第四讲整式的乘除与因式分解讲义.docx
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第四讲整式的乘除与因式分解讲义
整式的乘除与因式分解
、基础知识
1、单项式的概念:
由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数,字母指数和叫单项式的次数。
如:
2a2bc的系数为2,次数为4,单独的一个非零数的次数是0。
2、多项式:
几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项,次数最高项的次数叫多项式的次数。
如:
a22abx1,项有a2、2ab、x、1,二次项为a2、2ab,一次项为x,常数项为1,各项次数分别为2,2,1,0,系数分别为1,-2,1,1,叫二次四项式。
3、整式:
单项式和多项式统称整式。
注意:
凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
4、同底数幕的乘法法则:
amanamn(m,n都是正整数)同底数幂相乘,底数不变,指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
5、幕的乘方法则:
(am)namn(m,n都是正整数)幂的乘方,底数不变,指数相乘。
幂的乘方法则可以逆用:
即amn(am)n(an)m
6、积的乘方法则:
(ab)nanbn(n是正整数)积的乘方,等于各因数乘方的积。
同底数幂相除,底数不变,指数相减
8零指数和负指数;
a01,即任何不等于零的数的零次方等于1
的p次方的倒数
9、单项式的乘法法则:
单项式与单项式相乘,把他们的系数,相同字母分
别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式。
1积的系数等于各因式系数的积,先确定符号,再计算绝对值。
2相同字母相乘,运用同底数幕的乘法法则。
3只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式
4单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
5单项式乘以单项式,结果仍是一个单项式。
10、单项式乘以多项式,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积
相加,
即m(abc)mambmc(m,a,b,c都是单项式)
1积是一个多项式,其项数与多项式的项数相同。
2运算时要注意积的符号,多项式的每一项都包括它前面的符号。
3在混合运算时,要注意运算顺序,结果有同类项的要合并同类项
11、多项式与多项式相乘的法则;
多项式与多项式相乘,先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所的的积相加。
12、平方差公式:
(ab)(ab)a2b2
公式特征:
左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数。
右边是相同项的平方减去相反项的平方。
13、完全平方公式:
(ab)2a22abb2公式特征:
左边是一个二项式的完全平方,右边有三项,其中有两项是左边二项式中每一项的平方,而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。
、,、-、、八
注意:
2222
a2b2(ab)22ab(ab)22ab
(ab)2(ab)24ab
(ab)2[(ab)]2(ab)2
222
(ab)2[(ab)]2(ab)2
14、单项式的除法法则:
单项式相除,把系数、同底数幂分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
注意:
首先确定结果的系数(即系数相除),然后同底数幂相除,如果只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式
15、多项式除以单项式的法则:
多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项除以这个单项式,在把所的的商相加。
即:
(ambmcm)mammbmmcmmabc
16因式分解:
把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做把这个多项式因式分解。
1、提公因式法.:
如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成几个因式的积的形式、
ma+mb+mc=m(a+b+c)(m可以表示单项式,也可以表示多项式)
2、运用公式法
在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式
分解中常用的公式,例如:
(1)(a+b)(a-b)=孑-b2a2-b2=(a+b)(a-b);
(2)(a±b)2=a2±2ab+b2a2±2ab+b2=(a±b)2;
3、分组分解法
⑴分组后能直接提公因式
amanbmbn=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n)
(2)分组后能直接运用公式
22
xyaxay=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a)
4、十字相乘法.
(一)二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式x2(pq)xpq(xp)(xq)进行分解
特点:
(1)二次项系数是1;
(2)常数项是两个数的乘积;
(3)一次项系数是常数项的两因数的和。
凡是能十字相乘的二次三项式a^+bx+c,都要求b24ac>0而且是
一个完全平方数
(二)二次项系数不为1的二次三项式——ax2bxc
分解结果:
ax2bxc=GxG)(a2XC2)
一、基础知识梳理(课前完成)
(一)整式的乘除
1幕的运算性质
(1)
.mn
•a・a
(m,
n都是正整数)
。
例:
a2,a3
(2)
•abn
n为正整数)。
例:
ab3
(3)
mn
•a
(m,
n都是正整数)
。
例:
a23
(4)
•mn
)•aa
(a0,m,
n都是正整数
3
2
a
a。
(5)
•a(a
0)
(6)•a
n
2.整式的乘法:
(1)
单项式乘以单项式:
6x2.
3xy
。
(2)
单项式乘以多项式:
x2
2yxy2
。
(3)
多项式乘以多项式:
2x
3yx4y
。
3•整式的除法:
(1)
单项式除法:
6x3
2x
。
(2)
多项式除以单项式:
8x2
4xy4x
。
(二)
因式分解
O
,并且m
(a0,
n)。
例:
n是正整数)
1分解因式的概念
(1)•分解因式:
把一个多项式化成几个
(2)•分解因式与整式乘法的关系:
2•分解因式的基本方法:
的形式。
(1).提公因式法:
mamb
me
(2)•运用公式法:
(1)平方差公式:
a2b2
(2)完全平
方公式
22
a2abb
、基础诊断题10
1.
计算a4
3
的结果是(
)
7
12
C.
16
64
A.a
B.a
a
D.
a
2.
计算:
3ab2.5a2b
9x3
3x2
。
3.
计算:
2a.^a31.
2abab
4
4.
计算:
x
1x1
a
32
。
5
•计算:
3x39x26x
3x
。
6.
下列从左到右的变形是因式分解的是(
)
A.
2a3b
2a3b
2
B.x
4x
2
10x26
C.
a3a
3a29
2
D.x
6x
9x32
7.
多项式x2
x6提取公因式
2x
后的另-
「个因式是()
八4
3_4
1
3
1
A.x
B.xC.x
D.x
8.分解因式
:
x216
_;
2
x
6x9
9.单项式8a2b2,12ab3,6a2b2的公因式是.
2
10.分解因式:
x3x3。
三、典型例题
1
例1.先化简,再求值:
2bababab,其中a3,b—。
2
例2.分解因式:
a3a;2x24x2。
例3.
(1)已知ab2,ab1,则a2bab2的值为。
(2)若m2n1,则m24mn4n2
四、达标检测题
(—)基础检测9
1.下列各式计算正确的是
(
)
729
A.aaB.
7
a.a
214
a
C.
2a2
3a3
L5I333
5aD.abab
2.下列运算正确的是(
)
八248
A.a.aa
B.
x2
x
3
2x
6
22
C.x2x4
D.
2a3a5a
3.若39273,
则m的值是
(
)
A.3B.4
C.
5
D.
6
4.分解因式:
x29y2
2x
2x
3.
3a212
2mn
6mn
9m.
2
5•若a2,ab3,则aab
6.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(ab)(如图甲),把余下的部
222
A.(ab)a2abb
B.(ab)2a22abb2
C.a2b2(ab)(ab)
22
D.(a2b)(ab)aab2b
7.先化简,再求值:
x1x1xx3,其中x3.
(二)能力提升11
1.(2014?
威海)将下列多项式分解因式,结果中不含因式X-1的是()
A.x2-1B.x(x—2)+(2—x)C.x2-2x+1D.x2+2x+1
2.((2014?
孝感)若a—b=1,则代数式a2—b2—2b的值为.
3.(2014?
遵义)若a+b=2.ab=2,则a2+b2的值为()
A.f
6
B.
4
C.
3工
D.
2.:
5.
A.a2+4
(2014?
枣庄)如2a的正方形中央剪去一边长为(a+2)的小正方形(a>2),将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形,则该平行四边形的面积为()
B.2a+4a|c.3a2—4a-4|d.4a2-a-2
6.先化简,再求值:
xyxy4xy8xy32xy,其中x
2.下列计算正确的是()B
3|473473、47632
A.a+a=aB.a•a=aC.(a)=aD.a十a=a
2
13.当x=3,y=1时,代数式(x+y)(x—y)+y的值是
.3
14.分解因式:
2
x+2x—3=
.(x+3)(x—1)
13.分解因式:
2
x9=
.
18.
(1)计算:
2
(x1)2(1
x)
6•下列各选项的运算结果正确的是
s2、3小6
A.(2x)8x
B.
22
5ab2ab3
623
“・、22.2
C.xxx
D.
(ab)ab
2
13.分解因式:
x2x1=
5•下列运算正确的是
A.a2•a3=a6
236
B.(a)=a
623
C.a*a=a
D.2—3=—6
17.分解因式:
a2—6a+9=
5•下列各式计算正确的是(D)
A•3x-2x=1B•a2+a2=a4
7.化简5(2x-3)+4(3-2x)结果为(
A.2x-3B.2x+9
16.分解因式:
a2-仁(a+1)(a-1)
5•下列各式计算正确的是
2、24
A.(a)a
22^2
C.3aa2a
C.a5+a5=a
A)
C.8x-3
D.a3?
a2=a5
D.18x-3
B.
a
a
2a
D.
4
2
8
a
ga
a
11.已知x2
2x
80,则3x2
6x18的值为
A.54
B.6
C.-10
D.-18
16.计算:
3(2x
1)6x=
17.分解因式:
a24=
A.a3a2
102
B.aa
2、3
C.(a)
D.(a)5
17.分解因式:
x22x1.
3.下列运算中,结果是a5的是
22.
(1)化简:
(a3)(a3)a(4a).
【例
1】
2n
右a
3,则a6n=
•计算
c3n
x2y
2m
2yx
【例
2】
3
nm
p
mnn
p4
m
【例
3】
计算x
3n
2y2yx
2m
【例
4】
下列运算
.正确的是
()
A
、
8x94x3
2x3B
、4a2b3
4a2b30
C
、a
2mm
a
a2D
、2ab2c
(1ab2)
4c
2
【例
5】
利用平方
'差公式计算:
2009X2007
-20082
【例6】已知a,b,c是ABC的三边,且a2b2c2
abbcca,贝UABC的
形状是
A.直角三角形B等腰三角形C等边三角形D等腰直角三角形
【例7】分解因式:
2ax10ay5bybx
【例8】分解因式:
a22abb2c2
【例9】已知0va<5,且a为整数,若2x23xa能用十字相乘法分解因式,求符合条件的a.
【例10】分解因式:
x25x6
【例11】分解因式:
2xy—8xy+8y
【例12】分解因式x24xy14y2
1、(2012,陕西)计算(5a3)2的结果是()
A.10a5B.10a6C.25a5D.25a6
2、(2012,陕西)分解因式:
x3y-2x2y2+xy3二.
3、(2013,张家界)下列各式能用完全平方公式进行因式分解的是()
Ax2x1bx22x1cx21dx26x9
4、(2013杭州)若a+b=3,a-b=7,则ab=()
A.-10B.-40C.10D.40
2
5、(2013,沈阳)如果x=1时,代数式2ax3bx4的值是5,那么x=-1时,
代数式2ax23bx4的值
23
&(2013,丽水)先化简,再求值:
(a2)2(1a)(1a),其中a-
4
4.(2014?
襄阳)下列计算正确的是()
A.a2+a2=2a4*B.4x—9x+6x=1C.(—2x2y)3=—8x6y3D.a6%3=a2
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- 第四 整式 乘除 因式分解 讲义