C.a
解析 a=sin17°+cos17°=cos(45°-17°)=cos28°,
b=2cos213°-1=cos26°,
c==cos30°,
∵y=cosx在(0,90°)内是减函数,
∴cos26°>cos28°>cos30°,即b>a>c.
答案 A
8.三角形ABC中,若∠C>90°,则tanA·tanB与1的大小关系为( )
A.tanA·tanB>1B.tanA·tanB<1
C.tanA·tanB=1D.不能确定
解析 在三角形ABC中,∵∠C>90°,∴∠A,∠B分别都为锐角.
则有tanA>0,tanB>0,tanC<0.
又∵∠C=π-(∠A+∠B),
∴tanC=-tan(A+B)=-<0,
易知1-tanA·tanB>0,
即tanA·tanB<1.
答案 B
9.函数f(x)=sin2-sin2是( )
A.周期为π的奇函数
B.周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数
D.周期为2π的偶函数
解析 f(x)=sin2-sin2
=cos2-sin2
=cos2-sin2
=cos
=sin2x.
答案 A
10.y=cosx(cosx+sinx)的值域是( )
A.[-2,2]B.
C.D.
解析 y=cos2x+cosxsinx=+sin2x
=+
=+sin(2x+).∵x∈R,
∴当sin=1时,y有最大值;
当sin=-1时,y有最小值.
∴值域为.
答案 C
11.的值是( )
A.B.
C.D.
解析 原式=
=
==.
答案 C
12.若α,β为锐角,cos(α+β)=,cos(2α+β)=,则cosα的值为( )
A.B.
C.或D.以上都不对
解析 ∵0<α+β<π,cos(α+β)=>0,
∴0<α+β<,sin(α+β)=.
∵0<2α+β<π,cos(2α+β)=>0,
∴0<2α+β<,sin(2α+β)=.
∴cosα=cos[(2α+β)-(α+β)]
=cos(2α+β)cos(α+β)+sin(2α+β)sin(α+β)
=×+×=.
答案 A
二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分.将答案填在题中横线上)
13.已知α,β为锐角,且cos(α+β)=sin(α-β),则tanα=________.
解析 ∵cos(α+β)=sin(α-β),
∴cosαcosβ-sinαsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ.
∴cosα(sinβ+cosβ)=sinα(sinβ+cosβ).
∵β为锐角,∴sinβ+cosβ≠0,∴cosα=sinα,∴tanα=1.
答案 1
14.已知cos2α=,则sin4α+cos4α=________.
解析 ∵cos2α=,
∴sin22α=.
∴sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α
=1-sin22α=1-×=.
答案
15.=________.
解析 ∵sin(α+30°)+cos(α+60°)=sinαcos30°+cosαsin30°+cosαcos60°-sinαsin60°=cosα,
∴原式==.
答案
16.关于函数f(x)=cos(2x-)+cos(2x+),则下列命题:
①y=f(x)的最大值为;
②y=f(x)最小正周期是π;
③y=f(x)在区间上是减函数;
④将函数y=cos2x的图象向右平移个单位后,将与已知函数的图象重合.
其中正确命题的序号是________.
解析 f(x)=cos+cos
=cos+sin
=cos-sin
=·
=cos
=cos,
∴y=f(x)的最大值为,最小正周期为π,故①,②正确.
又当x∈时,2x-∈[0,π],∴y=f(x)在上是减函数,故③正确.
由④得y=cos2=cos,故④正确.
答案 ①②③④
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知向量m=,n=(sinx,1),m与n为共线向量,且α∈.
(1)求sinα+cosα的值;
(2)求的值.
解
(1)∵m与n为共线向量,
∴×1-(-1)×sinα=0,
即sinα+cosα=.
(2)∵1+sin2α=(sinα+cosα)2=,
∴sin2α=-.
∴(sinα-cosα)2=1-sin2α=.
又∵α∈,∴sinα-cosα<0.
∴sinα-cosα=-.
∴=.
18.(12分)求证:
=.
证明 左边=
=
=
==
==.
∴原等式成立.
19.(12分)已知cos=,x∈.
(1)求sinx的值;
(2)求sin的值.
解
(1)解法1:
∵x∈,
∴x-∈,
于是sin==.
sinx=sin
=sincos+cossin
=×+×
=.
解法2:
由题设得
cosx+sinx=,
即cosx+sinx=.
又sin2x+cos2x=1,
从而25sin2x-5sinx-12=0,
解得sinx=,或sinx=-,
因为x∈,所以sinx=.
(2)∵x∈,故
cosx=-=-=-.
sin2x=2sinxcosx=-.
cos2x=2cos2x-1=-.
∴sin
=sin2xcos+cos2xsin
=-.
20.(12分)已知向量a=,b=,c=(,-1),其中x∈R.
(1)当a⊥b时,求x值的集合;
(2)求|a-c|的最大值.
解
(1)由a⊥b得a·b=0,
即coscos-sinsin=0,
则cos2x=0,得x=+(k∈Z),
∴x值的集合是.
(2)|a-c|2=2+2
=cos2-2cos+3+sin2+2sin+1
=5+2sin-2cos=5+4sin,
则|a-c|2的最大值为9.
∴|a-c|的最大值为3.
21.(12分)某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面,若扇形的半径长为1cm,求割出的长方形桌面的最大面积(如图).
解
连接OC,设∠COB=θ,则0°<θ<45°,OC=1.
∵AB=OB-OA=cosθ-AD=cosθ-sinθ,
∴S矩形ABCD=AB·BC=(cosθ-sinθ)·sinθ
=-sin2θ+sinθcosθ=-(1-cos2θ)+sin2θ
=(sin2θ+cos2θ)-
=cos-.
当2θ-=0,即θ=时,Smax=(m2).
∴割出的长方形桌面的最大面积为m2.
22.(12分)已知函数f(x)=sin(π-ωx)cosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间上的最小值.
解
(1)因为f(x)=sin(π-ωx)cosωx+cos2ωx.
所以f(x)=sinωxcosωx+
=sin2ωx+cos2ωx+
=sin+.
由于ω>0,依题意得=π.所以ω=1.
(2)由
(1)知f(x)=sin+.
所以g(x)=f(2x)=sin+.
当0≤x≤,≤4x+≤.
所以≤sin≤1.
因此1≤g(x)≤.
故g(x)在区间上的最小值为1.