二次函数指导应用题之最值问题.docx
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二次函数指导应用题之最值问题
二次函数应用题之最值问题(讲义)
一、知识点睛
1.理解题意,辨识类型.
二次函数应用题常见类型有:
实际应用问题,最值问题.
2.梳理信息,确定_______________及__________________,建立函数模型.
①梳理信息时需要借助_______________.
②函数模型:
确定自变量和因变量;根据题意确定题目中各个量之间的等量关系,用自变量表达对应的量从而确定函数表达式.
例如:
问“当售价为多少元时,年利润最大?
”确定售价为自变量x,年利润为因变量y,年利润=(售价-进价)×年销量,用x表达年销量,从而确定y与x之间的函数关系.
3.根据二次函数性质求解,_____________.
验证结果是否符合实际背景及自变量取值围要求.
二、精讲精练
1.某汽车租赁公司拥有20辆汽车.据统计,当每辆车的日租金为400元时,可全部租出,且每辆车的日租金每增加50元,未租出的车将增加1辆,公司平均每日的各项支出共
4800元.设公司每日租出x辆车时,日收益为y元.
(日收益=日租金收入-平均每日各项支出)
(1)公司每日租出x辆车时,每辆车的日租金为_______元
(用含x的代数式表示);
(2)当每日租出多少辆时,租赁公司的日收益最大?
最大是多少元?
(3)当每日租出多少辆时,租赁公司的日收益不盈也不亏?
【分析】
日租金
租出车辆
每日成本
解:
2.某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件.如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元.
(1)求y与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值
围;
(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?
最大的月利润是多少元?
(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为2200元?
根据以上结论,请你直接写出售价在什么围时,每个月的利润不低于2200元.
【分析】
售价
进价
利润
销量
解:
3.某中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园.其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.
(1)若平行于墙的一边的长为y米,直接写出y与x之间的函数关系式及自变量x的取值围.
(2)垂直于墙的一边的长为多少米时,这个苗圃园的面积最大?
最大面积是多少?
(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时,试结合函数图象,直接写出x的取值围.
4.某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计),这些薄板的形状均为正方形,边长在5~50(单位:
cm)之间.每薄板的成本价(单位:
元)与它的面积(单位:
cm2)成正比例;每薄板的出厂价(单位:
元)由基础价和浮动价两部分组成,其中基础价与薄板的大小无关,是固定不变的,浮动价与薄板的边长成正比例.在营销过程中得到了表格中的数据:
薄板的边长(cm)
20
30
出厂价(元/)
50
70
(1)求一薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式.
(2)已知出厂一边长为40cm的薄板,获得的利润为26
元.(利润=出厂价-成本价)
①求一薄板的利润与边长之间满足的函数关系式.
②当边长为多少时,出厂一薄板所获得的利润最大?
最大利润是多少?
【分析】
边长
出厂价
成本价
解:
5.我市高新技术开发区的某公司,用480万元购得某种产品的生产技术后,并进一步投入资金1520万元购买生产设备,进行该产品的生产加工.已知生产这种产品每件还需成本费40元.经过市场调查发现:
该产品的销售单价定在150元到300元之间较为合理,销售单价x(元)与年销售量y(万件)之间的变化可近似的看作是如下表所反映的一次函数:
销售单价x(元)
200
230
250
年销售量y(万件)
10
7
5
(1)请求出y与x之间的函数关系式,并直接写出自变量x的取值围.
(2)请说明投资的第一年,该公司是盈利还是亏损?
若盈利,最大利润是多少?
若亏损,最少亏损多少?
(3)在
(2)的前提下,即在第一年盈利最大或亏损最小时,第二年公司重新确定产品售价,能否使两年共盈利1790万元?
若能,求出第二年的产品售价;若不能,请说明理由.
【分析】
售价
成本
利润
年销量
其他成本
解:
三、回顾与思考
【参考答案】
知识点睛
2.函数表达式,自变量取值围.①列表、图形.
3.验证取舍.
精讲精练
1.
(1)
;
(2)当每日租出14辆时,租赁公司的日收益最大,最大是
5000元.
(3)当每日租出4辆时,租赁公司的日收益不盈也不亏.
2.
(1)
(
,且x为正整数);
(2)每件商品的售价定为5元或6元时,每个月可获得最
大利润,最大的月利润是2400元;
(3)每件商品的售价定为51元或60元时,每个月的利润
恰为2200元,每件商品的售价m满足
时,每
个月的利润不低于2200元.
3.
(1)
(
);
(2)垂直于墙的一边的长为
米时,这个苗圃园的面积最
大,最大面积是
平方米;
(3)
.
4.设一薄板的边长为xcm,出厂价为y元,利润为w元.
(1)
;
(2)①
;
②当边长为25cm时,出厂一薄板所获得的利润最大,最
大利润是35元.
5.
(1)
(
);
(2)投资的第一年该公司亏损,最少亏损310万元;
(3)不能,理由略.
二次函数应用题之最值问题
(随堂测试)
1.某商场将进货单价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:
这种冰箱的销售单价每降低50元,平均每天就能多售出4台.
(1)设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润是
y元,请求出y与x之间的函数关系式.
(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又
要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?
(3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润
最高?
最高利润是多少?
【分析】
售价
进价
利润
销量
【参考答案】
1.
(1)
.
(2)每台冰箱应降价200元.
(3)每台冰箱降价150元时,商场每天销售这种冰箱的利润
最高,最高利润是5000元.
二次函数应用题之最值问题(作业)
1.某商店经营儿童益智玩具,已知成批购进时的单价是20元.调查发现:
销售单价是30元时,月销售量是230件,而销售单价每上涨1元,月销售量就减少10件,但每件玩具售价不能高于40元.设每件玩具的销售单价上涨了x元时(x为正整数),月销售利润为y元.
(1)求y与x之间的函数关系式,并直接写出自变量x的取值围.
(2)当每件玩具的售价定为多少元时,月销售利润恰好为
2520元?
(3)每件玩具的售价定为多少元时,可使月销售利润最大?
最大的月销售利润是多少?
【分析】
售价
进价
利润
月销量
解:
2.在Rt△ABC的部作一个矩形DEFG,按如图所示的位置放置,其中∠A=90°,AB=40m,AC=30m.
(1)如果设矩形的一边DE=xm,那么DG边的长度如何
表示?
(2)在
(1)的条件下,设矩形的面积为ym2,则当x取何值时,y的值最大?
最大值是多少?
3.某商家经销一种绿茶,用于装修门面已投资3000元,已知绿茶每千克的成本为50元,在第一个月的试销时间发现,销量w(kg)随销售单价x(元/kg)的变化而变化,具体变化规律如下表所示:
销售单价x(元/kg)
…
70
75
80
85
90
…
销售量w(kg)
…
100
90
80
70
60
…
设该绿茶的月销售利润为y(元)(销售利润=单价×销售量-成本-投资).
(1)请根据上表,写出w与x之间的函数关系式(不必写出自变量x的取值围);
(2)求y与x之间的函数关系式(不必写出自变量x的取值围),并求出当x为何值时,y的值最大;
(3)若在第一个月里,按使y获得最大值的销售单价进行销售后,在第二个月里受物价部门的干预,销售单价不得高于90元/kg,要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元,那么第二个月里应该确定销售单价为多少元?
【分析】
售价
成本
利润
销量
其他成本
解:
4.已知二次函数图象的顶点坐标为(1,-1),且图象经过点
(0,-3).求这个二次函数的解析式.
5.二次函数
的图象如图所示,若一元二次方程
有实数根,则m的最大值为()
A.-3B.3C.-5D.9
6.抛物线
上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:
x
…
-1
2
3
5
…
y
…
0
0
-6
…
根据上表判断下列五种说法:
①抛物线的对称轴是直线x=1;
②当
时,y随x的增大而减小;③抛物线有最高点,顶点坐标为(2,
);④抛物线的解析式为
;
⑤以抛物线的顶点以及与x轴的两个交点为顶点的三角形的面积为4.其中正确结论的序号是_______________.
7.二次函数
(a≠0)的图象如图所示,有下列结论:
①
;②
;③
;
④
;⑤
;⑥
(m≠1).
其中正确结论的序号是_______________.
【参考答案】
1.
(1)
(
,且x为正整数);
(2)当每件玩具的售价定为32元时,月销售利润恰好为
2520元;
(3)每件玩具的售价定为6元或7元时,可使月销售利润最
大,最大的月销售利润是2720元.
2.
(1)
;
(2)当x=12时,y的值最大,最大值是300.
3.
(1)
;
(2)
,当x=85时,y的值最大;
(3)第2个月里应该确定销售单价为75元.
4.
5.B
6.①②④⑤
7.①④⑤⑥
每周一练
(二)
1.△ABC中,∠A,∠B均为锐角,且
,则△ABC一定是()
A.等腰三角形B.等边三角形
C.直角三角形D.有一个角是60°的三角形
2.已知
,那么
的值为()
A.
B.
C.1D.
3.对于二次函数
,下列说确的是()
A.图象开口向下
B.当
时,y随x的增大而减小
C.函数有最小值-8
D.与y轴交点的坐标为(0,-8)
4.在同一平面直角坐标系,将函数
的图象沿
轴向右平移2个单位长度后再沿
轴向下平移1个单位长度,所得图象的顶点坐标是()
A.(-1,1)B.(1,-2)
C.(2,-2)D.(1,-1)
5.将抛物线
的图象向左平移2个单位,再向下平移3个单位,所得图象的解析式为
,则有()
A.b=2,c=6B.b=2,c=-6
C.b=-6,c=14D.b=-6,c=0
6.
二次函数
的图象如图所示,则一次函数
的图象经过()
A.
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- 二次 函数 指导 应用题 问题