1,f,x,8(已知函数f(x)满足:
f
(1),2,f(x,1),,则f(2011)等于()1,f,x,
A(2B(,3
11C(,D.23
[答案]C
11[解析]由条件知~f
(2),,3~f(3),,~f(4),~f(5),f
(1),2~故f(x,4),f(x)(x23
*?
N)(
?
f(x)的周期为4~
1故f(2011),f(3),,.2
[点评]严格推证如下:
1,f,x,1,1f(x,2),,,~1,f,x,1,f,x,
?
f(x,4),f[(x,2),2],f(x)(即f(x)周期为4.
**故f(4k,x),f(x)~(x?
N~k?
N)~
2,,,a9(设f(x),lg是奇函数,则使f(x)<0的x的取值范围是(),,1,x
A((,1,0)B((0,1)C((,?
,0)D((,?
,0)?
(1,,?
)[答案]A
[解析]?
f(x)为奇函数~?
f(0),0~?
a,,1.
x,1?
f(x),lg~由f(x)<0得1,x
x,10<<1~?
12,x10((文)(09?
全国?
)函数y,log的图象()22,x
A(关于原点对称
B(关于直线y,,x对称
C(关于y轴对称
D(关于直线y,x对称
[答案]A
2,x2,x2,x[解析]首先由>0得~,22,xlog,log1,0.故f(x)为奇函数~其图象关于原点对称~故选A.222,x
x(理)函数y,,x?
(,π,0)?
(0,π)的图象可能是下列图象中的()sinx
[答案]C
x[解析]?
y,是偶函数~排除A~sinx
2当x,2时~y,>2~排除D~sin2
π
π6π当x,时~y,,>1~排除B~故选C.63πsin6
二、填空题
sinπx,x<0,,1111,,,,,,则f,11((文)已知f(x),,f的值为________(,,,,66f,x,1,,1,x>0,,,
[答案],2
1151,,,,,,[解析]f,f,1,f,,2,,,,,,666
π5,,,sin,,2,,~,,62
1111ππ1,,,,f,,sin,,sin,~?
原式,,2.,,,,6662
1)设f(x)是定义在R上的奇函数,且y,f(x)的图象关于直线x,对称,则f
(1),f
(2)(理2
,f(3),f(4),f(5),________.[答案]0
1[解析]?
f(x)的图象关于直线x,对称~2
11,,,,?
f,x,f,x~对任意x?
R都成立~,,,,22
?
f(x),f(1,x)~又f(x)为奇函数~?
f(x),,f(,x),,f(1,x),f(,1,x),f(2,x)~?
周期T,2?
f(0),f
(2),f(4),0
1对称又f
(1)与f(0)关于x,2
?
f
(1),0?
f(3),f(5),0填0.12((2010?
深圳中学)已知函数y,f(x)是偶函数,y,g(x)是奇函数,它们的定义域都是[,
f,x,π,π],且它们在x?
[0,π]上的图象如图所示,则不等式<0的解集是________(g,x,
ππ,,,,[答案],,0?
,π,,,,33
[解析]依据偶函数的图象关于y轴对称~奇函数的图象关于原点对称~先补全f(x)、
g(x)的图象~
,f,x,<0f,x,>0f,x,,,?
<0~?
~或~观察两函数的图象~其中一个在x轴上方~一个g,x,,g,x,>0,g,x,<0
ππ在x轴下方的~即满足要求~?
13((文)若f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于直线x,2对称,且当x?
(,2,2)时,
2f(x),,x,1.则f(,5),________.
[答案]0
2[解析]由题意知f(,5),f(5),f(2,3),f(2,3),f(,1),,(,1),1,0.
(理)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当,1?
x?
1时,f(x),a,当x?
1时,f(x)
2,(x,b),则f(,3),f(5),________.
[答案]12
[解析]?
f(x)是R上的奇函数~?
f(0),0~?
1?
x?
1时~f(x),a~?
a,0.
2?
f
(1),(1,b),0~?
b,,1.
22?
当x?
1时~,x?
1~f(,x),(,x,1),(x,1)~
2?
f(x)为奇函数~?
f(x),,(x,1)~
2,,x,1,x?
1,,0,1?
x?
1?
f(x),,
2,,x,1,x?
1,
22?
f(,3),f(5),,(,3,1),(5,1),12.
2[点评]求得b,,1后~可直接由奇函数的性质得f(,3),f(5),,f(3),f(5),,(3,1)
2,(5,1),12.
2x,,,a14((文)(2010?
山东枣庄模拟)若f(x),lg(a?
R)是奇函数,则a,________.,,1,x
[答案],1
2x,,,a[解析]?
f(x),lg是奇函数~,,1,x
?
f(,x),f(x),0恒成立~
2x,2x,,,,,a即lg,lg,a,,1,x,1,x,
2x2x,,,,,a,a,lg,0.,,,,1,xx,1
2x2x,,,,,a,a?
1~,,,,1,x,x1
222?
(a,4a,3)x,(a,1),0~
?
上式对定义内的任意x都成立~
2,a,4a,3,0,,?
~?
a,,1.2a,1,0,,
[点评]?
可以先将真数通分~再利用f(,x),,f(x)恒成立求解~运算过程稍简单些(
,a,2,x,a?
如果利用奇函数定义域的特点考虑~则问题变得比较简单(f(x),lg为奇函1,x
a1也不在f(x)的定义域内~令x,,,1~数~显然x,,1不在f(x)的定义域内~故x,a,2
得a,,1.故平时解题中要多思少算~培养观察、分析、捕捉信息的能力(
a,,,1,(理)(2010?
吉林长春质检)已知函数f(x),lg为奇函数,则使不等式f(x)<,1,,2,x
成立的x的取值范围是________(
18[答案]aa,,,,,1,,1,[解析]?
f(x)为奇函数~?
f(,x),f(x),0恒成立~?
lg,lg,,,,2,x2,x
aa,,,,,1,,1,,lg,0~,,,,2,x2,x
aa,,,,,1,,1,?
1~,,,,2,x2,x
4,a?
a?
0~?
0~?
a,4~2x,4
42,x,,,1,?
f(x),lg,lg~,,2,xx,2
2,x由f(x)<,1得~lg<,1~2,x
2,x2,x1?
0<<~由>0得~,22,x11818由<得~x<,2或x>~?
三、解答题
215((2010?
杭州外国语学校)已知f(x),x,bx,c为偶函数,曲线y,f(x)过点(2,5),g(x),(x,a)f(x)(
(x)有斜率为0的切线,求实数a的取值范围;
(1)若曲线y,g
(2)若当x,,1时函数y,g(x)取得极值,且方程g(x),b,0有三个不同的实数解,求实数b的取值范围(
[解析]
(1)由f(x)为偶函数知b,0~
2又f
(2),5~得c,1~?
f(x),x,1.
232?
g(x),(x,a)(x,1),x,ax,x,a~
因为曲线y,g(x)有斜率为0的切线~
2所以g′(x),3x,2ax,1,0有实数解(
2?
Δ,4a,12?
0~解得a?
3或a?
3.
(2)由题意得g′(,1),0~得a,2.
32?
g(x),x,2x,x,2~
2g′(x),3x,4x,1,(3x,1)(x,1)(
1令g′(x),0~得x,,1~x,,.123
11?
当x?
(,?
~,1)时~g′(x)>0~当x?
(,1~,)时~g′(x)<0~当x?
(,~,?
)33时~g′(x)>0~
1?
g(x)在x,,1处取得极大值~在x,,处取得极小值(3
15050又?
g(,1),2~g(,),~且方程g(x),b,0即g(x),,b有三个不同的实数解~?
32727<,b<2~
50解得,2
16((2010?
揭阳模拟)设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x,2),,
2f(x)(当x?
[0,2]时,f(x),2x,x.
(1)求证:
f(x)是周期函数;
(2)当x?
[2,4]时,求f(x)的解析式;
(3)计算f(0),f
(1),f
(2),…,f(2011)(
[分析]由f(x,2),,f(x)可得f(x,4)与f(x)关系~由f(x)为奇函数及在(0,2]上解析式可求f(x)在[,2,0]上的解析式~进而可得f(x)在[2,4]上的解析式(
[解析]
(1)?
f(x,2),,f(x)~?
f(x,4),,f(x,2),f(x)(?
f(x)是周期为4的周期函数(
(2)当x?
[,2,0]时~,x?
[0,2]~由已知得
22f(,x),2(,x),(,x),,2x,x~
2又f(x)是奇函数~?
f(,x),,f(x),,2x,x~
2?
f(x),x,2x.
又当x?
[2,4]时~x,4?
[,2,0]~
22?
f(x,4),(x,4),2(x,4),x,6x,8.又f(x)是周期为4的周期函数~?
f(x),f(x,4)
2,x,6x,8.
从而求得x?
[2,4]时~
2f(x),x,6x,8.
(3)f(0),0~f
(2),0~f
(1),1~f(3),,1.又f(x)是周期为4的周期函数~?
f(0),f
(1),f
(2),f(3),f(4),f(5),f(6),f(7),…,f(2008),f(2009),f(2010),f(2011)
0.
?
f(0),f
(1),f
(2),…,f(2011),0.
417((文)已知函数f(x),1,(a>0且a?
1)是定义在(,?
,,?
)上的奇函数(x2a,a
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的值域;
x(3)当x?
(0,1]时,tf(x)?
2,2恒成立,求实数t的取值范围(
[解析]
(1)?
f(x)是定义在(,?
~,?
)上的奇函数~即f(,x),,f(x)恒成立~?
f(0),
0.
4即1,,0~02×a,a
解得a,2.
x2,11,yx
(2)?
y,~?
2,~x2,11,y
1,yx由2>0知>0~1,y
?
1x,tt?
2xx(3)不等式tf(x)?
2,2即为,2.?
2x2,1
x2xx即:
(2),(t,1)?
2,t,2?
0.设2,u~?
x?
(0,1]~?
u?
(1,2](
2?
u?
(1,2]时u,(t,1)?
u,t,2?
0恒成立(
2,1,,t,1,×1,t,2?
0,,?
~解得t?
0.22,,t,1,×2,t,2?
0,,
f,x,x>0,2,(理)设函数f(x),ax,bx,c(a、b、c为实数,且a?
0),F(x),.,f,x,x<0,,
(1)若f(,1),0,曲线y,f(x)通过点(0,2a,3),且在点(,1,f(,1))处的切线垂直于y
轴,求F(x)的表达式;
(2)在
(1)的条件下,当x?
[,1,1]时,g(x),kx,f(x)是单调函数,求实数k的取值范围;
(3)设mn<0,m,n>0,a>0,且f(x)为偶函数,证明F(m),F(n)>0.2[解析]
(1)因为f(x),ax,bx,c~所以f′(x),2ax,b.又曲线y,f(x)在点(,1~f(,1))处的切线垂直于y轴~故f′(,1),0~
即,2a,b,0~因此b,2a.?
因为f(,1),0~所以b,a,c.?
又因为曲线y,f(x)通过点(0,2a,3)~所以c,2a,3.?
解由?
~?
~?
组成的方程组得~a,,3~b,,6~c,,3.
2从而f(x),,3x,6x,3.
2,,3,x,1,x>0,,所以F(x),.2,3,x,1,x<0,
2
(2)由
(1)知f(x),,3x,6x,3~
2所以g(x),kx,f(x),3x,(k,6)x,3.由g(x)在[,1,1]上是单调函数知:
k,6k,6,?
1或,?
1~得k?
12或k?
0.66
0.(3)因为f(x)是偶函数~可知b
2因此f(x),ax,c.
又因为mn<0~m,n>0~
可知m~n异号(
若m>0~则n<0.
22则F(m),F(n),f(m),f(n),am,c,an,c,a(m,n)(m,n)>0.
若m<0~则n>0.
同理可得F(m),F(n)>0.
综上可知F(m),F(n)>0.