0.④由①②③④解得k=2.故选D.2013全国大纲卷理科数学第7页12.答案:
C22解析:
由题意知f(x)=2cosx²sinx=2(1-sinx)sinx.令t=sinx,t∈[-1,1],23则g(t)=2(1-t)t=2t-2t.令g′(t)=2-6t=0,得t=±当t=±1时,函数值为0;2.时,函数值为-;39当t=时,函数值为.39∴g(t)max=,9即f(x)的最大值为.故选C.9当t=-二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分.13.答案:
解析:
由题意知cosα==故cotα==-.3cosasina4214.答案:
480解析:
先排除甲、乙外的4人,方法有A4种,再将甲、乙插入这4人形成的5个间隔中,有A5种排法,因此甲、乙不相邻的不同排法有A4×A5=480(种).15.答案:
ê,4ú2解析:
作出题中不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.∵直线y=a(x+1)过定点C(-1,0),由图并结合题意可知kBC=42é1ëùû1,2kAC=4,∴要使直线y=a(x+1)与平面区域D有公共点,则1≤a≤4.216.答案:
16π解析:
如下图,设MN为两圆的公共弦,E为MN的中点,则OE⊥MN,KE⊥MN,结合题意可知∠OEK=60°.R.3R又OK⊥EK,∴=OE.2又MN=R,∴△OMN为正三角形.∴OE∴R=2.2∴S=4πR=16π.三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.2013全国大纲卷理科数学第8页17.解:
设{an}的公差为d.由S3=a2得3a2=a2,故a2=0或a2=3.由S1,S2,S4成等比数列得S2=S1S4.又S1=a2-d,S2=2a2-d,S4=4a2+2d,2故(2a2-d)=(a2-d)(4a2+2d).22若a2=0,则d=-2d,所以d=0,此时Sn=0,不合题意;2若a2=3,则(6-d)=(3-d)(12+2d),解得d=0或d=2.因此{an}的通项公式为an=3或an=2n-1.18.222解:
(1)因为(a+b+c)(a-b+c)=ac,所以a+c-b=-ac.222a2+c2-b21由余弦定理得cosB==-,2ac2因此B=120°.
(2)由
(1)知A+C=60°,所以cos(A-C)=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC-sinAsinC+2sinAsinC=cos(A+C)+2sinAsinC=+212=,故A-C=30°或A-C=-30°,因此C=15°或C=45°.19.
(1)证明:
取BC的中点E,连结DE,则ABED为正方形.过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O.连结OA,OB,OD,OE.由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA=PB=PD,所以OA=OB=OD,即点O为正方形ABED对角线的交点,故OE⊥BD,从而PB⊥OE.因为O是BD的中点,E是BC的中点,所以OE∥CD.因此PB⊥CD.
(2)解法一:
由
(1)知CD⊥PB,CD⊥PO,PB∩PO=P,故CD⊥平面PBD.又PDÌ平面PBD,所以CD⊥PD.取PD的中点F,PC的中点G,连结FG,则FG∥CD,FG⊥PD.连结AF,由△APD为等边三角形可得AF⊥PD.所以∠AFG为二面角A-PD-C的平面角.连结AG,EG,则EG∥PB.又PB⊥AE,所以EG⊥AE.设AB=2,则AE=EG=故AG1PB=1,2=3.1在△AFG中,FG=CD=AF=AG=3,2FG2+AF2-AG2=所以cos∠AFG=2´FG´AF因此二面角A-PD-C的大小为π-解法二:
由
(1)知,OE,OB,OP两两垂直.uuur以O为坐标原点,OE的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.2013全国大纲卷理科数学第9页uuur设|AB|=2,则A(0,0),D(0,0),C(0),P(0,0.uuuruuurPC=(,PD=(0,.uuurAP=,0,AD=,0).r设平面PCD的法向量为n1=(x,y,z),则n1²PC=(x,y,z)²(,=0,rn1²PD=(x,y,z)²(0,=0,可得2x-y-z=0,y+z=0.取y=-1,得x=0,z=1,故n1=(0,-1,1).uuuruuur设平面PAD的法向量为n2=(m,p,q),则n2²AP=(m,p,q,0=0,n2²AD=(m,p,q0)=0,可得m+q=0,m-p=0.取m=1,得p=1,q=-1,故n2=(1,1,-1).于是cos〈n1,n2〉=n1·n2=.|n1||n2|由于〈n1,n2〉等于二面角A-PD-C的平面角,所以二面角A-PD-C的大小为π-arccos20.解:
(1)记A1表示事件“第2局结果为甲胜”,A2表示事件“第3局甲参加比赛时,结果为甲负”,A表示事件“第4局甲当裁判”.则A=A1²A2.3P(A)=P(A1²A2)=P(A1)P(A2)=1.4
(2)X的可能取值为0,1,2.记A3表示事件“第3局乙和丙比赛时,结果为乙胜丙”,B1表示事件“第1局结果为乙胜丙”,B2表示事件“第2局乙和甲比赛时,结果为乙胜甲”,B3表示事件“第3局乙参加比赛时,结果为乙负”.11,P(X=2)=P(B1²B3)=P(B1)P(B3)=,P(X=1)841159=1-P(X=0)-P(X=2)=1--=,EX=0²P(X=0)+1²P(X=1)+2²P(X=2)=.8488则P(X=0)=P(B1²B2²A3)=P(B1)P(B2)²P(A3)=21.a2+b2c22
(1)解:
由题设知=3,即=9,故b=8a.a2a所以C的方程为8x-y=8a.将y=2代入上式,求得x=由题设知,222=a2=1.所以a=1,b=
(2)证明:
由
(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C的方程为8x-y=8.①由题意可设l的方程为y=k(x-3),k(k-8)x-6kx+9k+8=0.2222226k29k2+8设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≤-1,x2≥1,x1+x2=2,x1²x2=2.k-8k-8于是|AF1|=-(3x1+1),2013全国大纲卷理科数学第10页|BF1|3x2+1.由|AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1,即x1+x2=-2.36k22419故2=-,解得k2=,从而x1²x2=-.k-8359由于|AF2|=1-3x1,|BF2|3x2-1,故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4,|AF2|²|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16.2因而|AF2|²|BF2|=|AB|,所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.22.(1-2l)x-lx2
(1)解:
由已知f(0)=0,f′(x)=,f′(0)=0.(1+x)21若l<,则当0<x<2(1-2λ)时,f′(x)>0,所以f(x)>0.21若l³,则当x>0时,f′(x)<0,所以当x>0时,f(x)<0.21综上,λ的最小值是.21
(2)证明:
令l=.由
(1)知,当x>0时,f(x)<0,2x(2+x)即>ln(1+x).2+2x2k+1k+11取x=,则.>ln2k(k+1)kk12n-1é11ù=åê+于是a2n-an+ú4nk=në2k2(k+1)û2n-12k+1k+1>åln=åkk=n2k(k+1)k=n2n-1=ln2n-lnn=ln2.所以a2n-an+1>ln2.4n2013全国大纲卷理科数学第11页
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