第45讲锐角三角函数.docx
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第45讲锐角三角函数
第45讲锐角三角函数
一、知识点
1.认识锐角三角函数——正弦、余弦
2.用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比,用正弦、余弦进行简单的计算.
二探究活动1(出示幻灯片4):
如图,请思考:
(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2的关系是;
(2)
;
(3)如果改变B2在斜边上的位置,则
;
思考:
从上面的问题可以看出:
当直角三角形的一个锐角的大小已确定时,它的对边与斜边的比值__________,根据是______________________________________.
它的邻边与斜边的比值呢?
归纳概念
1、正弦的定义:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角∠A的对边BC与斜边AB的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA=________.
2、余弦的定义:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角∠A的邻边AC与斜边AB的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA=______.
3、锐角A的正弦,余弦,正切和余切都叫做∠A的三角函数.
温馨提示
(1)sinA,cosA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角;
(2)sinA,cosA中常省去角的符号“∠”.但∠BAC的正弦和余弦表示为:
sin∠BAC,cos∠BAC.∠1的正弦和余弦表示为:
sin∠1,cos∠1;
(3)sinA,cosA没有单位,它表示一个比值;
(4)sinA,cosA是一个完整的符号,不表示“sin”,“cos”乘以“A”;
(5)sinA,cosA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长没有必然的关系.
探究活动2:
我们知道,梯子的倾斜程度与tanA有关系,tanA越大,梯子越陡,那么梯子的倾斜程度与sinA和cosA有关系吗?
是怎样的关系?
探索发现:
梯子的倾斜程度与sinA,cosA的关系:
sinA越大,梯子;
cosA越,梯子越陡.请大家拿出我们课前准备的模拟墙体和两架模拟梯子:
(1)首先,把两架梯子摆在同一面墙上,使其中一架梯子比较陡。
(2)我们在摆的过程中,要仔细观察,认真思考,探索一下,要想把一个
梯子摆得陡一些,除了与倾斜角的大小有关之外,还与那些因素有关呢?
(3)通过观察,我们可以得到:
要想把一个梯子摆得陡一些,与梯子的对边与邻边有关。
那么是不是单纯地与倾斜角的对边或邻边有关呢?
为了探索这个一般规律,请同学们接着来摆梯子,使其中一架梯子比较陡。
这一次,我们要边摆,边度量每个梯子倾斜角的对边与邻边,并计算每个倾斜角的对边与邻边的比值,之后每组填好实验报告。
(展示数据及结论)
探究活动3:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=20,sinA=0.6,求BC和cosB.
通过上面的计算,你发现sinA与cosB有什么关系呢?
sinB与cosA呢?
在其它直角三角形中是不是也一样呢?
请举例说明.
小结规律:
在直角三角形中,一个锐角的正弦等于另一个锐角的.
设计意图:
在探究中进一巩固正弦和余弦的定义,同时发现直角三角形中两个锐角的三角函数值之间存在一定的关系,拓展学生的知识储备.
三、归类提升
类型一:
已知直角三角形两边长,求锐角三角函数值
例1、在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5,求A的三个三角函数值.
类型二:
利用三角函数值求线段的长度
例2、如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AC=200,sinA=0.6,求BC的长
四、总结延伸
1、锐角三角函数定义:
sinA=,cosA=,tanA=;
2、温馨提示:
(1)sinA,cosA,tanA,是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形);
(2)sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号;
(3)sinA,cosA,tanA都是一个比值,注意区别,且sinA,cosA,tanA均大于0,无单位;
(4)sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长没有必然关系;
(5)角相等,则其三角函数值相等;两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
3、在用三角函数解决一般三角形或四边形的实际问题中,应注意构造直角三角形.
设计意图:
课堂小结,检查学生掌握情况,同时能对知识进行及时梳理,有利于学生归纳和消化,特别对于重要的方法提示和要注意的细节,能再次呈现,使学生印象深刻.
五、课堂小结
1.sinA,cosA,tanA,是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).
2.sinA,cosA,tanA,是一个完整的符号,表示∠A
的正切,习惯省去“∠”号;
3.sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,
且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位.
4.sinA,cosA,tanA,的大小只与∠A的大小有关,
而与直角三角形的边长无关.
5.角相等,则其三角函数值相等;两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.
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