届高三理科数学一轮复习学案抛 物 线.docx
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届高三理科数学一轮复习学案抛物线
第九章解析几何
第六节抛物线
本节主要包括2个知识点:
1.抛物线的定义及其应用;
2.抛物线的标准方程及性质.
突破点
(一) 抛物线的定义及其应用
基础联通抓主干知识的“源”与“流”
抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
考点贯通抓高考命题的“形”与“神”
利用抛物线的定义求解距离问题
[例1]
(1)(2017·赣州模拟)若点A的坐标为(3,2),F是抛物线y2=2x的焦点,点M在抛物线上移动时,使|MF|+|MA|取得最小值的M的坐标为( )
A.(0,0)B.
C.(1,)D.(2,2)
(2)已知M是抛物线x2=4y上一点,F为其焦点,点A在圆C:
(x+1)2+(y-5)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值是________.
(3)已知直线l1:
4x-3y+6=0和直线l2:
x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________.
[解析]
(1)过M点作准线的垂线,垂足是N(图略),则|MF|+|MA|=|MN|+|MA|,当A,M,N三点共线时,|MF|+|MA|取得最小值,此时M(2,2).
(2)依题意,由点M向抛物线x2=4y的准线l:
y=-1引垂线,垂足为M1(图略),则有|MA|+|MF|=|MA|+|MM1|,结合图形可知|MA|+|MM1|的最小值等于圆心C(-1,5)到y=-1的距离再减去圆C的半径,即等于6-1=5,因此|MA|+|MF|的最小值是5.
(3)由题可知l2:
x=-1是抛物线y2=4x的准线,设抛物线的焦点为F(1,0),则动点P到l2的距离等于|PF|,则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值,即焦点F到直线l1:
4x-3y+6=0的距离,所以最小值是=2.
[答案]
(1)D
(2)5 (3)2
焦点弦问题
焦点弦的常用结论:
以抛物线y2=2px(p>0)为例,设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦),F是抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2),A,B在准线上的射影为A1,B1,则有以下结论:
(1)x1x2=,y1y2=-p2;
(2)若直线AB的倾斜角为θ,则|AF|=,|BF|=;
(3)|AB|=x1+x2+p=(其中θ为直线AB的倾斜角),抛物线的通径长为2p,通径是最短的焦点弦;
(4)S△AOB=(其中θ为直线AB的倾斜角);
(5)+=为定值;
(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切;
(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切;
(8)以A1B1为直径的圆与直线AB相切,切点为F,∠A1FB1=90°;
(9)A,O,B1三点共线,B,O,A1三点也共线.
[例2] 已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1 (1)求该抛物线的方程; (2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若 = +λ ,求λ的值. [解] (1)由题意得直线AB的方程为y=2·,与y2=2px联立,消去y有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=. 由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=+p=9,所以p=4,从而该抛物线的方程为y2=8x. (2)由 (1)得4x2-5px+p2=0,即x2-5x+4=0,则x1=1,x2=4,于是y1=-2,y2=4,从而A(1,-2),B(4,4).设C(x3,y3),则 =(x3,y3)= +λ =(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2). 又y=8x3,所以[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),整理得(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2. [方法技巧] 焦点弦问题的求解策略 解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用,解题时,设出直线与抛物线两交点的坐标,根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长,再利用已知条件求解. 能力练通抓应用体验的“得”与“失” 1.(2016·广州一模)如果P1,P2,…,Pn是抛物线C: y2=4x上的点,它们的横坐标依次为x1,x2,…,xn,F是抛物线C的焦点,若x1+x2+…+xn=10,则|P1F|+|P2F|+…+|PnF|=( ) A.n+10B.n+20 C.2n+10D.2n+20 解析: 选A 由题意得,抛物线C: y2=4x的焦点为(1,0),准线为x=-1,由抛物线的定义,可知|P1F|=x1+1,|P2F|=x2+1,…,|PnF|=xn+1,故|P1F|+|P2F|+…+|PnF|=x1+x2+…+xn+n=n+10,选A. 2. 已知抛物线y2=4x,圆F: (x-1)2+y2=1,过点F作直线l,自上而下顺次与上述两曲线交于点A,B,C,D(如图所示),则下列关于|AB|·|CD|的值的说法中,正确的是( ) A.等于1 B.等于4 C.最小值是1 D.最大值是4 解析: 选A 设直线l: x=ty+1,代入抛物线方程,得y2-4ty-4=0.设A(x1,y1),D(x2,y2),根据抛物线的定义知,|AF|=x1+1,|DF|=x2+1,故|AB|=x1,|CD|=x2,所以|AB|·|CD|=x1x2=·=.而y1y2=-4,故|AB|·|CD|=1. 3.已知抛物线y2=2x的弦AB的中点的横坐标为,则|AB|的最大值为( ) A.1B.2C.3D.4 解析: 选D 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3,利用抛物线的定义可知,|AF|+|BF|=x1+x2+1=4,由图可知|AF|+|BF|≥|AB|,即|AB|≤4,当且仅当直线AB过焦点F时,|AB|取得最大值4. 4.若抛物线y2=4x的焦点为F,过F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,动点P在曲线y2=-4x(y≥0)上,则△PAB的面积的最小值为________. 解析: 由题意得F(1,0),直线AB的方程为y=x-1.由得x2-6x+1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=6,∴|AB|=x1+x2+p=8.设P(y0≥0),则点P到直线AB的距离d=,∴△PAB的面积S=|AB|·d==≥2,即△PAB的面积的最小值是2. 答案: 2 5.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴.证明: 直线AC经过原点O. 证明: 设直线AB的方程为x=my+,代入y2=2px,得y2-2pmy-p2=0. 由根与系数的关系,得yAyB=-p2,即yB=-. ∵BC∥x轴,且C在准线x=-上, ∴C. 则kOC====kOA. ∴直线AC经过原点O. 突破点 (二) 抛物线的标准方程及性质 基础联通抓主干知识的“源”与“流” 图形 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) p的几何意义: 焦点F到准线l的距离 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R 焦点坐标 准线方程 x=- x= y=- y= 离心率 e=1 焦半径 |PF|=x0+ |PF|=-x0+ |PF|=y0+ |PF|=-y0+ 考点贯通抓高考命题的“形”与“神” 求抛物线的标准方程 1.定义法 根据抛物线的定义,确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离),再结合焦点位置,求出抛物线方程.标准方程有四种形式,要注意选择. 2.待定系数法 (1)根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于p的方程,解出p,从而写出抛物线的标准方程. (2)当焦点位置不确定时,有两种方法解决.一种是分情况讨论,注意要对四种形式的标准方程进行讨论,对于焦点在x轴上的抛物线,为避免开口方向不确定可分为y2=2px(p>0)和y2=-2px(p>0)两种情况求解.另一种是设成y2=mx(m≠0),若m>0,开口向右;若m<0,开口向左;若m有两个解,则抛物线的标准方程有两个.同理,焦点在y轴上的抛物线可以设成x2=my(m≠0).如果不确定焦点所在的坐标轴,应考虑上述两种情况设方程. [例1] 若抛物线的顶点在原点,焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点,求抛物线的标准方程. [解] 对于直线方程3x-4y-12=0, 令x=0,得y=-3,令y=0,得x=4, 所以抛物线的焦点坐标可能为(0,-3)或(4,0). 当焦点坐标为(0,-3)时,设方程为x2=-2py(p>0), 则=3, 所以p=6,此时抛物线的标准方程为x2=-12y; 当焦点坐标为(4,0)时, 设方程为y2=2px(p>0),则=4, 所以p=8,此时抛物线的标准方程为y2=16x. 所以所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x. 抛物线的几何性质 [例2] (1)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线焦点坐标为( ) A. B.(1,0) C.D.(0,1) (2)若抛物线y2=x的准线经过椭圆+=1的左焦点,则实数m的值为________. [解析] (1)抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-且过点(-1,1),故-=-1,解得p=2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0). (2)抛物线y2=x的准线方程为x=-,椭圆+=1的左焦点坐标为(-2,0),由题意知-=-2,所以实数m=. [答案] (1)B (2) [方法技巧] 涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合思想解题的直观性. 抛物线方程的实际应用 抛物线的几何特性在实际中应用广泛,解决此类问题的关键是根据题意(一般是根据题中所给图形)建立适当的直角坐标系,设出抛物线的标准方程,依据题意得到抛物线上一点的坐标,从而求出抛物线方程,进而解决实际问题. [例3] 一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成,尺寸(单位: m)如图,一辆卡车空车时能通过此隧道,现载一集装箱,箱宽3m,车与箱共高4.5m,此车能否通过隧道? 说明理由. [解] 建立如图所示的直角坐标系,设矩形的边与抛物线的接点为A,B,则A(-3,-3),B(3,-3). 设抛物线方程为x2=-2py(p>0), 将B点坐标代入得9=-2p·(-3), 所以p=. 所以抛物线方程为x2=-3y(-3≤y≤0). 因为车与箱共高4.5m, 所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5m. 设抛物线上点D的坐标为(x0,-0.5), 则x=,所以|x0|==, 所以2|x0|=<3, 故此车不能通过隧道. 能力练通抓应用体验的“得”与“失” 1.抛物线y=2x2的焦点坐标是( ) A.B. C.D. 解析: 选C 抛物线的标准方程为x2=y,所以焦点坐标是. 2.抛物线y=ax2的准线方程是y=1,则a的值为( ) A.B.-C.4D.-4 解析: 选B 由题意知抛物线的标准方程为x2=y,所以准线方程y=-=1,解得a=-. 3.设抛物线的顶点在原点,准线方程为x=-2,则抛物线的方程是( ) A.y2=-8xB.y2=8x C.y2=-4xD.y2=4x 解析: 选B 因为抛物线的准线方程为x=-2,所以=2,所以p=4,所以抛物线的方程是y2=8x. 4.以x轴为对称轴,原点为顶点的抛物线上的一点P(1,m)到焦点的距离为4,则抛物线的方程是( ) A.y=4x2B.y=12x2 C.y2=6xD.y2=12x 解析: 选D 设抛物线的方程为y2=2px,则由抛物线的定义知1+=4,即p=6,所以抛物线方程为y2=12x. 5.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=________. 解析: 在等边三角形ABF中,AB边上的高为p,=p,所以B.又因为点B在双曲线上,故-=1,解得p=6(负值舍去). 答案: 6 6.如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.水位下降1米后,水面宽________米. 解析: 建立坐标系如图所示.则可设抛物线方程为x2=-2py(p>0).∵点(2,-2)在抛物线上,∴p=1,即抛物线方程为x2=-2y.当y=-3时,x=±.∴水位下降1米后,水面宽为2米. 答案: 2 [全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2016·全国甲卷)设F为抛物线C: y2=4x的焦点,曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,则k=( ) A.B.1C.D.2 解析: 选D ∵y2=4x,∴F(1,0).又∵曲线y=(k>0)与C交于点P,PF⊥x轴,∴P(1,2).将点P(1,2)的坐标代入y=(k>0),得k=2.故选D. 2.(2016·全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4,|DE|=2,则C的焦点到准线的距离为( ) A.2B.4C.6D.8 解析: 选B 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),圆的方程为x2+y2=r2.∵|AB|=4,|DE|=2,抛物线的准线方程为x=-,∴不妨设A,D.∵点A,D在圆x2+y2=r2上,∴∴+8=+5,∴p=4(负值舍去).∴C的焦点到准线的距离为4. 3.(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C: y2=8x的焦点重合, A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=( ) A.3B.6C.9D.12 解析: 选B ∵抛物线y2=8x的焦点为(2,0),∴椭圆中c=2,又=,∴a=4,b2=a2-c2=12,从而椭圆的方程为+=1.∵抛物线y2=8x的准线为x=-2,∴xA=xB=-2,将xA=-2代入椭圆方程可得|yA|=3,由图象的对称性可知|AB|=2|yA|=6.故选B. 4.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线C: y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若 =4 ,则|QF|=( ) A.B.C.3D.2 解析: 选C 如图所示,过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′,设l与x轴交点为M,因为 =4 ,所以|QQ′|∶|MF|=|PQ|∶|PF|=3∶4,又焦点F到准线l的距离|MF|=4,所以|QF|=|QQ′|=3.故选C. 5.(2014·新课标全国卷Ⅱ)设F为抛物线C: y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为( ) A.B.C.D. 解析: 选D 易知抛物线中p=,焦点F,直线AB的斜率k=,故直线AB的方程为y=,代入抛物线方程y2=3x,整理得x2-x+=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=.由抛物线的定义可得弦长|AB|=x1+x2+p=+=12,结合图象可得O到直线AB的距离d=·sin30°=,所以△OAB的面积S=|AB|·d=. [课时达标检测]重点保分课时——一练小题夯双基,二练题点过高考 [练基础小题——强化运算能力] 1.若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹为( ) A.圆B.椭圆 C.双曲线D.抛物线 解析: 选D 依题意,点P到直线x=-2的距离等于它到点(2,0)的距离,故点P的轨迹是抛物线. 2.设抛物线y2=-12x上一点P到y轴的距离是1,则点P到该抛物线焦点的距离是( ) A.3B.4C.7D.13 解析: 选B 依题意,点P到该抛物线的焦点的距离等于点P到其准线x=3的距离,即等于3+1=4. 3.若抛物线y2=2x上一点M到它的焦点F的距离为,O为坐标原点,则△MFO的面积为( ) A.B.C.D. 解析: 选B 由题意知,抛物线的准线方程为x=-.设M(a,b),由抛物线的定义可知,点M到准线的距离为,所以a=1,代入抛物线方程y2=2x,解得b=±,所以S△MFO=××=. 4.设F为抛物线y2=2x的焦点,A,B,C为抛物线上三点,若F为△ABC的重心,则| |+| |+| |的值为( ) A.1B.2C.3D.4 解析: 选C 依题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又焦点F,所以x1+x2+x3=3×=,则| |+| |+| |=++x3+=(x1+x2+x3)+=+=3. 5.直线l过抛物线x2=2py(p>0)的焦点,且与抛物线交于A,B两点,若线段AB的长是6,AB的中点到x轴的距离是1,则此抛物线方程是________. 解析: 设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=y1+y2+p=2+p=6,∴p=4.即抛物线方程为x2=8y. 答案: x2=8y [练常考题点——检验高考能力] 一、选择题 1.抛物线y2=2px(p>0)的准线截圆x2+y2-2y-1=0所得弦长为2,则p=( ) A.1B.2C.4D.6 解析: 选B 抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-,而圆化成标准方程为x2+(y-1)2=2,圆心M(0,1),半径r=,圆心到准线的距离为,所以2+2=()2,解得p=2. 2.已知抛物线C: y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,则x0=( ) A.1B.2C.4D.8 解析: 选A 由题意知抛物线的准线为x=-.因为|AF|=x0,根据抛物线的定义可得x0+=|AF|=x0,解得x0=1,故选A. 3.已知抛物线y2=8x的焦点为F,直线y=k(x-2)与此抛物线相交于P,Q两点,则+=( ) A.B.1C.2D.4 解析: 选A 设P(x1,y1),Q(x2,y2),由题意可知直线y=k(x-2)过抛物线焦点(2,0),所以|PF|=x1+2,|QF|=x2+2,则+=+=.联立直线与抛物线方程消去y,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,可知x1x2=4,故+===. 4.设抛物线C: y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的方程为( ) A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x 解析: 选C 由已知得抛物线的焦点F,设点A(0,2),抛物线上点M(x0,y0),则 =, =.由已知得, · =0,即y-8y0+16=0,因而y0=4,M.由|MF|=5得,+=5,又p>0,解得p=2或p=8,所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x. 5.(2017·长春模拟)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为120°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A,B两点,则的值等于( ) A.B.C.D. 解析: 选A 记抛物线y2=2px的准线为l′,如图,作AA1⊥l′,BB1⊥l′,AC⊥BB1,垂足分别是A1,B1,C,则有cos∠ABB1===,即cos60°==,由此得=. 6.已知抛物线y2=2px(p>0)与圆(x-a)2+y2=r2(a>0)有且只有一个公共点,则( ) A.r=a=pB.r=a≤p
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