圆的基本性质证明与计算圆的基本性质是什么.docx
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圆的基本性质证明与计算圆的基本性质是什么
【圆的基本性质证明与计算】圆的基本性质是什么
圆的基本性质证明与计算命题点1 垂径定理例1、如图,CD是⊙O的直径,AB是弦(不是直径),AB⊥CD于点E,则下列结论正确的是()A.AE>BEB.=C.∠D=∠AECD.△ADE∽△CBE命题点2 圆周角定理例2、如图,点O为优弧所在圆的圆心,∠AOC=108°,点D在AB的延长线上,BD=BC,则∠D______.重难点1 垂径定理及其应用例3、已知AB是半径为5的⊙O的直径,E是AB上一点,且BE=2.
(1)如图1,过点E作直线CD⊥AB,交⊙O于C,D两点,则CD=_______;图1 图2 图3 图4探究:
如图2,连接AD,过点O作OF⊥AD于点F,则OF=_____;
(2)过点E作直线CD交⊙O于C,D两点.①若∠AED=30°,如图3,则CD=__________;②若∠AED=45°,如图4,则CD=___________.【思路点拨】 由于CD是⊙O的弦,因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距),再利用垂径定理,结合勾股定理,求出弦的一半,再求弦.【变式训练1】如图,点A,B,C,D都在半径为2的⊙O上.若OA⊥BC,∠CDA=30°,则弦BC的长为()A.4B.2C.D.2【变式训练2】 【分类讨论思想】已知⊙O的半径为10cm,AB,CD是⊙O的两条弦,AB∥CD,AB=16cm,CD=12cm,则弦AB和CD之间的距离是__________________1.垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线,三个结论是平分弦,平分弦所对的优弧与劣弧.2.圆中有关弦的证明与计算,通过作弦心距,利用垂径定理,可把与圆相关的三个量,即圆的半径,圆中一条弦的一半,弦心距构成一个直角三角形,从而利用勾股定理,实现求解.3.事实上,过点E任作一条弦,只要确定弦与AB的交角,就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦长.重难点2 圆周角定理及其推论例3、已知⊙O是△ABC的外接圆,且半径为4.
(1)如图1,若∠A=30°,求BC的长;
(2)如图2,若∠A=45°:
①求BC的长;②若点C是的中点,求AB的长;(3)如图3,若∠A=135°,求BC的长.图1图2 图3【变式训练3】 如图,BC是⊙O的直径,A是⊙O上的一点,∠OAC=32°,则∠B的度数是()A.58°B.60°C.64°D.68°【变式训练4】 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上,使点C在半圆上.点A,B的读数分别为88°,30°,则∠ACB的大小为()A.15°B.28°C.29°D.34° 1.在圆中由已知角求未知角,同(等)弧所对的圆心角和圆周角的关系是一个重要途径,其关键是找到同一条弧.2.弦的求解可以通过连接圆心与弦的两个端点,构建等腰三角形来解决.3.一条弦所对的两种圆周角互补,即圆内接四边形的对角互补.在半径已知的圆内接三角形中,若已知三角形一内角,可以求得此角所对的边.注意同弧所对的圆心角是圆周角的2倍,避免把数量关系弄颠倒.重难点3 圆内接四边形例4、如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形.延长AB与DC相交于点G,AO⊥CD,垂足为E,连接BD,∠GBC=50°,则∠DBC的度数为()A.50°B.60°C.80°D.90°【思路点拨】 延长AE交⊙O于点M,由垂径定理可得=2,所以∠CBD=2∠EAD.由圆内接四边形的对角互补,可推得∠ADE=∠GBC,而∠ADE与∠EAD互余,由此得解.【变式训练5】如图所示,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,∠BCD=120°,则∠BOD的大小是()A.80°B.120°C.100°D.90°【变式训练6】 如图,四边形ABCD内接于⊙O,E为BC延长线上一点.若∠A=n°,则∠DCE=____________1.找圆内角(圆周角,圆心角)和圆外角(顶角在圆外,两边也在圆外或顶点在圆上,一边在圆内,另一边在圆外)的数量关系时,常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质.2.在同圆或等圆中,如果一条弧等于另一条弧的两倍,则较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两倍.K能力提升1.如图,在⊙O中,如果=2,那么()A.AB=ACB.AB=2ACC.AB<2ACD.AB>2AC2.如图,在半径为4的⊙O中,弦AB∥OC,∠BOC=30°,则AB的长为()A.2B.2C.4D.4 3.如图,在平面直角坐标系中,⊙O′经过原点O,并且分别与x轴、y轴交于点B,C,分别作O′E⊥OC于点E,O′D⊥OB于点D.若OB=8,OC=6,则⊙O′的半径为()A.7B.6C.5D.44.如图,在⊙O中,弦BC与半径OA相交于点D,连接AB,OC.若∠A=60°,∠ADC=85°,则∠C的度数是()A.25°B.27.5°C.30°D.35°5.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AB=AC,∠BCA=65°,作CD∥AB,并与⊙O相交于点D,连接BD,则∠DBC的大小为()A.15°B.35°C.25°D.45°6.如图,分别延长圆内接四边形ABDE的两组对边,延长线相交于点F,C.若∠F=27°,∠A=53°,则∠C的度数为()A.30°B.43°C.47°D.53°7.如图,小华为了求出一个圆盘的半径,他用所学的知识,将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切,另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位:
cm),请你帮小华算出圆盘的半径是________cm.8.如图,∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,∠ABC的平分线交AD于点E.
(1)求证:
DE=DB;
(2)若∠BAC=90°,BD=4,求△ABC外接圆的半径.9.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=5,BC=10,连接AC,BD,以BD为直径的圆交AC于点E.若DE=3,则AD的长为()A.5B.4C.3D.2提示:
过点D作DF⊥AC于点F,利用△ADF∽△CAB,△DEF∽△DBA可求解.10.如图,AB是半圆的直径,AC是一条弦,D是的中点,DE⊥AB于点E,且DE交AC于点F,DB交AC于点G.若=,则=_____________.11.如图1是小明制作的一副弓箭,点A,D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点,弓弦BC=60cm.沿AD方向拉动弓弦的过程中,假设弓臂BAC始终保持圆弧形,弓弦不伸长.如图2,当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时,有AD1=30cm,∠B1D1C1=120°.
(1)图2中,弓臂两端B1,C1的距离为30cm;
(2)如图3,将弓箭继续拉到点D2,使弓臂B2AC2为半圆,则D1D2的长为(10-10)cm.12.如图所示,AB为⊙O的直径,CD为弦,且CD⊥AB,垂足为H.
(1)如果⊙O的半径为4,CD=4,求∠BAC的度数;
(2)若点E为的中点,连接OE,CE.求证:
CE平分∠OCD;(3)在
(1)的条件下,圆周上到直线AC的距离为3的点有多少个?
并说明理由.参考答案命题点1 垂径定理例1、如图,CD是⊙O的直径,AB是弦(不是直径),AB⊥CD于点E,则下列结论正确的是()A.AE>BEB.=C.∠D=∠AECD.△ADE∽△CBE【答案】:
D命题点2 圆周角定理例2、如图,点O为优弧所在圆的圆心,∠AOC=108°,点D在AB的延长线上,BD=BC,则∠D______.【答案】:
27°重难点1 垂径定理及其应用例3、已知AB是半径为5的⊙O的直径,E是AB上一点,且BE=2.
(1)如图1,过点E作直线CD⊥AB,交⊙O于C,D两点,则CD=_______;图1 图2 图3 图4探究:
如图2,连接AD,过点O作OF⊥AD于点F,则OF=_____;
(2)过点E作直线CD交⊙O于C,D两点.①若∠AED=30°,如图3,则CD=__________;②若∠AED=45°,如图4,则CD=___________.【答案】:
(1)8,
(2)【思路点拨】 由于CD是⊙O的弦,因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距),再利用垂径定理,结合勾股定理,求出弦的一半,再求弦.【变式训练1】如图,点A,B,C,D都在半径为2的⊙O上.若OA⊥BC,∠CDA=30°,则弦BC的长为()A.4B.2C.D.2【答案】:
D【变式训练2】 【分类讨论思想】已知⊙O的半径为10cm,AB,CD是⊙O的两条弦,AB∥CD,AB=16cm,CD=12cm,则弦AB和CD之间的距离是__________________【答案】:
2cm或14cm1.垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线,三个结论是平分弦,平分弦所对的优弧与劣弧.2.圆中有关弦的证明与计算,通过作弦心距,利用垂径定理,可把与圆相关的三个量,即圆的半径,圆中一条弦的一半,弦心距构成一个直角三角形,从而利用勾股定理,实现求解.3.事实上,过点E任作一条弦,只要确定弦与AB的交角,就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦长.重难点2 圆周角定理及其推论例3、已知⊙O是△ABC的外接圆,且半径为4.
(1)如图1,若∠A=30°,求BC的长;
(2)如图2,若∠A=45°:
①求BC的长;②若点C是的中点,求AB的长;(3)如图3,若∠A=135°,求BC的长.图1图2 图3【答案】
(1)4
(2)4.,8(3)4.【点拨】 连接OB,OC,利用同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍,构建可解的等腰三角形求解.【解析】 解:
(1)连接OB,OC.∵∠BOC=2∠A=60°,OB=OC,∴△OBC是等边三角形.∴BC=OB=4.
(2)①连接OB,OC.∵∠BOC=2∠A=90°,OB=OC,∴△OBC是等腰直角三角形.∵OB=OC=4,∴BC=4.②∵点C是的中点,∴∠ABC=∠A=45°.∴∠ACB=90°.∴AB是⊙O的直径.∴AB=8.(3)在优弧上任取一点D,连接BD,CD,连接BO,CO.∵∠A=135°,∴∠D=45°.∴∠BOC=2∠D=90°.∵OB=OC=4,∴BC=4.【变式训练3】 如图,BC是⊙O的直径,A是⊙O上的一点,∠OAC=32°,则∠B的度数是()A.58°B.60°C.64°D.68°【答案】:
A【变式训练4】 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上,使点C在半圆上.点A,B的读数分别为88°,30°,则∠ACB的大小为()A.15°B.28°C.29°D.34° 【答案】C1.在圆中由已知角求未知角,同(等)弧所对的圆心角和圆周角的关系是一个重要途径,其关键是找到同一条弧.2.弦的求解可以通过连接圆心与弦的两个端点,构建等腰三角形来解决.3.一条弦所对的两种圆周角互补,即圆内接四边形的对角互补.在半径已知的圆内接三角形中,若已知三角形一内角,可以求得此角所对的边.注意同弧所对的圆心角是圆周角的2倍,避免把数量关系弄颠倒.重难点3 圆内接四边形例4、如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形.延长AB与DC相交于点G,AO⊥CD,垂足为E,连接BD,∠GBC=50°,则∠DBC的度数为()A.50°B.60°C.80°D.90°【答案】C【思路点拨】 延长AE交⊙O于点M,由垂径定理可得=2,所以∠CBD=2∠EAD.由圆内接四边形的对角互补,可推得∠ADE=∠GBC,而∠ADE与∠EAD互余,由此得解.【变式训练5】如图所示,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,∠BCD=120°,则∠BOD的大小是()A.80°B.120°C.100°D.90°【答案】B【变式训练6】 如图,四边形ABCD内接于⊙O,E为BC延长线上一点.若∠A=n°,则∠DCE=____________【答案】n°1.找圆内角(圆周角,圆心角)和圆外角(顶角在圆外,两边也在圆外或顶点在圆上,一边在圆内,另一边在圆外)的数量关系时,常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质.2.在同圆或等圆中,如果一条弧等于另一条弧的两倍,则较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两倍.K能力提升1.如图,在⊙O中,如果=2,那么()A.AB=ACB.AB=2ACC.AB<2ACD.AB>2AC【答案】C2.如图,在半径为4的⊙O中,弦AB∥OC,∠BOC=30°,则AB的长为()A.2B.2C.4D.4【答案】D 3.如图,在平面直角坐标系中,⊙O′经过原点O,并且分别与x轴、y轴交于点B,C,分别作O′E⊥OC于点E,O′D⊥OB于点D.若OB=8,OC=6,则⊙O′的半径为()A.7B.6C.5D.4【答案】C4.如图,在⊙O中,弦BC与半径OA相交于点D,连接AB,OC.若∠A=60°,∠ADC=85°,则∠C的度数是()A.25°B.27.5°C.30°D.35°【答案】D5.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,AB=AC,∠BCA=65°,作CD∥AB,并与⊙O相交于点D,连接BD,则∠DBC的大小为()A.15°B.35°C.25°D.45°【答案】A6.如图,分别延长圆内接四边形ABDE的两组对边,延长线相交于点F,C.若∠F=27°,∠A=53°,则∠C的度数为()A.30°B.43°C.47°D.53°【答案】C8.如图,小华为了求出一个圆盘的半径,他用所学的知识,将一宽度为2cm的刻度尺的一边与圆盘相切,另一边与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位:
cm),请你帮小华算出圆盘的半径是________cm.【答案】10cm8.如图,∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,∠ABC的平分线交AD于点E.
(1)求证:
DE=DB;
(2)若∠BAC=90°,BD=4,求△ABC外接圆的半径.【答案】:
(1)证明:
∵AD平分∠BAC,BE平分∠ABC,∴∠BAE=∠CAD,∠ABE=∠CBE.∴=.∴∠DBC=∠BAE.∵∠DBE=∠CBE+∠DBC,∠DEB=∠ABE+∠BAE,∴∠DBE=∠DEB.∴DE=DB.
(2)连接CD.∵=,∴CD=BD=4.∵∠BAC=90°,∴BC是直径.∴∠BDC=90°.∴BC==4.∴△ABC外接圆的半径为2.9.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=5,BC=10,连接AC,BD,以BD为直径的圆交AC于点E.若DE=3,则AD的长为()A.5B.4C.3D.2提示:
过点D作DF⊥AC于点F,利用△ADF∽△CAB,△DEF∽△DBA可求解.【答案】D10.如图,AB是半圆的直径,AC是一条弦,D是的中点,DE⊥AB于点E,且DE交AC于点F,DB交AC于点G.若=,则=_____________.【答案】11.如图1是小明制作的一副弓箭,点A,D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点,弓弦BC=60cm.沿AD方向拉动弓弦的过程中,假设弓臂BAC始终保持圆弧形,弓弦不伸长.如图2,当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时,有AD1=30cm,∠B1D1C1=120°.
(1)图2中,弓臂两端B1,C1的距离为30cm;
(2)如图3,将弓箭继续拉到点D2,使弓臂B2AC2为半圆,则D1D2的长为(10-10)cm.【答案】,12.如图所示,AB为⊙O的直径,CD为弦,且CD⊥AB,垂足为H.
(1)如果⊙O的半径为4,CD=4,求∠BAC的度数;
(2)若点E为的中点,连接OE,CE.求证:
CE平分∠OCD;(3)在
(1)的条件下,圆周上到直线AC的距离为3的点有多少个?
并说明理由.【答案】:
(1)∵AB为⊙O的直径,CD⊥AB,∴CH=CD=2.在Rt△COH中,sin∠COH==,∴∠COH=60°.∴∠BAC=∠COH=30°.
(2)证明:
∵点E是的中点,∴OE⊥AB.又∵CD⊥AB,∴OE∥CD.∴∠ECD=∠OEC.又∵OE=OC,∴∠OEC=∠OCE.∴∠OCE=∠DCE,即CE平分∠OCD.(3)圆周上到直线AC的距离为3的点有2个.因为上的点到直线AC的最大距离为2,上的点到直线AC的最大距离为6,2<3<6,根据圆的轴对称性,到直线AC的距离为3的点有2个.
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- 基本 性质 证明 计算 是什么