中考真题分类解析全等三角形.docx
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中考真题分类解析全等三角形
中考真题:
全等三角形
1.如图,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=7,DE=2,AB=4,则AC长是( )
A.
3
B.
4
C.
6
D.
5
分析:
过点D作DF⊥AC于F,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF,再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可.
解答:
解:
如图,过点D作DF⊥AC于F,
∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB,
∴DE=DF,
由图可知,S△ABC=S△ABD+S△ACD,
∴×4×2+×AC×2=7,
解得AC=3.
故选A.
2.如图,将正方形OABC放在平面直角坐标系中,O是原点,A的坐标为(1,
),则点C的坐标为( )
A.(﹣
,1)B.(﹣1,
)C.(
,1)D.(﹣
,﹣1)
分析:
过点A作AD⊥x轴于D,过点C作CE⊥x轴于E,根据同角的余角相等求出∠OAD=∠COE,再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等,根据全等三角形对应边相等可得OE=AD,CE=OD,然后根据点C在第二象限写出坐标即可.
解:
如图,过点A作AD⊥x轴于D,过点C作CE⊥x轴于E,
∵四边形OABC是正方形,∴OA=OC,∠AOC=90°,∴∠COE+∠AOD=90°,
又∵∠OAD+∠AOD=90°,∴∠OAD=∠COE,
在△AOD和△OCE中,
,∴△AOD≌△OCE(AAS),
∴OE=AD=
,CE=OD=1,∵点C在第二象限,∴点C的坐标为(﹣
,1).故选A.
3.已知命题:
“如果两个三角形全等,那么这两个三角形的面积相等.”写出它的逆命题:
_________,该逆命题是_____命题(填“真”或“假”).
【答案】如果两个三角形的面积相等,那么这两个三角形全等.假命题.
选1.(2014•湖南怀化,第19题,10分)如图,在平行四边形ABCD中,∠B=∠AFE,EA是∠BEF的角平分线.求证:
(1)△ABE≌△AFE;
(2)∠FAD=∠CDE.
分析:
(1)根据角平分线的性质可得∠1=∠2,再加上条件∠B=∠AFE,公共边AE,可利用AAS证明△ABE≌△AFE;
(2)首先证明AF=CD,再证明∠B=∠AFE,∠AFD=∠C可证明△AFD≌△DCE进而得到∠FAD=∠CDE.
解答:
证明:
(1)∵EA是∠BEF的角平分线,
∴∠1=∠2,
在△ABE和△AFE中,
,
∴△ABE≌△AFE(AAS);
(2)∵△ABE≌△AFE,
∴AB=AF,
∵四边形ABCD平行四边形,
∴AB=CD,AD∥CB,AB∥CD,
∴AF=CD,∠ADF=∠DEC,∠B+∠C=180°,
∵∠B=∠AFE,∠AFE+∠AFD=180°,
∴∠AFD=∠C,
在△AFD和△DCE中,
,
∴△AFD≌△DCE(AAS),
∴∠FAD=∠CDE.
4..如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,AC与BD相交于O点,OC=OA,若E是CD上任意一点,连接BE交AC于点F,连接DF.
(1)证明:
△CBF≌△CDF;
(2)若AC=2
,BD=2,求四边形ABCD的周长;
(3)请你添加一个条件,使得∠EFD=∠BAD,并予以证明.
分析:
(1)首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BCA=∠DCA即可证明△CBF≌△CDF.
(2)由△ABC≌△ADC可知,△ABC与△ADC是轴对称图形,得出OB=OD,∠COB=∠COD=90°,因为OC=OA,所以AC与BD互相垂直平分,即可证得四边形ABCD是菱形,然后根据勾股定理全等AB长,进而求得四边形的面积.
(3)首先证明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF,再根据BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°,进而得到∠EFD=∠BCD=∠BAD.
解答:
(1)证明:
在△ABC和△ADC中,
,
∴△ABC≌△ADC(SSS),
∴∠BCA=∠DCA,
在△CBF和CADF中,
,
∴△CBF≌△CDF(SAS),
(2)解:
∵△ABC≌△ADC,
∴△ABC和△ADC是轴对称图形,
∴OB=OD,BD⊥AC,
∵OA=OC,
∴四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=DA,
∵AC=2
,BD=2,
∴OA=
,OB=1,
∴AB=
=
=2,
∴四边形ABCD的周长=4AB=4×2=8.
(3)当EB⊥CD时,即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足,∠EFD=∠BCD,
理由:
∵四边形ABCD为菱形,
∴BC=CD,∠BCF=∠DCF,∠BCD=∠BAD,
∵△BCF≌△DCF,
∴∠CBF=∠CDF,
∵BE⊥CD,
∴∠BEC=∠DEF=90°,
∴∠BCD+∠CBF=90°,∠EFD+∠CDF=90°,
∴∠EFD=∠BCD.
5.在△ABC中,AB=AC,点E,F分别在AB,AC上,AE=AF,BF与CE相交于点P.求证:
PB=PC,并直接写出图中其他相等的线段.
分析:
可证明△ABF≌△ACE,则BF=CE,再证明△BEP≌△CFP,则PB=PC,从而可得出PE=PF,BE=CF.
解答:
解:
在△ABF和△ACE中,
,
∴△ABF≌△ACE(SAS),
∴∠ABF=∠ACE(全等三角形的对应角相等),
∴BF=CE(全等三角形的对应边相等),
∵AB=AC,AE=AF,
∴BE=BF,
在△BEP和△CFP中,
,
∴△BEP≌△CFP(AAS),
∴PB=PC,
∵BF=CE,
∴PE=PF,
∴图中相等的线段为PE=PF,BE=CF.
6.如图,▱ABCD中,BD⊥AD,∠A=45°,E、F分别是AB,CD上的点,且BE=DF,连接EF交BD于O.
(1)求证:
BO=DO;
(2)若EF⊥AB,延长EF交AD的延长线于G,当FG=1时,求AD的长.
分析:
(1)通过证明△ODF与△OBE全等即可求得.
(2)由△ADB是等腰直角三角形,得出∠A=45°,因为EF⊥AB,得出∠G=45°,所以△ODG与△DFG都是等腰直角三角形,从而求得DG的长和EF=2,然后平行线分线段成比例定理即可求得.
解答:
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC=AB,DC∥AB,
∴∠ODF=∠OBE,
在△ODF与△OBE中
∴△ODF≌△OBE(AAS)
∴BO=DO;
(2)解:
∵BD⊥AD,
∴∠ADB=90°,
∵∠A=45°,
∴∠DBA=∠A=45°,
∵EF⊥AB,
∴∠G=∠A=45°,
∴△ODG是等腰直角三角形,
∵AB∥CD,EF⊥AB,
∴DF⊥OG,
∴OF=FG,△DFG是等腰直角三角形,
∵△ODF≌△OBE(AAS)
∴OE=OF,
∴GF=OF=OE,
即2FG=EF,
∵△DFG是等腰直角三角形,
∴DF=FG=1,
∴DG=
=
,
∵AB∥CD,
∴
=
,
即
=,
∴AD=2
,
7.
(1)问题发现
如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连接BE
填空:
(1)∠AEB的度数为;
(2)线段AD、BE之间的数量关系是。
解:
(1)①60;②AD=BE.
提示:
(1)①可证△CDA≌△CEB,
∴∠CEB=∠CDA=1200,
又∠CED=600,
∴∠AEB=1200-600=600.
②可证△CDA≌△CEB,
∴AD=BE
(2)拓展探究
8,△ACB和△DCE均为等边三角形,∠ACB=∠DCE=900,点A、D、E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连接BE。
请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系,并说明理由。
解:
(2)∠AEB=900;AE=2CM+BE.…………………………4分
(注:
若未给出本判断结果,但后续理由说明完全正确,不扣分)
理由:
∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=900,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCB=∠DCE-∠DCB,即∠ACD=∠BCE
∴△ACD≌△BCE.……………………………………………………6分
∴AD=BE,∠BEC=∠ADC=1350.
∴∠AEB=∠BEC-∠CED=1350-450=900.……………………………7分
在等腰直角三角形DCE中,CM为斜边DE上的高,
∴CM=DM=ME,∴DE=2CM.
∴AE=DE+AD=2CM+BE……………………………………………………8分
9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D、F分别在AB、AC上,CF=CB,连接CD,将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE,连接EF.
(1)求证:
△BCD≌△FCE;
(2)若EF∥CD,求∠BDC的度数.
分析:
(1)由旋转的性质可得:
CD=CE,再根据同角的余角相等可证明∠BCD=∠FCE,再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE;
(2)由
(1)可知:
△BCD≌△FCE,所以∠BDC=∠E,易求∠E=90°,进而可求出∠BDC的度数.
解答:
(1)证明:
∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE,
∴CD=CE,∠DCE=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠FCE,
在△BCD和△FCE中,
,
∴△BCD≌△FCE(SAS).
(2)解:
由
(1)可知△BCD≌△FCE,
∴∠BDC=∠E,
∵EF∥CD,
∴∠E=180°﹣∠DCE=90°,
∴∠BDC=90°.
10.如图,已知:
在△AFD和△CEB中,点A、E、F、C在同一直线上,AE=CF,∠B=∠D,AD∥BC.求证:
AD=BC.
分析:
根据平行线求出∠A=∠C,求出AF=CE,根据AAS证出△ADF≌△CBE即可.
解答:
证明:
∵AD∥BC,
∴∠A=∠C,
∵AE=CF,
∴AE+EF=CF+EF,
即AF=CE,
∵在△ADF和△CBE中
,
∴△ADF≌△CBE(AAS),
∴AD=BC.
11.如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD,等边△ABE.已知∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足为F,连接DF.
(1)试说明AC=EF;
(2)求证:
四边形ADFE是平行四边形.
分析:
(1)首先Rt△ABC中,由∠BAC=30°可以得到AB=2BC,又因为△ABE是等边三角形,EF⊥AB,由此得到AE=2AF,并且AB=2AF,然后即可证明△AFE≌△BCA,再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF;
(2)根据
(1)知道EF=AC,而△ACD是等边三角形,所以EF=AC=AD,并且AD⊥AB,而EF⊥AB,由此得到EF∥AD,再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形.
解答:
证明:
(1)∵Rt△ABC中,∠BAC=30°,
∴AB=2BC,
又∵△ABE是等边三角形,EF⊥AB,
∴AB=2AF
∴AF=BC,
在Rt△AFE和Rt△BCA中,
,
∴△AFE≌△BCA(HL),
∴AC=EF;
(2)∵△ACD是等边三角形,
∴∠DAC=60°,AC=AD,
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°
∴EF∥AD,
∵AC=EF,AC=AD,
∴EF=AD,
∴四边形ADFE是平行四边形.
12.如图,点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点,且BM=CN,AM交BN于点P.
(1)求证:
△ABM≌△BCN;
(2)求∠APN的度数.
分析:
(1)利用正五边形的性质得出AB=BC,∠ABM=∠C,再利用全等三角形的判定得出即可;
(2)利用全等三角形的性质得出∠BAM+∠ABP=∠APN,进而得出∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC即可得出答案.
解答:
(1)证明:
∵正五边形ABCDE,
∴AB=BC,∠ABM=∠C,
∴在△ABM和△BCN中
,
∴△ABM≌△BCN(SAS);
(2)解:
∵△ABM≌△BCN,
∴∠BAM=∠CBN,
∵∠BAM+∠ABP=∠APN,
∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC=
=108°.
即∠APN的度数为108度.
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