实际问题与一元一次方程同步辅导.docx
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实际问题与一元一次方程同步辅导
3.4 实际问题与一元一次方程
1.配套问题
(1)一般情况下,配套问题总有两种事物,一般不是1个配1个,而是1配多,或按比列配置.比如螺钉、螺母,且一个螺钉配两个螺母;桌面、桌腿,一个桌面配四条桌腿,等.
(2)常用等量关系:
个数相等.不管是2个配1个,还是4个配1个,通过乘以扩大倍数,得到两种事物个数相等从而列出方程.这是配套问题中的等量关系,也是列方程的方法.
析规律配套问题一般是用式子表示出各自的个数,再通过乘以倍数扩大数目少的或列比例式列出方程.
【例1】某车间每天能生产甲种零件180个或乙种零件120个,若甲、乙两种零件分别取3个、2个配成一套,那么要在30天内生产最多的成套产品,应怎样安排生产甲、乙两种零件的天数?
分析:
可设安排生产甲种零件x天,那么(30-x)天生产乙种零件,x天生产甲种零件180x个,(30-x)天生产乙种零件120(30-x)个,根据比例关系可知甲∶乙=3∶2,或甲×2=乙×3,列出方程求解.
解:
若安排生产甲种零件x天,那么生产乙种零件(30-x)天,根据题意,得180x∶120(30-x)=3∶2(或列式子:
2×180x=3×120(30-x)).
化简,得360x=360(30-x),解得x=15,30-x=15.
答:
安排生产甲、乙两种零件各15天,能生产最多的成套产品.
2.工程问题
(1)基本关系量:
主要有三个量:
工作量、工作效率、工作时间.在工程问题中,通常把全部工作量表示为1,如果甲单独完成一项工作需要n小时,那么平均每小时完成的工作量就是
.其中
即是1小时的工作量,也是甲的工作效率(工作效率:
单位时间完成的工作量).
(2)基本关系式子:
①工作量=工作效率×工作时间;②工作量=人均效率×人数×工作时间.
(3)常用等量关系:
①各阶段完成的工作量之和=完成的工作总量;
②各人完成的工作量之和=完成的工作总量.
解技巧工程问题的解法①在同一工程问题中,一般都有两个或两个以上的工作效率,相对应的就有两个或两个以上的工作时间,但不论何种情况,应注意:
必须是相对应的工作效率乘以工作时间才是工作量.②先干、后干或是甲干、乙干,只有全部完成,才等于1,只是完成部分,工作量就不是1,工作量要由具体情况得出.
【例2-1】一件工作,甲单独做20小时可以完成,乙单独做12小时可以完成.现在先由甲先做4小时,余下的工作由二人合作完成.问余下的部分二人几小时可以完成?
分析:
把总工作量看作“1”,由题意可知,甲的工作效率是
,乙的工作效率是
.若设余下的部分二人合作需要x小时完成,则根据“甲先做4小时的工作量+甲、乙二人合作的工作量=总工作量1”列方程解出.
解:
设余下的部分二人合作需要x小时完成,则
+
+
=1,解得x=6.
答:
余下的部分甲、乙二人用6小时可以完成.
【例2-2】某中学的学生自己动手整修操场,如果让初一学生单独工作,需要7.5小时完成;如果让初二学生单独工作,需要5小时完成.如果让初一、初二学生一起工作1小时,再由初二学生单独完成剩余部分,共需多少时间完成?
分析:
初一学生的工作总量+初二学生的工作总量=全部工作量.
解:
设还需要x小时完成,得
+
+
=1,解得x=
,
所以共需要:
1+
=
(小时).
答:
共需
小时完成.
3.营销问题
营销问题是应用题中最重要的一部分,也是在中考中出现最多的题,这类问题术语较多、数量关系较复杂,使得题目变化较多,题目难易程度不一,并与我们的生活联系最密切.
(1)关键词:
成本价(进价),标价,零售价;利润,利润率;折扣数(打x折),盈利、亏损、让利、买入(价)、卖出(价)等.
(2)常用等量关系
①售价、进价、利润、利润率的关系式:
商品利润=商品售价-商品进价.
商品利润=商品进价×利润率.
②标价、折扣数、商品售价关系:
商品售价=标价×
.
③商品售价、进价、利润率的关系:
商品售价=进价×(1+利润率).
(3)列方程常用等量关系
①同一个量的不同表示结果相等.最常用的就是售价-进价=进价×利润率.
②根据上面的公式设未知数列方程.
谈重点营销问题运用方程解决有关市场营销问题的关键:
一是抓住其中的两个基本等量关系:
利润=售价-进价,利润=进价×利润率,再就是弄清成本价(有时是进价)、售价、零售价、标价、打几折、打折后的实际售价、利润、实际利润、实际利润率等的关系,只有理清它们之间的关系,才能寻找正确的等量关系,列出方程.
【例3】某商品的零售价是900元,为适应竞争,商店按零售价打9折(即原价的90%),并再让利40元销售,仍可获利10%,求该商品的进价.
分析:
实际售价是900×90%,实际利润是在原利润的基础上让利40元,设进价为每件x元,根据实际获得的利润(不同的表示法)相等列方程求解.
解:
设该商品的进价为每件x元,依题意,
得900×0.9-40=10%x+x.
解得x=700.
所以此商品的进价是700元.
4.销售中的盈亏
(1)意义:
学会通过计算进行比较判断的理性决策方式,认识盈亏需要通过计算,用数据说明问题.
(2)根据营销问题中的计算公式、法则分别进行计算,综合比较判断是盈是亏,方案是优是劣,以及怎样才能获得更大利润效益.
【例4】新华书店一天内大批量销售了两种书籍,甲种书籍共卖得1560元;为了发展农业科技,乙种书籍送书下乡共卖得1350元,若按甲、乙两种书籍的成本分别计算,甲种书籍可盈利25%,乙种书籍亏本10%,试问该书店这一天两种书籍共盈利(或亏本)多少元?
分析:
分别计算出两种书籍的进价支出,与售价收入对比求出.
解:
设甲种书籍的成本为x元,乙种书籍的成本为y元,
则甲种书籍:
(1+25%)x=1560,
解得x=1248.
乙种书籍:
(1-10%)y=1350.
解得y=1500.
所以盈利:
(1560+1350)-(1248+1500)
=162(元).
答:
该书店这一天售出两种书籍共盈利162元.
5.球赛积分表问题
(1)意义:
了解现实生活中的体育知识,学会用数学的思想分析比赛,学会判断、决策,认识有些问题符合题意但不符合实际.
(2)相关知识:
①赛制:
单循环、双循环、淘汰赛、决赛、半决赛等.
②积分办法:
篮球:
胜一场积2分,负一场积1分,没有平局情况;足球:
胜一场积3分,平一场各积1分,输一场积0分.
(3)理解:
①通过观察表格发现、筛选有用数据,进行分析、计算、判断、决策.
②利用方程不仅能计算未知数的值,而且可以进一步进行推理.
③对于解决实际问题,检验解出的结果是否合乎实际意义是必要的.
【例5】下表是某赛季国内篮球甲A联赛常规赛的最终积分榜:
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
八一双鹿
22
18
4
40
上海东方
22
18
4
40
北京首钢
22
14
8
36
吉林恒和
22
14
8
36
辽宁盼盼
22
12
10
34
广东宏远
22
12
10
34
前卫奥神
22
11
11
33
江苏南钢
22
10
12
32
山东润洁
22
10
12
32
浙江万马
22
7
15
29
双星济军
22
6
16
28
沈部雄师
22
0
22
22
(1)列式表示总积分与胜、负场数之间的数量关系.
(2)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗?
分析:
(1)从表格中最后一行看:
负22场,积22分,可知负一场积1分.所以若设胜一场积x分,从表中其他任何一行可以列方程,求出胜一场的积分.
(2)根据胜负积分及胜负场次列方程计算,观察结果,得出结论.
解:
(1)设胜一场积x分,从第一行得出方程:
18x+1×4=40,解得x=2.
所以胜一场积2分.
如果用M表示胜场,则负(22-M)场,胜场积分为2M分,负场积分为(22-M)分,总积分W,那么W=2M+(22-M)=(M+22)分.
(2)设一个队胜了x场,则负了(22-x)场,如果这个队的胜场总积分等于负场总积分,则有方程2x=(22-x).
解得x=
.
因为x=
虽是方程的解,但场数只能是正整数,所以任何一队都不可能有胜场总积分等于负场总积分的情况.
6.图表信息题的应用
图表信息题,就是根据实际问题中所呈现出来的图象、图表信息,要求依据这些给出的信息通过整理、分析、加工等手段解决的一类问题.主要考查同学们识图看表的能力以及处理信息的能力.解答这类试卷的关键是对图表信息认真分析、合理利用,按照题意要求,准确地输出信息,结合所学知识,运用数学的手段加以解决.
解这类题的一般步骤是:
(1)观察图象,获取有效信息;
(2)对已获信息进行加工、整理,理清各变量之间的关系;(3)选择适当的数学工具,通过建模解决问题.
【例6】长风乐园的门票价格规定如下表所列.某校七年级
(1)、
(2)两个班级共104人去游长风乐园,其中
(1)班人数较少,不到50人,
(2)班人数较多,有50多人.经估算,如果两班都以班为单位分别购票,则一共应付1240元;如果两班联合起来,作为一个团体购票,则可以节省不少钱.问两班各有多少学生?
购票人数
1~50人
51~100人
100人以上
每人门票价
13元
11元
9元
分析:
若设
(1)班有x人,那么
(2)班有(104-x)人,根据
(1)班购票款+
(2)班购票款=总支付款1240元.列方程求出
(1)班人数,再求
(2)班人数.
解:
设
(1)班有x人,那么
(2)班有(104-x)人,根据题意,得13x+11(104-x)=1240.解得x=48,
所以,
(2)班人数是104-x=104-48=56(人).
答:
(1)班、
(2)班分别有48人,56人.
7.银行利率问题解法
银行利率问题是应用题一种常见题目,也是居民生活和企业经营中经常遇到的问题.是与生活息息相关实用性较强的数学问题.
(1)相关量名称:
存款利率、贷款利率、年利率、月利率、利息、本金、本息和.
(2)主要等量关系式:
利息=本金×年利率×年数.
利息=本金×月利率×月数(或×12个月×年).
本息和=本金+利息.
(3)应用特点:
①一般都是根据所给数据直接计算,以算式直接进行运算的方式较多,如计算所得利息,本息和,应交贷款利息等.
②随着人们投资理财意识的增强,通过计算选择最优方案问题最常见,且实用性较强.
破疑点银行利率银行利率问题是比较简单的问题,变化不大,很多时候就是用公式代入计算,只是很多学生不理解专业术语,这与接触、认识较少有关.
【例7-1】某企业存入银行甲、乙两种不同性质用途的存款共20万元,甲种存款的年利率为5.4%,乙种存款的年利率为8.28%,该企业一年可获利息收入12240元,问该企业存入银行的甲、乙两种存款各是多少万元?
分析:
甲种存款利息收入+乙种存款利息收入=12240元.
解:
设甲种存款为x万元,则乙种存款为(20-x)万元,依题意,得x×5.4%+(20-x)×8.28%=1.224.
解得x=15.20-x=5(万元).
答:
甲、乙两种存款分别是15万元,5万元.
【例7-2】银行开办的教育储蓄,一年期、三年期、六年期的定期存款利率分别为2.26%,2.70%,2.88%.小华的父母为准备她六年后上大学的费用,决定现在就参加教育储蓄,他们准备存入10000元,下面有两种储蓄方式:
(1)直接存一个六年期.
(2)先存一个三年期的,三年后将本息和自动转存下一个三年期.小华的父母不知选择哪一种储蓄方式获利较多,你能帮助他们吗?
解:
(1)设直接存一个六年期期满后获利息为y元,根据题意,得y=10000×2.88%×6=1728(元).
(2)设先存一个三年期的,三年后将本息和自动转存下一个三年期.期满后获利息为x元,根据题意,得x=10000×2.70%×3+(10000+10000×2.70%×3)×2.70%×3=1685.61(元).
显然y>x,∴小华的父母选择直接存一个六年期获利较多.
8.百分比问题
(1)意义:
百分比问题在应用题中出现很多.百分比是最常见的描述数量变化问题的数据,随着经济在人们生活中重要性的变化,关于用百分数来描述经济问题的情况越来越多,因此在中考中出现的次数也越来越频繁.
(2)主要题型:
关于百分数的计算特别是在工作效率问题,营销问题中出现最多,此外在农业种植、工业生产、经济、人口变化、溶液浓度等问题中也经常出现.常常与增长(增加)、提高、降低、减少等联系在一起,用来描述事物等的变化.
(3)应用注意事项:
①应用百分比问题最主要的是弄清谁比谁的问题,也就是基数问题,比谁谁作分母,这是关键点也是易错点,如标价a元的某商品降价10%后,再提价10%,价格就不是a元,两个10%的基数不同(分母不同);②含百分数的问题大多不易理解,计算也较复杂,一般是采取类似于去分母的方法去掉百分数,变为整数解决.
【例8-1】某石油进口国这个月的石油进口量比上个月减少了5%,由于国际油价上涨,这个月进口石油的费用反而比上个月增加了14%.求这个月的石油价格相对上个月的增长率.
分析:
把上个月石油进口量看作1,则这个月的进口量是1×(1-5%),上月的价格也为1,那么这个月的费用就是1×(1-5%)×1×(1+增长率),实际这个月费用是1×(1+14%),所以相等,列出方程.
解:
设这个月的石油价格相对上个月的增长率为x,根据题意,得(1+x)(1-5%)=1+14%.
解得x=20%.
答:
这个月的石油价格相对上个月的增长率为20%.
【例8-2】一种商品原来的销售利润率是47%.现在由于进价提高了5%,而售价没变,所以该商品的销售利润率变成了多少?
分析:
可设原来的进价为a元,原来的利润就是47%a,进价提高了5%a,现在的进价就是(1+5%)a,现在的利润就是47%a-5%a.
解:
设这种商品原来的进价为a元,原来的利润就是47%a,进价提高了5%a,
所以现在的利润率=
=40%.
也可设现在该商品的利润率变为x%,得47%a-5%a=(1+5%)a·x%,解得x=40.
所以该商品的销售利润率变成了40%.
9.日历表中的方程问题
日历题也是一元一次方程中常见的问题,要解决这类问题,就要先熟悉一下月历,以2013年6月份的月历为例(其他月历也一样),每一行表示一周,而且每周是从星期日开始的,自左向右,后一个数都比前一个数大1;每一列表示相同的星期几,自上而下,下一个数都比上一个大7.
所以,日历问题实际上就是数列问题,如图:
任意用一个正方形框出四个数,若设其中左上角一个为x,那么其他数分别是x+1,x+7,x+8,根据已知的和就可以列方程,求出日期,从而判断是周几或其他情况.
【例9-1】本周的星期三到星期五这三天的号数之和等于18,你知道星期三是几号吗?
解:
星期三为x号,那么星期四就是(x+1)号,星期五就是(x+2)号,根据题意,得x+(x+1)+(x+2)=18,解得x=5,所以本周的星期三是5号.
【例9-2】小明和小莉出生于2001年12月份,他们的出生日期不是同一天,但都是星期五,且小明比小莉出生早,两人出生日期之和是22,那么小莉的出生日期是().
A.15号B.16号C.17号D.18号
解读:
因为两人的生日不是同一天,但都是星期五,且两人都是12月生日,则两人的生日可能相差7天或14天或21天或28天,又根据两人出生日期之和为22,则两人生日不能相差28天,即两人生日只能相差7天或14天或21天三种情况.设小莉出生日期为x号,则小明的出生日期为(x-7)号或(x-14)号或(x-21)号,根据题意,得①x+(x-7)=22;②x+(x-14)=22;③x+(x-21)=22.分别解这三个方程,得x=
,或x=18,或x=
.因为日期为正整数,所以符合题意的只有x=18,即小莉的出生日期是18号.故应选D.
答案:
D
10.设参数解应用题
在解百分比问题过程中,有些题目中的量必须用到,但又未给出,为使题目直观、明确,我们一般在设未知数的同时也设一个辅助未知数(参数),以便于题目的理解和应用,这就是设参数解题法,这种解法,在解题过程所设的参数未知数在解题过程中自然约掉,从而帮助我们顺利理解问题,解决问题.如:
某商品降价20%后,若想恢复原价,需要在现价的基础上提高百分之几?
此题要求“提高现价的百分之几”,但题中没有给出原价,也未给出现价,由题意知,现价与原价有联系,若将原价设为a元,则现价就是(1-20%)a,再设需提高现价x%,那么价格就是a(1-20%)(1+x%),这样与原价持平,所以a(1-20%)(1+x%)=a,这就可以使题目明显化、直观化.在解题过程中,a就是辅助未知数,并且在解的过程中,根据等式的性质,a自然约掉.从而解得x=25.即需要在现价的基础上提高25%.
【例10-1】苹果的进价是每千克3.8元,销售中估计有5%的苹果正常损耗.为避免亏本,商家把售价应该至少定为每千克__________元.
解读:
有两种方法,一种是假设只进1千克苹果,那么设定价至少为x元,那么3.8×1=(1-5%)x,解得x=4.另一种设共购进a千克苹果,那么损耗就是5%a千克,同样设定价至少为x元,那么总进价就是3.8a元,损耗后的总售价是(a-5%a)x元.列出方程,可求得x=4.所以定价至少应该是4元.
答案:
4
【例10-2】高一某班在入学体检中,测得全班同学平均体重是48千克,其中男同学平均体重比女同学平均体重多20%,而女同学人数比男同学人数多20%.求男、女同学的平均体重各是多少?
分析:
设女生平均体重为x千克,则男生平均体重为1.2x千克.设男生有y人,则女生有1.2y人,则男生的体重是1.2xy,女生的体重为1.2yx,根据男生的体重+女生的体重=总体重列出方程.
解:
设女生平均体重为x千克,则男生平均体重为1.2x千克;男生有y人,则女生有1.2y人,
由题意,得1.2xy+1.2yx=48(y+1.2y).
整理,得2.4xy=48×2.2y.
∵y≠0,∴2.4x=48×2.2.
解得x=44,1.2x=52.8(千克).
答:
男、女生平均体重分别为52.8千克和44千克.
11.一元一次方程自编型题
在近几年中考题中,出现了一种新题型——自编题,它对能力的要求更高,要求同学们能在真正理解教材、掌握教材的基础上,达到变“学会”为“会学”的境界,同时也体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”的新课程理念.
自编题一般给定条件,让编出一道符合条件的题目,答案都不唯一,并具有开放性.一元一次方程这章的自编题一般分为两类,一是自编方程,给出一个方程的解或再加其他条件限制,编写一道适合的方程;另一种是自编应用题:
一般是给出一个一元一次方程,结合这个方程特点,发挥自己的想象力,从生产、生活的各个方面取材编写,编写一道符合所给一元一次方程的应用题,有时还要求出解.
【例11-1】展开你想象的翅膀,尽可能多的从方程
+
=1中,猜想出它可能会是哪一类的应用题并将其编写出来.
分析:
此题的方程可从教材中找到类似的原型,等于1,含分母,可以当作工程问题的原型,也可从其他方面入手编写,只要符合实际,所列方程是
+
=1即可.
解:
如:
向电脑输入一篇文章,若单独输入,小红需10分钟输完,小华需15分钟输完,若由小华先输入2分钟,余下的两人合作,问还需多少分钟输完?
【例11-2】小明根据方程5x+2=6x-8编写了一道应用题.请你把空缺的部分补充完整,并求出结果.
某手工小组计划教师节前做一批手工品赠给老师,如果每人做5个,那么就比计划少2个;__________.请问手工小组有几人?
(设手工小组有x人)
答案:
如果每人做6个,那么比计划多做8个;
解方程5x+2=6x-8,
得x=10.
答:
手工小组有10人.
12.选择最优方案的问题
运用数学知识解决生活、生产实际问题,一般地说要求学生具备以下三种能力:
一、阅读理解能力,即要把实际问题转化、抽象、提炼为数学问题.二、数学建模能力,即列出数学式子并能对整个问题作出合理的数学分析.三、数学求解能力,要以科学知识为依据,善于灵活地、创造性地运用知识解决问题.最优方案选择,则是运用数学知识,选择最经济、效果最好的方法.从而在科学研究、生产实践等方面取得事半功倍的作用.
最优方案问题常见的题目背景一般有:
(1)买赠活动
(2)活动组合选优
(3)买赠活动与打折
(4)电话计费问题
解决选择最优方案问题的基本的思路是简化事物,使问题变得简单而清晰.可以压缩表述事物的文字,使语言更加精炼.文字少了,自然容易弄清楚事物之间的关系.也可以重新整理描述事物的顺序,使应用题的脉络更加清晰.
(1)用列表法化简应用题
(2)用图示法表示应用题
简单的说就是:
一般设两种方式花费一样多时的情况,列出方程,求出临界点时的情况,再根据变化通过讨论,选择最优方案.
【例12】根据下面的两种移动电话计费方式表,考虑下列问题.
(1)若一个月内在本地通话250分,按哪种方式交费更合算?
(2)在某地每月通话时间为多少分时,两种计费方式收费一样多?
方式一
方式二
月租费
30元/月
0
本地通话费
0.30元/分
0.40元/分
公告
用方式一每月收月租费30元,此外根据累计通话时间按0.30元/分加收通话费;用方式二不收月租费,根据累计按0.40元/分收通话费.
分析:
(1)分别计算一个月内在本地通话250分时,两种收费方式下需缴纳的费用,进行比较即可;
(2)分别列出收费方式一、二下费用与通话时间的关系,即收费方式一,费用=30元+0.30元×通话时间,收费方式二,费用=0.40元×通话时间,令二者相等解出答案即可.
解:
(1)一个月内本地通话250(分)时,
按方式一交费为:
30+0.30×250=105(元),
按方式二交费为:
0.40×250=100(元),
因此本地通话250(分)时,按方式二交费更合算.
(2)设每月通话x分,按方式一要收费(30+0.3x)元,按方式二要收费0.4x元.
如果两种计费方式的收费一样,则0.4x=30+0.3x,
移项得:
0.4x-0.3x=30,
合并同类项得:
0.1x=30,
系数化为1得:
x=300.
答:
如果一个月内通话300分,那么两种计费方式的收费一样多.
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