(n)设a=-m2,当实数m在什么范围内变化时,函数y=fx的图像与直线y=3只有
个公共点。
20.(本小题满分12分)
2222
把由半椭圆笃+爲=1(X>0)与半椭圆冷+爲=1(X<0)合成的曲线称作“果圆”,其中
abbe
a2=b2+c2,a>0,b>c>0。
如下图所示,点F°,Fi,F2是相应椭圆的焦点,Ai,A2和Bi,B2
分别是“果圆”与x,y轴的交点。
(1)若厶F0F1F2是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程;
K
(2)当IA1A2PB1B2I时,求-的取值范围;
a
(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦。
试研究:
是否存在实数k,
使斜率为k的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?
若存在,求出所有可能的k
值;若不存在,说明理由。
四、教学技能(10分)
21•结合教学实际,谈谈在具体数学教学中如何有效处理生成与预设的关系。
教师招聘考试模拟考卷[中学数学科目]
第一部分数学教育理论与实践
一、简答题
【答案要点】
(1)首先是从更新教育观念出发,建立由应试数学变为大众数学的新观点,培养学生学数学、懂数学、用数学的意识,使之具有基本的数学素质。
(2)牢牢抓住课堂教学这个主阵地,从数学知识、数学意识、逻辑推理和信息交流四个层面入手,向40分钟要效益,克服重理论,轻实践,重结果,轻过程的倾向,冲破“讲得多”“满堂灌”等束缚,更新教学方法,提高教学质量。
(3)数学教师素质的提高刻不容缓,教师必须有能力进行数学素质教育,这就需要教师
在观念层次、知识层次、方法层次等方面都能达到相应的高度,这样才能有效地开发学生的
数学潜能,达到提高数学素质的最终目的。
“大众数学的目标是人人学有用的数学,人人学好数学,人人学更多的数学”。
它要求
教学要重过程,重推理,重应用,以解决问题为出发点和归宿,它要求教学是发展的,动态的,这有利于学生能力发展的要求。
教师要在新的教学观的指导下,充分发挥学生的主观能动性,让学生逐步学会求知和创
新,从而为学生获得终身学习的能力、创造的能力和长远发展的能力打好基础。
二、论述题
【答案要点】谈到课堂教学的实效性大家都不约而同地谈到一个问题一一数学学习情境
的创设。
创设学习情境是为了更有效地引导学生学习数学、研究数学,是为学生的数学学习
服务的。
而不是为了创造情境而创造情境,创设情境一定是围绕着教学目标,紧贴教学内容,遵循儿童的心理发展和认知规律。
在课堂实践中教师们用智慧为学生创设了多种有利于促进学习的学习环境。
1•创设数学与生活紧密联系的学习环境
2•创设有思维价值的数学活动情境
3•创设源于数学知识本身的问题情境
4•创设思维认知冲突的问题情境
合作、自主探究学习首先要给学生独立思考、自主探究的空间。
一个人没有自己的独立
思考,没有自己的想法拿什么去与别人交流?
因此,独立思考是合作学习的重要基础。
其次,合作学习要有明确的问题解决的目标,明确小组成员分工,组织好组内、组际之间的交流。
对学生的自主探索、合作交流,教师要加强指导。
除了培养学生合作的意识外,还要注意对
学生合作技能的训练和良好合作习惯的培养。
如倾听的习惯、质疑的能力,有条理汇报交流
的能力,合作探究的方法策略等。
对良好习惯的养成,合作探究技能的培养要持之以恒。
当然,自主探究、合作学习都需要空间,教师要为学生的活动搭好台,留有比较充分的时间和空间,以确保自主探究、合作学习的质量,使课堂教学的实效性得以落实。
第二部分数学专业基础知识
一、选择题
2
1.A【解析】(1+i)(1-i)=1-i=2
32
2.A【解析】原式=x+|kx|o=8+2k-0=10•••k=1
3.C【解析】略
4.C【解析】0.03X10X200=60
”丄f(10)-f(9)102921
5.A【解析】=-=(mm/min)
11001005
6.C【解析】令x=y=0,f(0+0)=f(0)=f(0)+f(0)•f(0)=0
令x=1,y=-1,f(-1)=f(0)=f
(1)+f(-1)-2=0•f(-1)=0
f(-2)=f(-1-1)=f(-1)+f(-1)+2=2
f(-3)=f(-1)+f(-2)+4=6
7.A【解析】f-1(x)=log2X-3
-1-1
f(m)+f(n)=log2m+log2n-6=log2(mn)-6=log216-6=4-6=-2
&B【解析】|MF1|=2|MF2|一
|MF2|=2a'>
22
二b2=2a2
A
b2
|MF1|-|MF2|=2丄
|MF2|=—J
22.2小2
2ca+b3a门…e=2=2=2=3
二e=V3
aaa
m=jAB2-b2
sin^=bAB°
si>Sin
9.D【解析】n=JAB2-a2
nm>nsin@=aAB
A二U
a>b」
a>b
/•m=5
m+12m-1
10.B【解析】Zmin=x-尸〒-丁=-1
二、填空题
2
y-=1
93
c2=12
【解析】利用绝对值的几何意义。
13.p=2sin0
【解析】略
14.-6
【解析】a2+a4+a6+a8+a1o=5a6
•-f(5a6)=25a6=4「.5a6=2
548
…比=—=a1+5d•a1=——
25
31+a2^l+a10
原式=log22=a1+a2+…+a10
10(a1+a10)
=110=5(a1+a1+9d)=-6
15.15
【解析】利用勾股定理和余弦定理。
三、解答题
(I)由cosC=255,C是三角形内角,得
5
/•sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC
=畤5宀定V10
(n)在厶ACD中,由正弦定理,
BC
AC,BC二-AC-
sinAsinBsinB
sinA=
10=6
—1
AC=2..5,CD=—
2
2品
BC=3,cosC=,
5
「AC2+CD2-2ACCD・cosC-
由余弦定理得:
AD=:
17.
[解析】(I)设事件A表示“甲选做14题”,事件B表示“乙选做14题”则甲、乙2名学生选做同一道题的事件为“AB+AB”,且事件A、B相互独立
•••P(AB+AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)…
11111
=X+(1—)x(1—)=
22222
1
(n)随机变量E的可能取值为0,1,2,3,4.且E〜B(4,—).
2
•-P(E=k)=Ck(^)k(1-*=Ck
(2)4(k=0,1,2,3,4)
所以变量E的分布列为
0
1
2
3
4
P
1
1
3
1
1
16
4
8
4
16
I
EE=0X丄+1X—+2X3+3X1+4X一=2或EE=np=4X=2
16484162
18.[解析】解法一:
(I)证明:
连结AC,在厶CPA中EF//PA
且PA€平面PAD
•••EF〃平面PAD
(n)证明:
因为面PAD丄面ABCD平面PAD门面ABCD=ADCD丄AD
所以,CD丄平面PAD
•CD丄PA
PA丄PD
CDAPD=D,且CD、PD商PCD
PA丄面PDC
又PA向PAD面PAD丄面PDC
(川)解:
设PD的中点为M,连结EM,MF,贝UEM丄PD
由(n)知EF丄面PDC,EF丄PD
PD丄面EFMPD丄MF
/EMF是二面角B
—PD-
-C的平面角
Rt△FEM中,EF=
1
11
-PA=
a
EM=—CD=—
2
4
22
EF
tan/EMF==
2a
4
.2
:
—故所求二
二面角的正切值为
EM
1
2
a
2
解法二:
如图取AD的中点0,连结OP,OF。
•/PA=PD,•PO丄AD。
•••侧面PAD丄底面ABCD,
平面PADA平面ABCD=AD,
•PO丄平面ABCD,
而O,F分别为AD,BD的中点,•OF//AB,又ABCD是正方形,故OF丄AD.
以O为原点,直线OA,OF,OP为x,y,z轴建立空间直线坐标系,则有
aaaaaa
A(—,0,0),F(0,—,0),D(——,0,0),P(0,0,—),B(—,a,0),C(——,a,0).
222222
•••E为PC的中点,•••E(—-,a,-).
424
(I)易知平面PAD的法向量为OF=(O,a,o)而EF=(-,0,—-),
244
且OFEF=(0,a,0)•(a,0,—-)=0,•EF〃平面PAD.
244
(0,a,0)=0,
aa—r—aa
(H)•••PA=(—,0,——),CD=(0,a,0)•PACD=(—,0,——)
PA_CD
2222
,从而PA丄CD,又PA丄PD,PDACD=D,
•PA丄平面PDC,而PA.平面PAD,•平面PDC丄平面PAD
a
(川)由(H)知平面PDC的法向量为PA=(—,0,—a2).
2
aa―
设平面PBD的法向量为n=(x,y,z).•••DP=(,0,),BD=(—a,a,0),
22
•••由nDP=0,nBD=0可得a•x+0•y+—•z=0,J22
—a•x+a•y+0•z=0,
令x=1,则y=1,z=—1,
I
4
故n=(1,1,—1)
nLPA_a_6
--cos=—=—
|nL|PA|J2-3
a3
2
即二面角B—PD—C的余弦值为
,二面角B—PD—C的正切值为
19.【解析】(I)由题意gx—3x2—ax+3a—5,令$x—3—xa+3x2—5,—Ka<1对—12
••「$1<0j3x—x—2<0
$—1<0即-3x2+x—8<0
2
,解得—一3
2
故x€(—,1)时,对满足—ka<1的一切a的值,都有gx<0
3
(H)f'x—3x2—3m2
1当m—0时,fx—x3—1的图象与直线y—3只有一个公共点
2当m^0时,列表:
x
(—m,|m|)
—|m|
(—|m|,|m|)
|m|
(|m|,+g)
f'(x)
+
0
一
0
+
F(x)
/
极大
极小
/
•••f(x)极小=f|x|=—2m2|m|—1<—1
又•••fx的值域是R,且在(|m|,+g)上单调递增
•••当x>|m|时函数y=f(x)的图像与直线y=3只有一个公共点。
m€(—32,0U0,32)
F2(0,■.b-c
当x<|m|时,恒有f(x)由题意得f(—|m|)<3,即2m2|m|—1=2|m|3—1<3,解得
综上,m的取值范围是(—32,32)
20.【解析】
(1)vFo(c,0),F1(0,
•IF0F1|=(b2-c2)c2=b=1,|F1F2|=2,b2-c2=1
又b2>c2=a2—b2,「.一2>1
a
设平行弦的斜率为k
P(a■1
丄222
txy
2,t),与半椭圆—+2=1(xw0)
bab
的交点是Q(—£,t).
•P、Q
的中点M(x,y)满足
a—c
x=
y=t
22
得x_+爲=1.
(a_c)2b
“/a-c、2’2a-c-2ba-c+2b
•••av2b,「.()2-b2=•-0.
222
综上所述,当k=0时,“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆。
22
当k>0时,以k为斜率过B1的直线I与半椭圆X2+^2=1(x>0)的交点是ab
2ka2bk2a2b-b3
(~~2,~—2)
ka+bka+b
b2
由此,在直线l右侧,以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线y=^x上,即不在某一
k2
椭圆上。
当kv0时,可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上。
四、教学技能
21.【答案要点】
(1)普通高中《数学课程标准》在课程理念、课程目标、课程体系、课
堂内容、课程学习方式以及课程评价等方面充分体现了课程改革的精神,而课堂教学是积极
实施新课程、渗透教学新理念的主要渠道。
课堂教学作为一种有明确目的性的认知活动,其
有效性如何也将直接影响教学目标的达成,影响学生知识的建构和数学素养的养成。
数学有
效教学的实质就是促进和加速学生对数学知识与思想方法的掌握,促进学生数学能力的提高
与思维的发展,促使学生良好的数学认知结构的形成。
数学有效教学通过有效的数学课堂教
学来实施。
一切教学都是预设与生成的矛盾的统一体。
精心的预设是生成数学课堂有效教学
的前提。
(2)预设和生成是辩证的对立统一体,两者是相互依存的。
课堂是动态的课堂,课堂教
学中需要预设,预设应力行简约,要有较大的包容性和自由度,做到预设而不死板,但决不
能紧紧依靠预设,要随时审时度势,预设根据课堂的变化而变化。
没有预设的生成是盲目的,如果没有高质量的预设,就不可能有美丽的生成;反之,没有生成的预设又是低效的.如果不重视生成,那么预设必然僵化的,缺乏生命活力•生成应机智把握,即兴创造,让学生独特的感悟、体验与理解在课堂上绽放。
把预设与生成有机的结合起来是一种教学艺术,前苏
联著名教育家苏霍姆林斯基说过:
“教育的技巧并不在于能预见到课堂的所有细节,而是在
于根据当时的具体情况,巧妙的在学生不知不觉中做出相应的变动。
”因此,只有处理好预
设和生成的关系,才能真正提高课堂教学质量。