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剧场安排模型
剧场演出安排问题
吕国录李欣欣刘永臻张振
摘要
本文对剧团演出的安排做出分析与求解。
考虑到公司与剧团的长期利益、方案的合理性、可操作性,利用显式整数规划模型(GTSP),求得最优路线。
基于在半年的短期内,做出能够灵活变动的方案。
在变动尽可能小、公司与剧团利益尽量不受损失的前提下,将模型推广到一般情况来解决问题。
对于问题一,在公司与剧团双方共赢的前提下,根据各个城市之间的距离,运用显式整数规划模型模型(GTSP),利用lingo程序,求得一个演出的最优路线。
最优路线为:
青岛市→扬州市→杭州市→东阳市→衢州市→温州市→绍兴市→嘉兴市→无锡市。
然后基于所建立的多目标优化模型和剧场在各个城市的分布的特点,在以公司和剧团实现共赢的前提下:
得到公司应与26个剧团签订合同,并以7天为一轮的结论。
利用剧团两两组合的方法将13个组合剧团合理的安排在各个城市,最后按照演出循环最优路线制定合理的巡回演出方案。
对于问题二利用问题一中得出的结论,将时间控制在前六个月内,运用问题一中的方法为各个剧团建立了合理、可行的循环演出表。
对于问题三以方案变动尽量小,切实可行,公司与剧团双方利益损失尽量少为目的,将问题一中建立的多目标优化模型进行一般的推广,来应对突发状况。
关键词:
GTSP模型LINGO程序多目标优化共赢
一问题重述
某演出公司旗下有11家剧场,分别位于以下地点:
山东省青岛市、江苏省无锡市2家、江苏省扬州市、浙江省嘉兴市、
浙江省杭州市2家、浙江省温州市、浙江省绍兴市、浙江省东阳市、
浙江省衢州市。
公司需要组织若干演出团体于各剧场演出,每家剧场每天均需安排一场演出。
为了保证上座率和演出效果,同一剧团每轮(指在同一家剧场连续不间断演出)演出时间有一上界。
分别为:
青岛市:
14天;无锡市:
各14天;扬州市:
7天,嘉兴市:
7天;
杭州市:
各14天;温州市:
7天;绍兴市:
7天;东阳市:
7天;
衢州市:
7天。
同一演出团体可以在不同剧场巡回演出,但不能在同一剧场多轮演出。
同一演出团体在同城的两家剧场(杭州或无锡)演出的间隔(指自一家剧场演出结束至另一家剧场演出开始)不能小于45天。
对加盟的演出团体,公司都需支付一笔固定费用;根据每个剧团演出场次的不同,还需支付该剧团相应的演出费用;另外公司还需承担剧团在不同城市巡回时所需的交通费用。
其中前两项费用所占比例较大。
对演出团体而言,一旦加盟就希望演出较多的场次,并且在不同剧场演出之间不能有太大的时间间隔,巡回路线也尽可能合理。
1.试为公司制定一个这11家剧场的演出团体长期安排方案,使公司支付的费用尽可能少,方案应切实可行、便于操作、有利管理、公司和剧团合作双赢。
2.准备一份给公司经理参阅的关于方案的简要说明(不超过两页),并附一份简明直观的前六个月的安排方案,作为公司和剧团执行的指南。
3.是否能将你的模型推广到一般情形。
简述出现各种特殊情况时你的应急预案。
如某剧团因故不能完成剩余演出,某剧团的节目不适合在某城市演出,某剧场另有专项演出任务等。
二模型假设
1每个加盟团的演出效果及上座率相同;
2每个演出团的固定费用一样,每个演出团演一场的演出费用相同;
3每个演出团在一个地方演完后第二天就能到下一个地方演出;
4所有的剧团在所有的剧场都适合演出;
5每个剧团都能无意外按安排演出。
三符号说明
四问题分析
4.1问题一的分析
要制定一个安排方案,使公司支付的交通费用尽可能少,且方案必须切实可行、便于操作、有利管理、以实现公司和剧团合作双赢,则需要考虑最优化问题。
根据各个城市之间的距离,建立了旅行售货员(TSP)模型,运用lingo程序,求得一个演出的最优路线。
最优路线为:
青岛市→扬州市→杭州市→东阳市→衢州市→温州市→绍兴市→嘉兴市→无锡市。
然后基于所建立的多目标优化模型和剧场在各个城市的分布的特点,在为实现公司和剧团共赢的前提下,得到公司应与26个剧团签订合同,并以7天为一轮,利用剧团两两组合的方法将13个组合剧团合理的安排在各个城市,最后按照演出循环最优路线同步调进行巡回演出的可行方案
4.2问题二的分析
问题二中,将时间控制在前六个月内,故可以利用问题
(一)中得出的结论,将问题一中的问题短期化,根据问题
(一)中的方法建立了各个剧团循环演出表。
4.3问题三的分析
针对问题(三),将模型推广到一般情况。
考虑到公司与剧团的利益,以损失尽量少、调度灵活为原则,来解决紧急情况。
五模型的建立与求解
5.1.问题一模型的建立与求解
5.1.1模型的建立
对于问题一,为了使公司支付的费用尽可能少,达到公司和剧团合作双赢的目的且制定的方案切实可行、便于操作、有利管理,建立多目标优化模型。
考虑到公司在签订剧团时,为使公司的收入尽可能多支出尽可能的少,因此建立了关于公司利益的目标函数:
公司的最大利润:
(1)
对于已经加盟的剧团则希望得到合理的演出场次和路线,因此建立关于剧团的目标函数:
剧团的最大利润:
(2)
剧团的个数:
(3)
在安排演出公司旗下的剧场时,先根据剧场所在城市的具体位置,利用旅行售货员(TSP)模型,建立(4),借用数学软件(lingo)求解最优路线。
(4)
5.1.2模型的求解
通过Google搜索剧场所在的9个城市(图1)以及任意剧场所在城市的距离整理得到下列表格见(表1)
青岛
无锡
扬州
嘉兴
杭州
温州
绍兴
东阳
衢州
青岛
0
665
554
781
844
1207
909
1045
1050
无锡
665
0
165
131
220
551
253
391
449
扬州
554
165
0
280
300
660
360
443
552
嘉兴
781
131
280
0
88
422
121
255
316
杭州
844
220
300
88
0
367
64
150
258
温州
1207
551
660
422
367
0
317
307
287
绍兴
909
253
360
121
64
317
0
151
249
东阳
1045
391
443
255
150
307
151
0
155
衢州
1050
449
552
316
258
287
249
155
0
表1各个城市之间的距离
图1各个城市间的空间分布
图2各剧团演出的最优路线
通过运用lingo程序解得最优路线如图2所示,为:
青岛市→扬州市→杭州市→东阳市→衢州市→温州市→绍兴市→嘉兴市→无锡市
在以公司和剧团达到共赢的前提下,得到公司应与26个剧团签订合同,并以7天为一轮的方案。
考虑到某些城市有两个剧场(无锡、杭州),为了使循环演出切实可行、便于操作、有利管理,故规定两两剧团组合巡回演出。
当某个小组到达有2个剧场的城市(无锡和杭州)时,两个剧团各自在一个剧场演出。
当该小组到达只有一个剧场的城市时,让某一剧团演出,而另一剧团休息。
当到达下个只有一个剧场的城市时,让上一个没有演出的剧团演出,另一剧团休息。
5.2问题二的求解
对于问题二考虑有如下两点:
1.公司盈利多,每家剧场每天都安排一场演出;提出的方案需便于操作、有利管理、切实可行;
2.各剧团演出场次相同,具有较多的场次,并且在不同剧场演出之间不能有太大的时间间隔,巡回路线尽可能合理。
综合考虑以上2点得出如表2的各个剧团的循环演出表
剧场
时间
青岛
扬州
杭州
东阳
衢州
温州
绍兴
嘉兴
无锡
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
演出
休息
演出
休息
演出
演出
休息
演出
休息
演出
休息
演出
休息
演出
休息
演出
1-7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
8-14
19
20
21
22
23
24
25
26
2
1
4
3
5
6
8
7
9
10
15-21
12
11
14
13
15
16
17
18
20
19
22
21
23
24
26
25
1
2
22-28
3
4
6
5
7
8
10
9
11
12
13
14
16
15
18
17
19
20
29-35
21
22
24
23
25
26
1
2
4
3
5
6
7
8
9
10
12
11
36-42
14
13
15
16
17
18
19
20
22
21
23
24
25
26
2
1
3
4
43-49
6
5
8
7
10
9
12
11
13
14
16
15
17
18
20
19
21
22
50-56
24
23
26
25
1
2
3
4
5
6
7
8
10
9
11
12
14
13
57-63
15
16
18
17
19
20
21
22
23
24
25
26
1
2
4
3
6
5
64-70
8
7
9
10
12
11
14
13
16
15
17
18
19
20
22
21
24
23
71-77
26
25
2
1
3
4
6
5
7
8
10
9
12
11
13
14
15
16
78-84
18
17
20
19
21
22
24
23
25
26
1
2
3
4
5
6
7
8
85-91
9
10
11
12
14
13
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
26
25
92-98
2
1
4
3
6
5
8
7
10
9
12
11
14
13
16
15
18
17
99-105
20
19
22
21
24
23
26
25
1
2
3
4
6
5
7
8
10
9
106-112
11
12
13
14
16
15
18
17
19
20
21
22
24
23
25
26
2
1
113-119
4
3
5
6
8
7
9
10
12
11
14
13
15
16
17
18
20
19
120-126
22
21
23
24
26
25
2
1
3
4
6
5
8
7
10
9
11
12
127-133
13
14
16
15
18
17
20
19
21
22
24
23
26
25
1
2
4
3
134-140
5
6
7
8
9
10
11
12
14
13
15
16
18
17
19
20
22
21
141-147
23
24
25
26
2
1
4
3
6
5
8
7
9
10
12
11
13
14
148-154
16
15
17
18
20
19
22
21
24
23
26
25
2
1
3
4
5
6
155-161
7
8
10
9
11
12
13
14
15
16
18
17
20
19
21
22
23
24
162-168
25
26
1
2
4
3
5
6
8
7
9
10
11
12
14
13
16
15
169-175
17
18
19
20
22
21
23
24
26
25
2
1
4
3
6
5
8
7
176-181
10
9
12
11
13
14
16
15
18
17
20
19
22
21
24
23
25
26
表2各个剧团的循环演出表
5.3问题三的求解
若要将问题二的模型推广到一般情形,就要能够适应各种特殊情况,能够及时作出调整,且调度小,尽量减小公司的损失。
对于问题三提出的三种特殊情况做出以下方案:
1某剧团因故不能完成剩余演出,则安排距离该剧场最近的休息的剧团帮忙演出;
2.某剧团的节目不适合在某城市演出,则安排距离该剧场最近的休息的剧团帮忙演出;
3.某剧场另有专项演出任务,则安排原应在该剧场的剧团休息。
六:
模型的评价与推广
6.1模型的优点
1该模型结合实际情况,根据剧场具体的分布情况合理的采用剧团两两组合的方法,安排巡回演出方案。
。
2在确定签订剧团个数时,综合考虑建立的多目标多约束优化模型和剧场实际情况,使制定的方案贴切实际具有切实可行、便于操作、有利管理的特点,并满足公司与剧团共赢。
6.2模型的缺点
1在统计路线的里程时数据采集只通过网络查询,考虑的因素较少,存在误差。
2剧团巡回演完一个周期(两圈)再次回到演出过的剧场时,这样可能会影响演出效果,上座率存在偏差。
6.3模型的推广
建立整数数学规划的模型,将目标函数进行相应的确定型转化降之推广到灰色旅行售货员问题。
在现实生活中,汽车的调度问题可用到此模型。
七:
参考文献
[1]薛毅《数学建模基础》第二版科学出版社2011年
[2]刘来福,曾文艺《数学模型与建模》北京师范大学出版社2002年
[3]胡运权,郭耀煌《运筹学教程》第二版清华大学出版社2003年
[4]王茂芝、郭科、蚂蚁算法求解TSP问题的性能分析及改进【J】《成都理工大学报》自然科学版2009年.
八:
附录
利用LINGO求解到最优路线的运行程序和结果:
运行程序:
model:
sets:
city/1..9/:
u;
link(city,city):
dist,x;
endsets
data:
dist=0665554781844120790910451050
6650165131220551253391449
5541650280300660360443552
781131280088422121255316
84422030088036764150258
12075516604223670317307287
909253360121643170151249
10453914432551503071510155
10504495523162582872491550;
enddata
min=@sum(link:
dist*x);
n=@size(city);
u
(1)=0;
@for(link:
@bin(x));
@for(city(k)|k#gt#1:
@sum(city(i)|i#ne#k:
x(i,k))=1);
@for(city(k)|k#gt#1#and#k#ne#9:
u(9)>=u(k)+x(k,9)-(n-2)*(1-x(k,9))+(n-3)*x(9,k));
@sum(city(j)|j#gt#1:
x(1,j))>=1;
@for(city(k)|k#gt#1:
u(k)>=1);
@for(city(k)|k#gt#1:
u(k)<=n-1-(n-2)*x(1,k));
end
运行结果:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
1493.000
Objectivebound:
1493.000
Infeasibilities:
0.000000
Extendedsolversteps:
0
Totalsolveriterations:
3
ModelClass:
MILP
Totalvariables:
89
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
81
Totalconstraints:
33
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
196
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
N9.0000000.000000
U
(1)0.0000000.000000
U
(2)1.0000000.000000
U(3)1.0000000.000000
U(4)1.0000000.000000
U(5)1.0000000.000000
U(6)1.0000000.000000
U(7)1.0000000.000000
U(8)1.0000000.000000
U(9)2.0000000.000000
DIST(1,1)0.0000000.000000
DIST(1,2)665.00000.000000
DIST(1,3)554.00000.000000
DIST(1,4)781.00000.000000
DIST(1,5)844.00000.000000
DIST(1,6)1207.0000.000000
DIST(1,7)909.00000.000000
DIST(1,8)1045.0000.000000
DIST(1,9)1050.0000.000000
DIST(2,1)665.00000.000000
DIST(2,2)0.0000000.000000
DIST(2,3)165.00000.000000
DIST(2,4)131.00000.000000
DIST(2,5)220.00000.000000
DIST(2,6)551.00000.000000
DIST(2,7)253.00000.000000
DIST(2,8)391.00000.000000
DIST(2,9)449.00000.000000
DIST(3,1)554.00000.000000
DIST(3,2)165.00000.000000
DIST(3,3)0.0000000.000000
DIST(3,4)280.00000.000000
DIST(3,5)300.00000.000000
DIST(3,6)660.00000.000000
DIST(3,7)360.00000.000000
DIST(3,8)443.00000.000000
DIST(3,9)552.00000.000000
DIST(4,1)781.00000.000000
DIST(4,2)131.00000.000000
DIST(4,3)280.00000.000000
DIST(4,4)0.0000000.000000
DIST(4,5)88.000000.000000
DIST(4,6)422.00000.000000
DIST(4,7)121.00000.000000
DIST(4,8)255.00000.000000
DIST(4,9)316.00000.000000
DIST(5,1)844.00000.000000
DIST(5,2)220.00000.000000
DIST(5,3)300.00000.000000
DIST(5,4)88.000000.000000
DIST(5,5)0.0000000.000000
DIST(5,6)367.00000.000000
DIST(5,7)64.000000.000000
DIST(5,8)150.00000.000000
DIST(5,9)258.00000.000000
DIST(6,1)1207.0000.000000
DIST(6,2)551.00000.000000
DIST(6,3)660.00000.000000
DIST(6,4)422.00000.000000
DIST(6,5)367.00000.000000
DIST(6,6)0.0000000.000000
DIST(6,7)317.00000.000000
DIST(6,8)307.00000.000000
DIST(6,9)287.00000.000000
DIST(7,1)909.00000.000000
DIST(7,2)253.00000.000000
DIST(7,3)360.00000.000000
DIST(7,4)121.00000.000000
DIST(7,5)64.000000.000000
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