学年八年级数学下册尖子生同步培优题典 专题3.docx
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学年八年级数学下册尖子生同步培优题典专题3
2020-2021学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】
专题3.5有关几何变换综合问题(重难点培优)
姓名:
__________________班级:
______________得分:
_________________
注意事项:
本试卷解答20道.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置.
一.解答题(共20小题)
1.(2020秋•浦东新区期末)如图1,图2,图3的网格均由边长为1的小正方形组成,图1是三国时期吴国的数学家赵爽所绘制的“弦图”,它由四个形状、大小完全相同的直角三角形组成,赵爽利用这个“弦图”对勾股定理作出了证明,是中国古代数学的一项重要成就,请根据下列要求解答问题.
(1)图1中的“弦图”的四个直角三角形组成的图形是 对称图形(填“轴”或“中心”).
(2)请将“弦图”中的四个直角三角形通过你所学过的图形变换,在图2,3的方格纸中设计另外两个不同的图案,画图要求:
①每个直角三角形的顶点均在方格纸的格点上,且四个三角形互不重叠,不必涂阴影;
②图2中所设计的图案(不含方格纸)必须是轴对称图形而不是中心对称图形;图3中所设计的图案(不含方格纸)必须既是轴对称图形,又是中心对称图形.
2.(2020•兰溪市模拟)在4×4的方格内选5个小正方形,让它们组成一个轴对称图形,请在下图中画出你的3种方案.(每个4×4的方格内限画一种),要求:
(1)5个小正方形必须相连(有公共边或公共顶点视为相连);
(2)将选中的小正方形方格用黑色签字笔涂成阴影图形.(若两个方案的图形经过翻折、平移、旋转后能够重合,视为一种方案)
3.(2020春•龙泉驿区期末)如图1,∠FBD=90°,EB=EF,CB=CD.
(1)求证:
EF∥CD;
(2)如图2所示,若将△EBF沿射线BF平移,即EG∥BC,∠FBD=90°,EG=EF,CB=CD,请问
(1)中的结论是否仍成立?
请证明.
4.(2020春•惠来县期末)如图,AD∥BC,∠B=∠D=50°,点E、F在BC上,且满足∠CAD=∠CAE,AF平分∠BAE.
(1)∠CAF= °;
(2)若平行移动CD,那么∠ACB与∠AEB度数的比值是否随之发生变化?
若变化,试说明理由;若不变,求出这个比值;
(3)在平行移动CD的过程中,是否存在某种情况,使∠AFB=∠ACD?
若存在,求出∠ACD度数;若不存在,说明理由.
5.(2020秋•江汉区期末)如图,所有的网格都是由边长为1的小正方形构成,每个小正方形的顶点称为格点,顶点都是格点的三角形称为格点三角形,△ABC为格点三角形.
(1)如图,图1,图2,图3都是6×6的正方形网格,点M,点N都是格点,请分别按要求在网格中作图:
①在图1中作△MNP,使它与△ABC全等;
②在图2中作△MDE,使△MDE由△ABC平移而得;
③在图3中作△NFG,使△NFG与△ABC关于某条直线对称;
(2)如图4,是一个4×4的正方形网格,图中与△ABC关于某条直线轴对称的格点三角形有 个.
6.(2020秋•连山区期末)在△ABC与△CDE中,∠ACB=∠CDE=90°,AC=BC=2
,CD=ED=2,连接AE,BE,点F为AE的中点,连接DF,△CDE绕着点C旋转.
(1)如图1,当点D落在AC的延长线上时,DF与BE的数量关系是:
;
(2)如图2,当△CDE旋转到点D落在BC的延长线上时,DF与BE是否仍具有
(1)中的数量关系,如果具有,请给予证明;如果没有,请说明理由;
(3)旋转过程中,若当∠BCD=105°时,直接写出DF2的值.
7.(2020秋•袁州区校级期中)
(1)观察推理:
如图1,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线l过点C,点A,B在直线l同侧,BD⊥l,AE⊥l,垂足分别为D,E.求证:
△AEC≌△CDB;
(2)类比探究:
如图2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,将斜边AB绕点A逆时针旋转90°至AB′,连接B′C,求△AB′C的面积;
(3)拓展提升:
如图3,等边△EBC中,EC=BC=3cm,点O在BC上且OC=2cm,动点P从点E沿射线EC以1cm/s速度运动,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转120°得到线段OF,设点P运动的时间为t秒.当t= 秒时,OF∥ED,请说明理由.
8.(2020秋•越秀区校级期中)已知点C为线段AB上一点,分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE,且CA=CD,CB=CE,∠ACD=∠BCE,直线AE与BD交于点F,
(1)如图1,证明:
△ACE≌△DCB;
(2)①如图1,若∠ACD=60°,则∠AFB= ;
②如图2,若∠ACD=α,则∠AFB= ;(用含α的式子表示)
(3)将图2中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度(交点F至少在BD、AE中的一条线段上),如图3,试探究∠AFB与α的数量关系,并予以证明.
9.(2020秋•东莞市校级期中)如图,点F为正方形ABCD内一点,△BFC绕点B逆时针旋转后与△BEA重合.
(1)求△BEF的形状;
(2)若∠BFC=90°,说明AE∥BF.
10.(2020秋•路南区期中)
(1)如图①,OP是∠MON的平分线,请利用该图画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形,并简要叙述做法.
(2)如图②,在△ABC中,∠B=60°,AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线,AD、CE相交于点F.
①求∠AFC和∠DFC的度数;
②求证:
FE=FD.
11.(2020秋•温岭市期中)问题解决
一节数学课上,老师提出了这样一个问题:
如图①,点P是等边△ABC内的一点,PA=6,PB=8,PC=10.你能求出∠APB的度数和等边△ABC的面积吗?
小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:
如图①将△BPC绕点B逆时针旋转60°,得到△BP′A,连接PP′,可得△BPP′是等边三角形,根据勾股定理逆定理可得△AP′P是直角三角形,从而使问题得到解决.
(1)结合小明的思路完成填空:
PP′= ,∠APP′= ,∠APB= ,S△ABC=
.
(2)类比探究
Ⅰ.如图②,若点P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3,求∠APB的度数和正方形的面积.
Ⅱ.如图③,若点P是正方形ABCD外一点,PA=3,PB=1,PC
,求∠APB的度数和正方形的面积.
12.(2020秋•丰南区期中)如图①是实验室中的一种摆动装置,BC在地面上,支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形,摆动臂AD可绕点A旋转,摆动臂DM可绕点D旋转,AD=13,DM=5.
(1)在旋转过程中.
①当A,D,M三点在同一直线上时,求AM的长;
②当A,D,M三点为同一直角三角形的顶点时,求AM的长;
(2)若摆动臂AD顺时针旋转90°,点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处,连接D1D2.如图②,此时∠AD2C=135°,CD2=20,求BD2的长.
13.(2020秋•武侯区校级期中)如图1,已知线段AB的长为2a,点P是AB上的动点(P不与A,B重合),分别以AP,PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD.
(1)连接AD,BC,相交于点Q,求证:
△APD≌△CPB.
(2)设∠AQC=β,那么β的大小是否会随点P的移动而变化?
请说明理由.
(3)如图2,若点P固定,将△PBD绕点P按顺时针方向旋转(旋转角小于180°),此时β的大小是否发生变化?
并说明理由.
14.(2020秋•涿州市期中)在等边△ABC中,点D在BC边上,点E在AC的延长线上,DE=DA(如图1).
(1)若∠DAC=40°,∠BAD= °,∠EDC= °.
(2)猜想∠BAD与∠EDC的大小关系,并说明理由.
(3)点E关于直线BC的对称点为M,连接DM,AM.
①依题意将图2补全;
②小姚通过观察,实验提出猜想:
在点D运动的过程中,始终有DA=AM,小姚把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
想法1:
要证明DA=AM,只需证△ADM是等边三角形;
想法2:
连接CM,只需证明△ABD≌△ACM即可.
请你参考上面的想法,帮助小姚证明DA=AM(一种方法即可).
15.(2020秋•路南区期中)已知△ABC是边长为4的等边三角形,边AB在射线OM上,且OA=6,点D是射线OM上的动点,当点D不与点A重合时,将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE,连接DE.
(1)如图1,求证:
△CDE是等边三角形.
(2)设OD=t,
①如图2,当6<t<10时,△CDE的周长存在最小值,请求出此最小值;
②如图1,若0<t<6,直接写出以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形时t的值.
16.(2020秋•天宁区校级期中)在△ABC中,AB=AC,在ABC的外部作等边△ABD,E为AB的中点,连接DE并延长交BC于点F.
(1)如图1,若∠BAC=90°,连接CD,求证:
DC平分∠ADF;
(2)如图2,过点A折叠∠CAD,使点C与点D重合,折痕AM交EF于点M,若点M正好在∠ABC的平分线上,连接BM并延长交AC于点N,
①∠BAC的度数为 ;
②在未添加辅助线和其它字母的条件下,找出图2中所有与MN相等的线段,并证明你的结论.
17.(2020秋•台前县期中)已知∠ACD=90°,AC=DC,MN是过点A的直线,过点D作DB⊥MN于B,连接CB.
问题发现:
如图①,过点C作CE⊥CB,与MN交于点E,则容易发现BD与EA之间的数量关系为 ,BD,AB,CB之间的数量关系为 .
拓展探究:
当MN绕点A旋转到如图②的位置时,试猜想线段BD,AB,CB之间的数量关系,并证明;
解决问题:
当MN绕点A旋转到如图③的位置时(点C,D在直线MN的两侧),若此时∠BCD=30°,BD=2,则CB= .
18.(2020秋•青秀区校级期中)如图①△ABC是等边三角形,D,E分别在AB、BC上,且AD=BE,连接AE,CD相交于点F.
(1)求∠AFC的度数;
(2)如图②,△AHC与△ABC关于AC对称,连接FH,证明,FH平分∠AFC;
(3)在
(2)的条件下,猜想AF、FC、FH之间的数量关系,并说明理由.
19.(2020秋•河池期中)如图1,AE是△ABC的高,AE=BE,D是AE上的一点,且DE=CE,连接BD,CD.
(1)求证:
△AEC≌△BED;
(2)试判断BD与AC的位置关系和数量关系,并说明理由;
(3)如图2,若将图1中的△DCE绕点E旋转α度(0°<α<180°)后,BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化?
请说明理由.
20.(2020秋•交城县期中)实践与探究
已知:
△ABC和△DOE都是等腰三角形,∠CAB=∠DOE=90°,点O是BC的中点,发现结论:
(1)如图1,当OE经过点A,OD经过点C时,线段AE和CD的数量关系是 ,位置关系是 .
(2)在图1的基础上,将△DOE绕点O顺时针旋转α(0°<α<90°)得到图2,则问题
(1)中的结论是否成立?
请说明理由.
(3)如图3在
(2)的基础上,当AE=CE时,请求出α的度数.
(4)在
(2)的基础上,△DOE在旋转的过程中,设AC与OE相交于点F,当△OFC为等腰三角形时,请直接写出α的度数.
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