届一轮复习苏教版解三角形学案.docx
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届一轮复习苏教版解三角形学案
第三讲大题考法——解三角形
题型
(一)
三角变换与解三角形的综合问题
主要考查利用正、余弦定理求解三角形的边长或角的大小
(或三角函数值),且常与三角恒等变换综合考查.
[典例感悟]
[例1] (2018·南京学情调研)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,cosB=.
(1)若c=2a,求的值;
(2)若C-B=,求sinA的值.
[解]
(1)法一(角化边):
在△ABC中,因为cosB=,所以=.
因为c=2a,所以=,即=,
所以=.
又由正弦定理得,=,所以=.
法二(边化角):
因为cosB=,B∈(0,π),
所以sinB==.
因为c=2a,由正弦定理得sinC=2sinA,
所以sinC=2sin(B+C)=cosC+sinC,
即-sinC=2cosC.
又因为sin2C+cos2C=1,sinC>0,解得sinC=,
所以=.
(2)因为cosB=,所以cos2B=2cos2B-1=.
又0<B<π,所以sinB==,
所以sin2B=2sinBcosB=2××=.
因为C-B=,即C=B+,
所以A=π-(B+C)=-2B,
所以sinA=sin
=sincos2B-cossin2B
=×-×
=.
[方法技巧]
三角变换与解三角形综合问题求解策略
(1)三角变换与解三角形综合问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的,其基本步骤是:
(2)三角变换与解三角形的综合问题要关注三角形中的隐藏条件,如A+B+C=π,sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,以及在△ABC中,A>B⇔sinA>sinB等.
[演练冲关]
1.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且bsin2C=csinB.
(1)求角C;
(2)若sin=,求sinA的值.
解:
(1)由正弦定理及bsin2C=csinB,
得2sinBsinCcosC=sinCsinB,
因为sinB>0,sinC>0,所以cosC=,
又C∈(0,π),所以C=.
(2)因为C=,所以B∈,
所以B-∈,
又sin=,
所以cos==.
又A+B=,即A=-B,
所以sinA=sin=sin=sin·cos-cossin=×-×=.
2.在△ABC中,AC=6,cosB=,C=.
(1)求AB的长;
(2)求cos的值.
解:
(1)因为cosB=,0<B<π,
所以sinB===.
由正弦定理知=,
所以AB===5.
(2)在△ABC中,A+B+C=π,
所以A=π-(B+C),
于是cosA=-cos(B+C)=-cos
=-cosBcos+sinBsin.
又cosB=,sinB=,
故cosA=-×+×=-.
因为0<A<π,所以sinA==.
因此,cos=cosAcos+sinAsin
=-×+×=.
题型
(二)
解三角形与平面向量结合
主要考查以平面向量的线性运算和数量积为背景的解三角形问题.
[典例感悟]
[例2] (2018·盐城模拟)设△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC面积的大小为S,3·=2S.
(1)求sinA的值;
(2)若C=,·=16,求b.
[解]
(1)由3·=2S,
得3bccosA=2×bcsinA,即sinA=3cosA.
整理化简得sin2A=9cos2A=9(1-sin2A),
所以sin2A=.
又A∈(0,π),所以sinA>0,故sinA=.
(2)由sinA=3cosA和sinA=,
得cosA=,
又·=16,所以bccosA=16,
得bc=16.①
又C=,
所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=×+×=.
在△ABC中,由正弦定理=,
得=,即c=b.②
联立①②得b=8.
[方法技巧]
解三角形与平面向量综合问题的求解策略
(1)向量是一种解决问题的工具,是一个载体,通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.
(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化,注意角的范围对变形过程的影响.
[演练冲关]
1.(2018·南通三调)已知△ABC是锐角三角形,向量m=,n=(cosB,sinB),且m⊥n.
(1)求A-B的值;
(2)若cosB=,AC=8,求BC的长.
解:
(1)因为m⊥n,
所以m·n=coscosB+sinsinB=
cos=0,
又A,B∈,所以A+-B∈,
所以A+-B=,即A-B=.
(2)因为cosB=,B∈,所以sinB=.
所以sinA=sin=sinBcos+cosBsin
=×+×=.
由正弦定理,得BC=×AC=×8=4+3.
2.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(1,2),n=,且m·n=1.
(1)求角A的大小;
(2)若b+c=2a=2,求sin的值.
解:
(1)由题意得m·n=2cos2A-1+cosA+1=2cos2A+cosA=1,
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