北师大版八年级数学上册《第一章 勾股定理》单元练习卷.docx
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北师大版八年级数学上册《第一章勾股定理》单元练习卷
第一章勾股定理
一.填空题(共8小题,每小题3分,共24分)
1.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如下图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若(a+b)2=21,大正方形的面积为13,则小正方形的面积为 .
2.如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C的面积和是9,则正方形D的边长 .
3.已知,点O为数轴原点,数轴上的A,B两点分别对应﹣3,3,以AB为底边作腰长为4的等腰△ABC,连接OC,以O为圆心,CO长为半径画弧交数轴于点M,则点M对应的实数为 .
4.如图,在△ABC中,BC=5,AC=12,AB=13,则S△ABC= .
5.如图所示的网格是正方形网格,则∠PAB+∠PBA= °(点A,B,P是网格线交点).
6.探索勾股数的规律:
观察下列各组数:
(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41)…,请写出第6个数组:
.
7.如图,一木杆在离地面1.5m处折断,木杆顶端落在离木杆底端2m处,则木杆折断之前的高为 (m).
8.如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm,A和B是这个台阶上两个相对的端点,点A处有一只蚂蚁,想到点B处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为 dm.
二.选择题(共10小题,每小题3分,共30分)
9.如图,是“赵爽弦图”,△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形,如果EF=4,AH=12,那么AB等于( )
A.30B.25C.20D.15
10.勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”.我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是“赵爽弦图”的是( )
A.
B.
C.
D.
11.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,正方形AEDC,BCFG的面积分别为25和144,则AB的长度为( )
A.13B.169C.12D.5
12.如图所示,正方形ABGF和正方形CDBE的面积分别是100和36,则以AD为直径的半圆的面积是( )
A.4πB.8πC.12πD.16π
13.下列长度的三根木棒首尾顺次连接,能组成直角三角形的是( )
A.1,2,3B.4,6,8C.6,8,10D.13,14,15
14.在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是( )
A.a=32,b=42,c=52B.a=9,b=12,c=15
C.∠A:
∠B:
∠C=5:
2:
3D.∠C﹣∠B=∠A
15.下列各组数据中,能做为直角三角形三边长的是( )
A.1、2、3B.3、5、7C.32、42、52D.5、12、13
16.下列各组数据中,不是勾股数的是( )
A.3,4,5B.5,7,9C.8,15,17D.7,24,25
17.如图,学校有一块长方形草地,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在草地内走出了一条“路”,他们仅仅少走了( )米路,却踩伤了花草.
A.1B.2C.5D.12
18.如图所示,有一个高18cm,底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器,在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇,则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是( )
A.16cmB.18cmC.20cmD.24cm
三.解答题(共7小题,共66分)
19.如图是边长为1的正方形网格,下面是勾股定理的探索与验证过程,请补充完整:
∵S1= ,S2= ,S3= ,
∴S1+S2=S3.
即 2+ 2= 2.
20.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,点A、B、C、D都在格点上.
(1)线段AB的长是 ;
(2)在图中画出一条线段EF,使EF的长为
,并判断AB、CD、EF三条线段的长能否成为一个直角三角形三边的长?
说明理由.
21.如图,一块铁皮(图中阴影部分),测得AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,∠B=90°.求阴影部分的面积.
22.已知:
整式A=(n2﹣1)2+(2n)2,整式B>0.
尝试化简整式A.
发现A=B2,求整式B.
联想由上可知,B2=(n2﹣1)2+(2n)2,当n>1时,n2﹣1,2n,B为直角三角形的三边长,如图.填写下表中B的值:
直角三角形三边
n2﹣1
2n
B
勾股数组Ⅰ
/
8
勾股数组Ⅱ
35
/
23.学校要对如图所示的一块地ABCD进行绿化,已知AD=4米,CD=3米,AD⊥DC,AB=13米,BC=12米.
(1)若连接AC,试证明:
△ABC是直角三角形;
(2)求这块地的面积.
24.小王与小林进行遥控赛车游戏,小王的赛车从点C出发,以4米秒的速度由西向东行驶,同时小林的赛车从点B出发,以3米秒的速度由南向北行驶(如图).已知赛车之间的距离小于或等于25米时,遥控信号会产生相互干扰,AC=40米,AB=30米.
(1)出发3秒钟时,遥控信号是否会产生相互干扰?
(2)出发几秒钟时,遥控信号将会产生相互干扰?
25.如图,长方体的底面积为30cm2,长、宽、高的比为3:
2:
1,则:
(1)这个长方体的长、宽、高分别是多少?
(2)长方体的表面积和体积分别是多少?
(3)若一只蚂蚁从顶点A沿长方体表面爬行到顶点B,直接写出从点A爬行到点B的最短路程是 cm.
参考答案
一.填空题
1.解:
如图所示:
∵(a+b)2=21,
∴a2+2ab+b2=21,
∵大正方形的面积为13,
2ab=21﹣13=8,
∴小正方形的面积为13﹣8=5,
故答案为:
5
2.解:
根据勾股定理的几何意义得:
SD=SA+SB+SC=9,
可知,D的边长为
=3.
故答案为:
3.
3.解:
∵△ABC为等腰三角形,OA=OB=3,
∴OC⊥AB,
在Rt△OBC中,OC=
=
=
,
∵以O为圆心,CO长为半径画弧交数轴于点M,
∴OM=OC=
,
∴点M对应的数为±
.
故答案为:
.
4.解:
由于AB2=BC2+AC2,
∴△ABC是直角三角形,
∴∠C=90°,
∴S△ABC=
×12×5=30,
故答案为:
30
5.解:
延长AP交格点于D,连接BD,
则PD2=BD2=1+22=5,PB2=12+32=10,
∴PD2+DB2=PB2,
∴∠PDB=90°,
∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°,
故答案为:
45.
6.解:
∵①3=2×1+1,4=2×12+2×1,5=2×12+2×1+1;
②5=2×2+1,12=2×22+2×2,13=2×22+2×2+1;
③7=2×3+1,24=2×32+2×3,25=2×32+2×3+1;
④9=2×4+1,40=2×42+2×4,41=2×42+2×4+1;
⑤11=2×5+1,60=2×52+2×5,61=2×52+2×5+1,
则⑥13=2×6+1,2×62+2×6=84,2×62+2×6+1=85,
故答案为:
13,84,85.
7.解:
∵一木杆在离地面1.5m处折断,木杆顶端落在离木杆底端2m处,
∴折断的部分长为
=2.5,
∴折断前高度为2.5+1.5=4(m).
故答案为:
4.
8.解:
三级台阶平面展开图为长方形,长为20dm,宽为(2+3)×3dm,
则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.
设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm,
由勾股定理得:
x2=202+[(2+3)×3]2=252,
解得:
x=25(dm).
故答案为:
25.
二.选择题
9.解:
∵△ABH≌△BCG,
∴BG=AH=12,
∵四边形EFGH都是正方形,
∴HG=EF=4,
∴BH=16,
∴在直角三角形AHB中,由勾股定理得到:
AB=
=
=20.
故选:
C.
10.解:
“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形,如图所示:
故选:
B.
11.解:
AB=
=13,
故选:
A.
12.解:
∵在Rt△ABD中,∠ADB=90°,AB2=100,BD2=36,
∴AD2=100﹣36=64,
∴AD=8,
∴以AD为直径的半圆的面积是
π(
AD)2=
πAD2=8π.
故选:
B.
13.解:
A、12+22=5≠32,故不能组成直角三角形,错误;
B、42+62≠82,故不能组成直角三角形,错误;
C、62+82=102,故能组成直角三角形,正确;
D、132+142≠152,故不能组成直角三角形,错误.
故选:
C.
14.解:
A、∵92+162≠252,∴不能构成直角三角形,故选项正确;
B、∵92+122=152,∴能构成直角三角形,故选项错误;
C、∵∠A:
∠B:
∠C=5:
2:
3,∠A+∠B+∠C=180°,∴最大角∠A=90°,∴能构成直角三角形,故选项错误;
D、∵∠C﹣∠B=∠A,∴∠C=∠B+∠A,∴最大角∠C=90°,∴能构成直角三角形,故选项错误.
故选:
A.
15.解:
A、12+22≠32,所以以1、2、3为边不能组成直角三角形,故本选项不符合题意;
B、32+52≠72,所以以3、5、7为边不能组成直角三角形,故本选项不符合题意;
C、(32)2+(42)2≠(52)2,所以以32、42、52为边不能组成直角三角形,故本选项不符合题意;
D、52+122=132,所以以5、12、13为边能组成直角三角形,故本选项符合题意;
故选:
D.
16.解:
A、32+42=52,能构成直角三角形,是整数,故选项错误;
B、52+72≠92,不能构成直角三角形,故选项正确;
C、82+152=172,构成直角三角形,是正整数,故选项错误;
D、72+242=252,能构成直角三角形,是整数,故选项错误.
故选:
B.
17.解:
由题意可得,直角三角形的斜边为:
=5,
则他们仅仅少走了3+4﹣5=2(米).
故选:
B.
18.解:
如图展开后连接SF,求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径,
过S作SE⊥CD于E,
则SE=BC=
×24=12cm,
EF=18﹣1﹣1=16cm,
在Rt△FES中,由勾股定理得:
SF=
=
=20(cm),
答:
捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是20cm.
故选:
C.
三.解答题
19.解:
∵S1=4,S2=9,S3=13,
∴S1+S2=S3.
即AC2+BC2=AB2.
故答案为:
4,9,13,AC,BC,AB.
20.解:
(1)线段AB的长是:
=
;
故答案为:
;
(2)如图所示:
EF即为所求,
AB、CD、EF三条线段的长能成为一个直角三角形三边的长
理由:
∵AB2=(
)2=5,DC2=8,EF2=13,
∴AB2+DC2=EF2,
∴AB、CD、EF三条线段的长能成为一个直角三角形三边的长.
21.解:
如图,连接AC.
∵△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,
∴AC=
=5.
∵CD=12,AD=13,AC=5,
∴AC2+CD2=AD2,
∴△ACD是直角三角形,
∴S阴影=S△ACD﹣S△ABC=
×5×12﹣
×3×4=30﹣6=24.
22.解:
A=(n2﹣1)2+(2n)2=n4﹣2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2,
∵A=B2,B>0,
∴B=n2+1,
当2n=8时,n=4,∴n2+1=42+1=17;
当n2﹣1=35时,n2+1=37.
故答案为:
17;37
23.解:
(1)∵AD=4,CD=3,AD⊥DC
由勾股定理可得:
AC=
=
=5,
又∵AC2+BC2=52+122=132=AB2,
∴△ABC是直角三角形;﹣
(2)△ABC的面积﹣△ACD的面积=
×5×12﹣
×3×4═24(m2)
所以这块地的面积是24平方米.
24.解:
(1)出发3秒钟时,CC1=12米,BB1=9米,
∵AC=40米,AB=30米,
∴AC1=28,AB1=21,
∴B1C1=
=35>25,
∴出发3秒钟时,遥控信号不会产生相互干扰;
(2)设出发t秒钟时,遥控信号将会产生相互干扰,
根据题意得,(40﹣4t)2+(30﹣3t)2=252,
解得:
t=5,t=15(不合题意舍去),
答:
出发5秒钟时,遥控信号将会产生相互干扰.
25.解:
(1)设长方体的高为xcm,则长为3xcm,宽为2xcm,由题意得
3x•2x=30,解得x=
,
则3x=3
,2x=2
.
答:
这个长方体的长、宽、高分别是3
cm、2
cm、
cm.
(2)长方体的表面积为:
(3
×2
+3
×
+2
×
)×2
=(30+15+10)×2
=110(cm2),
长方体的体积为:
3
×2
×
=30
.
答:
长方体的表面积是110cm2,体积是30
cm3;
(3)展开前面上面由勾股定理得AB2=(2
+
)2+(3
)2=90;
所以最短路径的长为AB=
=3
(cm).
故答案为3
.
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