湖北省武汉市东山中学学年度八年级上第一次月考数学试题.docx
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湖北省武汉市东山中学学年度八年级上第一次月考数学试题
湖北省武汉市东山中学2020-2021学年度八年级(上)第一次月考数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、单选题
1.下列长度的线段能组成三角形的是()
A.3、4、8B.5、6、11C.5、6、10D.3、5、10
2.如图△ABC中,∠C=∠ABC=2∠A,BD是边AC上的高,则∠DBC的度数是( )
A.36°B.26°C.18°D.16°
3.在下列图形中,不一定是轴对称图形的是()
A.线段B.长方形C.三角形D.角
4.下列各组条件中,能判定△ABC≌△DEF的是( )
A.AB=DE,BC=EF,∠A=∠D
B.∠A=∠D,∠C=∠F,AC=EF
C.AB=DE,BC=EF,△ABC的周长=△DEF的周长
D.∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F
5.已知等腰三角形的一边长等于4,一边长等于9,则它的周长是()
A.17或22B.17或18C.17D.22
6.如图,画∠AOB的角平分线的方法步骤是:
①以O为圆心,适当长度为半径作弧,交OA于M点,交OB于N点.②分别以M,N为圆心,以大于
MN的长为半径作弧,两弧在∠AOB的内部交于C.③过点C作射线OC,射线OC就是∠AOB的角平分线,这样作角平分线的依据是()
A.SSSB.SASC.ASAD.AAS
7.如图,在△ABC中,BC=6cm,AB的垂直平分线交AB于D,交边AC于E,△BCE的周长是14cm,则AC的长等于()
A.6cmB.8cmC.10cmD.12cm
8.如图△ABC的∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE交于P,过P作MN∥AB交AC于M,交BC于N,且AM=8,BN=5,则MN=()
A.2B.3C.4D.5
9.△ABC中,AB=AC,过其中一个顶点的直线可以把这个三角形分成另外两个等腰三角形,则∠BAC()
A.36°,90°,
,108°B.36°,72°,
,90°
C.90°,72°,108°,
D.36°,90°,108°,
10.如图:
Rt△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,D为BC边中点,CF⊥AD交AD于E,交AB于F,BE交AC于G,连DF,下列结论:
①AC=AF,②CD+DF=AD,③∠ADC=∠BDF,④CE=BE,⑤∠BED=45°,其中正确的有()
A.5个B.4个C.3个D.2个
二、填空题
11.如图是两个全等三角形,图中的字母表示三角形的边长,则∠1等于多少度?
_____.
12.一个多边形的内角和是1800°,这个多边形是_____边形.
13.如图,在△ABC中,AD、AE分别是边BC上中线和高,AE=2cm,S△ABD=1.5cm2,则DC的长是______cm.
14.如图,AD⊥BC于D,且DC=AB+BD,若∠BAC=108°,则∠C的度数是______度.
15.△ABC中,AC=BC,∠C=90°,在△ABC外有一点P,且PA⊥PB,则∠APC的度数是_____度.
16.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AC的垂直平分线交BC于F,交AC于E,交BA的延长线于G,若EG=3,则BF的长是______.
17.如图,点P是∠AOB内部一定点
(1)若∠AOB=50°,作点P关于OA的对称点P1,作点P关于OB的对称点P2,连OP1、OP2,则∠P1OP2=___.
(2)若∠AOB=α,点C、D分别在射线OA、OB上移动,当△PCD的周长最小时,则∠CPD=___(用α的代数式表示).
三、解答题
18.如图,D是AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,∠A=∠ACF,则AD与CF有什么关系?
证明你的结论.
19.如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE,求证:
BD=CE.
20.如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC各角的度数.
21.如图,利用关于坐标系轴对称的点的坐标的特点.
(1)画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1;
(2)写出各点坐标:
△A1(),B1(),C1().
(3)直接写出△ABC的面积______.
22.如图,△ABD,△AEC都是等边三角形
(1)求证:
BE=DC.
(2)设BE、DC交于M,连AM,求
的值.
23.在△ABC中,AE、BF是角平分线,交于O点.
(1)如图1,AD是高,∠BAC=90°,∠C=70°,求∠DAC和∠BOA的度数;
(2)如图2,若OE=OF,求∠C的度数;
(3)如图3,若∠C=90°,BC=8,AC=6,S△CEF=4,求S△AOB.
24.在平面直角坐标系中,A(5,0),B(0,5).
(1)如图1,P是AB上一点且
,求P点坐标;
(2)如图2,D为OA上一点,AC∥OB且∠CBO=∠DCB,求∠CBD的度数;
(3)如图3,E为OA上一点,OF⊥BE于F,若∠BEO=45°+∠EOF,求
的值
参考答案
1.C
【解析】
【分析】
解:
A、3+4<8,故不能组成三角形,故A错误;
B、5+6=11,故不能组成三角形,故B错误;
C、5+6>10,故能组成三角形,故C正确;
D、3+5<10,故不能组成三角形,故D错误.
故选C.
点睛:
本题主要考查了三角形三边的关系,判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式,只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.
【详解】
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2.C
【解析】
【分析】
根据三角形的内角和定理与∠C=∠ABC=2∠A,即可求得△ABC三个内角的度数,再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数.
【详解】
∵∠A+∠C+∠ABC=180°,∠C=∠ABC=2∠A,
∴2∠A+2∠A+∠A=180°,
解得,∠A=36°,
则∠C=72°,
∵BD是边AC上的高,
∴∠BDC=90°,
∴∠DBC=90°﹣∠C=18°,
故选:
C.
【点睛】
考查三角形的内角和定理以及高的性质,掌握三角形的内角和等于180°是解题的关键.
3.C
【分析】
根据轴对称图形的意义:
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴;依次进行判断即可.
【详解】
根据轴对称图形的意义可知:
线段、长方形、角都是轴对称图形,而三角形不一定是轴对称图形;
故选:
C.
【点睛】
此题考查了轴对称图形的意义,判断轴对称图形的关键是寻找对称轴,看图形对折后两部分是否完全重合.
4.C
【分析】
根据全等三角形的判定方法,对每个选项逐一判断即可得出答案.
【详解】
A.两条边对应相等,且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等,即当AB=DE,BC=EF时,两条边的夹角应为∠B=∠E,故A选项不能判定△ABC≌△DEF;
B.两个角对应相等,且两个角夹的边也对应相等的两个三角形全等,即当∠A=∠D,∠C=∠F时,两个角夹的边应为AC=DF,故B选项不能判定△ABC≌△DEF;.
C.由AB=DE,BC=EF,△ABC的周长=△DEF的周长,可知AC=DF,即三边对应相等的两个三角形全等,故C选项能判定△ABC≌△DEF;.
D.三角对应相等的两个三角形不一定全等,故D选项不能判定△ABC≌△DEF.
故选C.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定方法.熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.
5.D
【分析】
题目给出等腰三角形有两条边长为4和9,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.
【详解】
分两种情况:
当腰为4时,4+4<9,所以不能构成三角形;
当腰为9时,9+9>4,9-9<4,所以能构成三角形,周长是:
9+9+4=22.
故选:
D.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系;已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况,分类进行讨论,还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答,这点非常重要,也是解题的关键.
6.A
【分析】
先证明三角形全等,再利用全等的性质证明角相等.
【详解】
连接MC、NC.
从画法①可知OM=ON,
从画法②可知CM=CN,
又OC=OC,由SSS可以判断△OMC≌△ONC,
∴∠MOC=∠NOC,
即射线OC就是∠AOB的角平分线.
故选:
A.
【点睛】
本题考查作图-基本作图、全等三角形的判定和性质,解题的关键是灵活应用所学知识解决问题,属于基础题.
7.B
【分析】
由AB的垂直平分线交AB于点D,交边AC于点E,根据线段垂直平分线的性质,可得AE=BE,又由△BCE的周长等于14cm,可得AC+BC=14cm,继而求得答案.
【详解】
∵DE是AB的垂直平分线,
∴AE=DE,
∵△BCE的周长等于14cm,
∴BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=14cm,
∵BC=6cm,
∴AC=8cm.
故选:
B
【点睛】
此题考查了线段垂直平分线的性质.此题难度不大,注意掌握转化思想与数形结合思想的应用.
8.B
【分析】
过P作PF⊥AC,PG⊥BC,PH⊥AB,连接AP,依据条件可得AP平分∠BAC,再根据平行线的性质和角平分线定义得出∠MAP=∠MPA,∠NBP=∠NPB,即可得到AM=PM,NP=NB,再根据MN=MP-NP=AM-BN进行计算即可.
【详解】
如图,过P作PF⊥AC,PG⊥BC,PH⊥AB,连接AP,
∵∠ABC的外角平分线BD与∠ACB的外角平分线CE交于P,
∴PF=PG=PH,
∴点P在∠BAC的平分线上,即AP平分∠BAC,
∴∠MAP=∠BAP,
∵MN∥AB,
∴∠BAP=∠MPA,
∴∠MAP=∠MPA,
∴AM=PM,
同理可得:
∠NBP=∠NPB,
∴NP=NB,
∴MN=MP-NP=AM-BN=8-5=3,
故选B.
【点睛】
本题主要考查了角平分线的判定与性质的运用,解题时注意:
到角的两边距离相等的点在角平分线上.
9.A
【分析】
利用三角形内角和定理求解.由于本题中经过等腰三角形顶点的直线没有明确是经过顶角的顶点还是底角的顶点,因此本题要分情况讨论.
【详解】
①如图1,
当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形,则AB=AC,AD=CD=BD,
设∠B=x°,
则∠BAD=∠B=x°,∠C=∠B=x°,
∴∠CAD=∠C=x°,
∵∠B+∠BAC+∠C=180°,
∴x+x+x+x=180,
解得x=45,
则顶角是90°;
②如图2,
AB=AC=CD,BD=AD,
设∠C=x°,
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=x°,
∵BD=AD,
∴∠BAD=∠B=x°,
∴∠ADC=∠B+∠BAD=2x°,
∵AC=CD,
∴∠CAD=∠ADC=2x°,
∴∠BAC=3x°,
∴x+x+3x=180,x=36°,则顶角是108°.
③如图3,
当过底角的角平分线把它分成了两个等腰三角形,则有AB=AC,BC=BD=AD,
设∠BAC=x°,
∵BD=AD,
∴∠ABD=∠BAC=x°,
∴∠CDB=∠ABD+∠BAC=2x°,
∵BC=BD,
∴∠C=∠CDB=2x°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=2x°,
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°,
∴x+2x+2x=180,
x=36,
则顶角是36°.
④如图4,
当∠BAC=x°,∠ABC=∠ACB=3x°时,也符合,
AD=BD,BC=DC,
∠BAC=∠ABD=x,∠DBC=∠BDC=2x,
则x+3x+3x=180°,
x=(
)°
则∠BAC=90°或108°或36°或(
)°.
故选A.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及其判定.做此题的时候,首先大致画出符合条件的图形,然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系,列方程求解.
10.D
【分析】
如图,作BH⊥BC交CF的延长线于H,作BN⊥AD交AD的延长线于N,BM⊥CH于M.想办法证明△ACD≌△CBH(ASA),△BFD≌△BFH(SAS),△ACE≌△CBE(AAS),△CDE≌△BDN(AAS),利用全等三角形的性质一一判断即可.
【详解】
如图,作BH⊥BC交CF的延长线于H,作BN⊥AD交AD的延长线于N,BM⊥CH于M.
∵AD⊥CF,BH⊥BC,
∴∠ACD=∠CBH=∠AEC=90°,
∵∠CAD+∠ACE=90°,∠ACE+∠BCH=90°,
∴∠CAD=∠BCH,
∵CA=CB,
∴△ACD≌△CBH(ASA),
∴∠ADC=∠H,CD=BH,AD=CH,
∵CD=BD,
∴∠BD=BH,
∵∠FBD=∠FBH=45°,BF=BF,
∴△BFD≌△BFH(SAS),
∴∠H=∠BDF,DF=FH,
∴∠ADC=∠BDF,故③正确,
∵AD=CH,CH=FH+CF=DF+CF,
∵CF>CD,
∴AD≠DF+CD,故②错误,
假设①成立,则∵AE⊥CF,
∴CE=EF,∵CD=DB,
∴DE∥BF,显然与已知矛盾,故①错误,
∵∠CAE=∠BCM,∠AEC=∠CMB,AC=BC,
∴△ACE≌△CBE(AAS),
∴CE=BM,
∵BE>BM,
∴CE≠BE,故④错误,
∵∠CED=∠N=90°,∠CDE=∠BDN,CD=BD,
∴△CDE≌△BDN(AAS),
∴CE=BN,
∵EC=BM,
∴BM=BN,∵BM⊥EH,BN⊥EN,
∴BE平分∠NEH,
∵∠NEH=90°
∴∠BEF=
×90°=45°.故⑤正确.
故选:
D.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、角平分线的判定等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.
11.66°.
【解析】
【分析】
根据图形和全等三角形的性质得出∠1=∠C,∠D=∠A=54°,∠E=∠B=60°,根据三角形内角和定理求出即可.
【详解】
∵△ABC≌△DEF,
∴∠1=∠C,∠D=∠A=54°,∠E=∠B=60°,
∴∠1=180°﹣∠E﹣∠F=66°,
故答案为:
66°.
【点睛】
此题主要考查全等三角形的性质和三角形内角和定理的运用,熟练掌握,即可解题.
12.十二.
【分析】
设这个多边形是n边形,它的内角和可以表示成(n−2)•180°,就得到关于n的方程,求出边数n.
【详解】
设这个多边形是n边形,
根据题意得:
(n-2)×180°=1800°,
解得:
n=12.
∴这个多边形是十二边形.
故答案为:
十二.
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理,求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决.
13.1.5
【分析】
根据三角形面积公式求出BD,然后根据中线定义得到CD的长.
【详解】
∵S△ABD=1.5,
∴
BD•AE=1.5,即
BD×2=1.5,
∴BD=1.5,
∵AD为中线,
∴CD=BD=1.5(cm).
故答案为1.5.
【点睛】
此题主要考查了三角形的面积以及三角形中线以及高线的性质,本题中正确的计算是解题的关键.
14.24
【分析】
在DC上取DE=DB.连接AE,在Rt△ABD和Rt△AED中,BD=ED,AD=AD.证明△ABD≌△AED即可求解.
【详解】
如图,在DC上取DE=DB,连接AE.
在Rt△ABD和Rt△AED中,
∴△ABD≌△AED(SAS).
∴AB=AE,∠B=∠AED.
又∵CD=AB+BD,CD=DE+EC
∴EC=AB
∴EC=AE,
∴∠C=∠CAE
∴∠B=∠AED=2∠C
又∵∠B+∠C=180°-∠BAC=72°
∴∠C=24°,
故答案为:
24.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理,属于基础图,关键是巧妙作出辅助线.
15.45或135
【解析】
【分析】
分两种情况,画出图形,根据等腰直角三角形的性质及圆周角定理解答即可.
【详解】
解:
如图所示:
∵∠ACB=∠APB=90°,
∴ACBP四点共圆,
如图1:
∠APC=∠ABC=45°,
如图2:
∠BPC=∠BAC=45°,
∴∠APC=45°+90°=135°,
故答案为:
45或135.
【点睛】
此题考查了等腰直角三角形的性质,四点共圆及等弧所对的圆周角相等等知识,关键是根据两种情况解答.
16.4
【分析】
根据线段垂直平分线得出AE=EC,∠AEG=∠AEF=90°,求出∠B=∠C=∠G=30°,根据勾股定理和含30°角的直角三角形性质求出AE和EF,即可求出FG,再求出BF=FG即可
【详解】
∵AC的垂直平分线FG,
∴AE=EC,∠AEG=∠AEF=90°,
∵∠BAC=120°,
∴∠G=∠BAC-∠AEG=120°-90°=30°,
∵∠BAC=120°,AB=AC,
∴∠B=∠C=
(180°-∠BAC)=30°,
∴∠B=∠G,
∴BF=FG,
∵在Rt△AEG中,∠G=30°,EG=3,
∴AG=2AE,
即(2AE)2=AE2+32,
∴AE=
(负值舍去)
即CE=
,
同理在Rt△CEF中,∠C=30°,CF=2EF,
(2EF)2=EF2+(
)2,
∴EF=1(负值舍去),
∴BF=GF=EF+CE=1+3=4,
故答案为4.
【点睛】
本题考查了勾股定理,含30°角的直角三角形性质,等腰三角形的性质和判定等知识点,能综合运用定理进行推理是解此题的关键.
17.100°180°-2α
【分析】
(1)根据对称性证明∠P1OP2=2∠AOB,即可解决问题;
(2)如图,作点P关于OA的对称点P1,作点P关于OB的对称点P2,连P1P2交OA于C,交OB于D,连接PC,PD,此时△PCD的周长最小.利用
(1)中结论,根据对称性以及三角形内角和定理即可解决问题;
【详解】
(1)如图,
由对称性可知:
∠AOP=∠AOP1,∠POB=∠BOP2,
∴∠P1OP2=2∠AOB=100°,
故答案为100°.
(2)如图,作点P关于OA的对称点P1,作点P关于OB的对称点P2,连P1P2交OA于C,交OB于D,连接PC,PD,此时△PCD的周长最小.
根据对称性可知:
∠OP1C=∠OPC,∠OP2D=∠OPD,∠P1OP2=2∠AOB=2α.
∴∠CPD=∠OP1C+∠OP2D=180°-2α.
故答案为180°-2α.
【点睛】
本题考查作图-最短问题、三角形的内角和定理等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
18.AD∥CF;AD=CF.证明见解析
【分析】
首先根据已知条件可以证明AD与CF互相平行,接着证明三角形全等,再根据全等三角形的性质证明AD与CF相等.
【详解】
AD∥CF;AD=CF.证明如下:
∵∠A=∠ACF,
∴AD∥CF
∵∠AED与∠CEF是对顶角,
∴∠AED=∠CEF,
在△ADE和△CFE中,
,
∴△ADE≌△CFE(AAS).
∴AD=CF
【点睛】
考查了全等三角形的判定以及性质,注意在应用全等三角形的判定时,要注意三角形间的公共边、公共角以及对顶角.
19.见解析
【分析】
如图,过点
作
于P,根据等腰三角形的三线合一得出BP=PC,DP=PE,进而根据等式的性质,由等量减去等量差相等得出BD=CE.
【详解】
如图,过点
作
于P.
∵
,
∴
;
∵
,
∴
,
∴
,
∴BD=CE.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质,注意:
等腰三角形的底边上的高,底边上的中线,顶角的平分线互相重合.
20.∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.
【解析】
设∠A=x,利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数.
21.
(1)见解析
(2)4,1;1,-1;3,2;(3)2.5
【分析】
(1)依据轴对称的性质得到三角形对应点,顺次连接即可得到△A1B1C1;
(2)依据△A1B1C1各顶点的位置,即可得出各点坐标;
(3)依据割补法即可得到△ABC的面积.
【详解】
(1)如图所示,△A1B1C1即为所求;
(2)如图所示,A1(4,1),B1(1,-1),C1(3,2);
故答案为:
4,1;1,-1;3,2;
(3)S△ABC=3×3-
×1×1-
×2×3-
×2×3=2.5
故答案为:
2.5.
【点睛】
本题考查了根据轴对称变换作图,解答本题的关键是根据网格结构作出点A、B、C关于y轴对称的点,然后顺次连接.
22.
(1)见解析
(2)1
【分析】
(1)利用△ABD、△AEC都是等边三角形,求证△DAC≌△BAE,然后即可得出BE=DC;
(2)在DM上截取DG=MB,连接AG,AM,易证△CAD≌△EAB,可得∠ADC=∠ABE,∠AEB=∠ACD,即可证明△ADG≌△ABM,可得∠DAG=∠BAM,AG=AM,即可判定△MAG为等边三角形,易得∠CAG=∠EAM,即可证明△CAG≌△EAM,可得CG=ME,即可解题.
【详解】
(1)∵△ABD、△AEC都是等边三角形,
∴AD=AB,AE=AC,∠DAB=∠CAE=60°,
∴∠DAC=∠BAC+60°,
∠BAE=∠BAC+60°,
∴∠DAC=∠BAE,
在△DAC和△BAE中,
,
∴△DAC≌△BAE(SAS),
∴BE=DC;
(2)在DM上截取DG=MB,连接AG,AM,
∵△ABD、△AEC等边三角形,
∴∠BAD=∠CAE=60°,AC=AE,AD=AB,
∴∠BAD+∠BAC=∠BAC+∠CAE,即∠BAE=∠CAD,
在△CAD和△EAB中,
∴△CAD≌△EAB(SAS),
∴∠ADC=∠ABE,∠AEB=∠ACD,
在△ADG和△ABM中,
,
∴△ADG≌△ABM(SAS),
∴∠DAG=∠BAM,AG=AM,
∵∠DAG+∠BAG=60°,
∴∠BAG+∠BAM=60°,即∠MAG=60°,
∴△MAG为等边三角形,∠MAG+∠CAM=∠CAM+∠CAE,即∠CAG=∠EAM,
∴MA=MG,
在△CAG和△EAM中,
,
∴△CAG≌△EAM(SAS),
∴CG=ME,
∴MD+ME=DG+MG+MC+MG=MB+MC+
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