知识点线代3.docx
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知识点线代3.docx
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知识点线代3
知识点n维向量组做题结果
1.设α,β,都是n维向量,k,l是数,下列运算不成立的是()
A、1×α=α;
B、(kl)α=k(lα);
C、α,β对应分量成比例,可以说明α=β;
D、k(α+β)=kα+kβ;
【正确答案】 C
【答案解析】应该是α,β对应分量都相等,可以说明α=β。
2.设α,β,γ都是n维向量,k,l是数,下列运算成立的个数为()
(1)α+β=β+α;
(2)(α+β)+γ=α+(β+γ);
(3)α+0=α;
(4)α+(-α)=0
(5)1×α=α;
(6)k(α+β)=kα+kβ;
(7)(k+l)α=kα+lα;
(8)(kl)α=k(lα)。
(9)α,β对应分量成比例,可以说明α=β
A、8B、9C、6D、7
【正确答案】 A【答案正确】
【答案解析】 其中(9)不正确,应该是α,β对应分量都相等,可以说明α=β,其它均正确。
3.设α,β,γ都是n维向量,k,l是数,下列运算成立的个数为()
(1)α+β=β+α;
(2)(α+β)+γ=α+(β+γ);
(3)α,β对应分量成比例,可以说明α=β;
(4)α+(-α)=0
(5)1×α=α;
(6)(kl)α=k(lα);
(7)(k+l)α=kα+lα;
(8)k(α+β)=kα+kβ;
(9)α+0=α。
A、8B、6
C、9D、7
【正确答案】 A【答案正确】
【答案解析】 其中(3)不正确,应该是α,β对应分量都相等,可以说明α=β。
知识点向量的线性运算做题结果
1.设β=(1,0,1),γ=(1,1,-1),则满足条件3x+β=γ的x为()
A.-1/3(0,1,-2)B.1/3(0,1,-2)
C.(0,1,-2)D.(0,-1,2)
【正确答案】 B【答案正确】
【答案解析】 因为3x+β=γ,所以.
2.设α=(0,2,1),γ=(0,-2,-3),则满足条件α+β=γ的β为()
A、(0,4,4)B、(0,-4,-4)
C、(0,0,-2)D、(0,0,2)
【正确答案】 B【答案正确】
【答案解析】 因为α+β=γ,所以β=γ-α=(0,-2,-3)-(0,2,1)=(0,-4,-4)。
3.给出α=(1,3,1),β=(2,0,2),γ=(-1,1,1)求4α+β-3γ=()
A、3(-1,3,1)
B、3(-3,-3,1)
C、3(3,3,-1)
D、3(3,3,1)
【正确答案】 D
【答案解析】 4α+β-3γ
=4(1,3,1)+(2,0,2)-3(-1,1,1)
=3(3,3,1)
知识点表出系数做题结果
1.(-1,7)能否表示成(1,-1)和(2,4)的线性组合?
若能则表出系数为()
A、能,-3,1B、不能C、能,3,1D、能,3,-1
【正确答案】 A【答案正确】
【答案解析】 假定(-1,7)=λ1(1,-1)+λ2(2,4)
=(λ1,-λ1)+(2λ2,4λ2)
=(λ1+2λ2,-λ1+4λ2)
由于两个向量相等的充要条件是它们的分量分别对应相等,因此可得主程组:
于是第一个向量是其余向量的线性组合,它的表示式为:
(-1,7)=-3(1,-1)+(2,4)
2.(4,0)能否表示成(-1,2),(3,2)和(6,4)的线性组合?
若能则表出系数为()
A、能,系数不唯一B、不能
C、能,-1,-1,1D、能,-1,1,0
【正确答案】 A【答案正确】
【答案解析】 假定(4,0)=λ1(-1,2)+λ2(3,2)+λ3(6,4)
=(-λ1,2λ1)+(3λ2,2λ2)+(6λ3,4λ3)
=(-λ1+3λ2+6λ3,2λ1+2λ2+4λ3)
可得方程组:
因此,第一个向量是其余向量的线性组合,而且表示不唯一,它的表示式可为:
(4,0)=-(-1,2)-(3,2)+(6,4)
或
(4,0)=-(-1,2)+(3,2)+0·(6,4)
3.(1,-1)能否表示成(1,0)和(2,0)的线性组合?
若能则表出系数为()
A、能,1,1B、不能C、能,-1,1D、能,1,-1
【正确答案】 B
【答案解析】 假定(1,-1)=λ1(1,0)+λ(2,0)
=(λ1,0)+(2λ2,0)
=(λ1+2λ2,0)
对照各分量,将会产生-1=0的矛盾,因此(1,-1)不能表示为(1,0),(2,0)的线性组合。
知识点组合系数做题结果
1.(-1,5)能否表示成(1,2)和(2,4)的线性组合?
若能则表出系数为()
A、能,-3,1B、不能C、能,3,1D、能,3,-1
【正确答案】 B
【答案解析】 假定(-1,5)=λ1(1,2)+λ2(2,4),解不出λ1和λ2,所以不能。
2.(-1,1)能否表示成(1,0)和(2,0)的线性组合?
若能则表出系数为()
A、能,1,1B、不能C、能,-1,1D、能,1,-1
【正确答案】 B【答案正确】
【答案解析】 假定(-1,1)=λ1(1,0)+λ2(2,0),可以知道解不出λ1和λ2
3.(1,0)能否表示成(1,1)和(0,1)的线性组合?
若能则表出系数为()
A、能,1,1B、不能C、能,-1,1D、能,1,-1
【正确答案】 D
【答案解析】 假定(1,0)=λ1(1,1)+λ2(0,1)
=(λ1,λ1)+(0,λ2)
=(λ1,λ1+λ2)
对照各分量,将会产生λ1=1,λ2=-1.
知识点线性相关与线性无关做题结果
1.设α1=(2,1,0),α2=(0,0,0),则()
A.α2线性相关B.α1线性相关
C.α1,α2线性无关D.α2线性无关
【正确答案】 A
【答案解析】 零向量是任何一组向量的线性相关组合,∴选项C不正确,单个非零向量线性无关,∴选A,选项B、D不正确。
2.n维向量α1,α2,…,αm,当m>n时,则α1,α2,…,αm的线性相关性是( )
A、线性无关B、线性相关
C、即线性相关又线性无关D、不确定
【正确答案】 B
【答案解析】
首先排除C因为向量不可能线性相关又线性无关,只能是相关或者无关.再根据教材91页两个重要结论得出本题答案为B
3.向量(2,3,0),(-1,4,0),(0,0,2)线性无关。
【正确答案】 对【答案正确】
【答案解析】 考察λ1(2,3,0)+λ2(-1,4,0)+λ3(0,0,2)=0
则(2λ1-λ2,3λ1+4λ2,2λ3)=0
可得方程组:
所以只有零解λ1=λ2=λ3=0,即这个向量组线性无关。
知识点线性相关与线性无关1做题结果
1.设α1=(2,1,0),α2=(0,0,0),则()
A.α2线性无关B.α1线性无关
C.α1,α2线性无关D.α1线性相关
【正确答案】 B【答案正确】
【答案解析】 ∵任意一个含零向量的向量组必为线性相关组,
∴α1,α2线性相关。
单个向量α线性相关
α=0。
单个向量α线性无关
α≠0。
2.设α1=(1,1,0),α2=(1,3,-1),α3=(5,3,t)线性相关,则t=()
A.5B.2C.1D.0
【正确答案】 C
【答案解析】
由线性相关,构造的齐次线性方程组有非零解,推出其行列式为0来计算得出t=1
3.设α1=(1,1,1),α2=(1,2,3),α3=(1,3,t)线性相关,则t=()
A.5B.2C.1D.0
【正确答案】 A
【答案解析】 ∵α1,α2,α3线性相关,
知识点线性相关性的若干基本定理做题结果
1.α1,α2…αm是一组线性无关的向量,k≠0,则kα1,kα2…kαm是( )
A、线性无关B、线性相关
C、即线性相关又线性无关D、不确定
【正确答案】 A
【答案解析】
2.设A组向量可由B组向量线性表出,又B组向量可由C组向量线性表出,则A组向量()
A、不可由C组向量线性表出。
B、可由C组向量线性表出。
C、不一定可由C组向量线性表出。
D、不确定。
【正确答案】 B【答案正确】
【答案解析】
3.若α1,α2线性无关,β是另外一个向量,则α1+β与α2+β()
A、线性无关B、线性相关
C、即线性相关又线性无关D、不确定
【正确答案】 D
【答案解析】 例如,α1=(1,1),α2=(0,2),β=(-1,-1)
则α1,α2线性无关,而α1+β=(0,0),α2+β=(-1,1)线性相关。
如果β=(0,0),那么α1+β,α2+β还是线性无关的。
知识点线性相关性的若干基本定理1做题结果
1.含有零向量的向量组()
A、可能线性相关B、必线性相关
C、可能线性无关D、必线性无关
【正确答案】 B【答案正确】
【答案解析】 含有零向量的向量组必线性相关。
2.设α1,α2…αm线性相关,则任意扩充后的α1,α2…αm+k向量组()
A、一定线性无关B、一定线性相关
C、不一定线性无关D、不一定线性相关
【正确答案】 B【答案正确】
【答案解析】 本题说的是:
部分相关,则整体相关。
3.设向量组α1,α2…αm线性无关,则它的任何一个部分组( )
A、可能线性无关B、可能线性相关
C、一定线性无关D、一定线性相关
【正确答案】 C
【答案解析】 这里说的是:
整体无关,则部分无关。
知识点两个向量组的关系做题结果
1.如果向量组R能由向量组S线性表出,且向量组S能由向量组R线性表出,则称向量组R与S()
A、一定等价B、可能等价C、不一定等价D、不确定
【正确答案】 A【答案正确】
【答案解析】 如果向量组R能由向量组S线性表出,反之,向量组S也能由向量组R线性表出,则称向量组R与S等价。
2.向量组间的等价关系不具有()
A、反身性;B、对称性C、传递性。
D、相等
【正确答案】 D
【答案解析】 等价关系具有:
反身性;对称性;传递性。
3.向量组A的任何一个部分组()由该向量组线性表示。
A、都能B、一定不能C、不一定能D、不确定
【正确答案】 A【答案正确】
【答案解析】 向量组的任何一个部分组都能由该向量组线性表示。
知识点向量组的极大无关组做题结果
1.
向量组T与它的任意一个极大无关组等价,那么T的任意两个极大无关组()
A、可能等价B、一定等价C、不一定等价D、不确定
【正确答案】 B【答案正确】
【答案解析】
根据教材P96的定理可以得出
2.向量
的一个极大无关组为()
A、α1,α2
B、α1,α2,α3
C、α1,α2,α3,α4
D、α1,α2,α4
【正确答案】 B【答案正确】
【答案解析】 把这四个向量组成矩阵,经过行初等变换不难看出α1,α2,α3为极大无关组。
3.如果向量组S可由向量组T线性表出,其秩分别为r(S)=s,r(T)=t,则()
A、s小于等于tB、s大于t
C、s等于tD、不确定
【正确答案】 A【答案正确】
【答案解析】
根据教材P97的定理可以得出
知识点向量组的极大无关组1做题结果
1.α1=(
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