中考几何模型解题法.docx
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中考几何模型解题法
中考几何模型解题法
中考几何模型解题法
研修课论文宋海平
第一讲以中招真题为例讲解在几何题中,与角平分线的四类模型:
夹角模型、角平分线加垂直模型、角平分线加平行线模型、四边形对角互补角平分线模型。
第二讲弦图是证明勾股定理时所构造出来的图形。
本讲将从弦图出发,抽离出相似模型,及通过变形得到的高级相似模型,培养学生利用模型快速解决几何证明题的能力。
第三讲在熟悉A字型相似、8字型相似及各自变形的基础上,培养学生从题目中寻找相似基本模型的能力,从而使其能够灵活利用模型来解决几何证明题。
第四讲中考数学题中,求线段和最大值、线段差最小值的题目出现频率较高。
本讲通过作图,利用轴对称的性质将线段进行转移,利用奶站模型、天桥模型帮助学生找到解题的突破口,提高做题效率。
第五讲几何题目中经常会出现大角中间夹着一个半角的条件(如90度角,中间夹一个45度角),用来求线段或图形的数量关系。
本讲把这一条件总结为大角夹半角模型,帮助学生从题目特征入手,按照模型不同的特征采取不同的处理方法,快速找到题目的突破口,提升解题的效率。
第六讲本讲重点讲解根据题目条件,通过构造圆,把问题放到圆的背景下,利用圆的性质解决问题。
培养学生把几何的三大板块:
三角形,四边形和圆统一起来解决问题,做到融会贯通。
一、角平分线模型
一、精讲精练
【模型一】夹角模型
OA、OC分别是∠BAC、∠BCA的角平分线,
则:
∠AOC=90°+
∠B.
BP、CP分别是∠ABC、∠ACD的角平分线,
则:
∠P=
∠A.
AD、CD分别是∠EAC、∠FCA的角平分线,
1.
2.(2011大连)在△ABC中,∠A=90°,点D在线段BC上,∠EDB=
∠C,BE⊥DE,垂足为E,DE与AB相交于点F.
(1)当AB=AC时(如图1),①∠EBF=_______°;②探究线段BE与FD的数量关系,并加以证明;
(2)当AB=kAC时(如图2),求
的值(用含k的式子表示).
【模型三】角平分线加平行线
OP是∠MON的角平分线,AB∥ON,
则:
OA=AB.
3.(2011江苏宿迁)如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,∠ADC的平分线与∠BCD的平分线的交点E恰在AB上.若AD=7cm,BC=8cm,则AB的长度是_____cm.
4.(2011山东滨州)如图,在△ABC中,点O是AC边上(端点除外)的一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F,连接AE、AF.那么当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?
并证明你的结论.
【模型四】四边形对角互补模型
∠A+∠C=180°,BD是∠ABC的平分线,
则:
AD=CD.
5.(2011年山东临沂前两问)如图1,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合,三角板的一边交CD于点F,另一边交CB的延长线于点G.
(1)求证:
EF=EG;
(2)如图2,移动三角板,使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上,其他条件不变,
(1)中的结论是否仍然成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由.
弦图模型
⏹。
一、知识提要
1.弦图基本模型
模型一:
模型二:
2.弦图模型之变形
二、专项训练
【板块一】弦图基本模型
1.如图,Rt△ABC中,CD⊥AB,垂足为D,DE⊥AC,垂足为E,求证:
.
2.如图,梯形ABCD中,AB//DC,∠B=90°,E为BC上一点,且AE⊥ED.若BC=12,DC=7,BE:
EC=1:
2,则AB的长为____________.
3.在△ABC中,AB=
,AC=4,BC=2,以AB为边向△ABC外作△ABD,使△ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长.
【板块二】弦图模型之变形
4.(2011乌鲁木齐)如图,等边三角形ABC的边长为3,点P为BC边上一点,且BP=1,点D为AC边上一点,若∠APD=60°,则CD的长为.
5.(2011锦州)如图,四边形ABCD,M为BC边的中点.若∠B=∠AMD=
∠C=45°,AB=8,CD=9,则AD的长为( )
A.3B.4C.5D.6
6.(2011荆州)如图,P为线段AB上一点,AD与BC交干E,∠CPD=∠A=∠B,BC交PD于F,AD交PC于G,则图中相似三角形有( )
A.1对B.2对C.3对D.4对
7.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点M是AC上的一点,点N是BC上的一点,沿着直线MN折叠,使得点C恰好落在边AB上的P点,求证:
MC:
NC=AP:
PB.
相似基本模型
三、知识提要
1.相似基本模型1:
“A”字型相似及其变形
2.相似基本模型2:
“8”字型相似及其变形
四、专项训练
1.四边形EFGH是△ABC内接正方形,BC=21cm,高AD=15cm,则内接正方形边长EF=______.
2.如图,在△ABC中,∠AED=∠B,DE=6,AB=10,AE=8,则BC的长度为( )
A.
B.
C.3D.
3.如图,直角梯形ABCD中,∠BCD=90°,AD∥BC,BC=CD,E为梯形内一点,且∠BEC=90°,将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合,得到△DCF,连接EF交CD于M.已知BC=5,CF=3,则DM:
MC的值为( )
A.5:
3B.3:
5C.4:
3D.3:
4
4.如图,在平行四边形ABCD中,M,N为BD的三等分点,连接CM并延长交AB于E点,连接EN并延长交CD于F点,则DF:
AB等于( )
A.1:
3B.1:
4C.2:
5D.3:
8
5.如图,半圆O的直径AB=7,两弦AC、BD相交于点E,弦CD=
,且BD=5,则DE等于_________.
6.已知:
如图,△ABC中,AE=CE,BC=CD,求证:
ED=3EF.
7.已知:
如图,梯形ABCD中,AB∥DC,E是AB的中点,直线ED分别与对角线AC和BC的延长线交于M、N点,求证:
MD:
ME=ND:
NE.
巧用轴对称解线段和差最值
【板块一】线段和最小
1.如图,正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为()
A.
B.
C.3D.
2.如图,在五边形ABCDE中,∠BAE=120°,∠B=∠E=90°,AB=BC,AE=DE,在BC,DE上分别找一点M,N,使得△AMN周长最小时,则∠AMN+
∠ANM的度数为()
A.100°B.110°C.120°D.130°
3.如图,在锐角△ABC中,AB=
,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD,AB上的动点,则BM+MN的最小值是___________.
4.(2011福州)已知,如图,二次函数
图象的顶点为H,与x轴交于A、B两点(B在A点右侧),点H、B关于直线
对称.
(3)过点B作直线BK∥AH交直线
于K点,M、N分别为直线AH和直线
上的两个动点,连接HN、NM、MK,求HN+NM+MK的最小值.
5.已知四边形PABQ在坐标系中的位置如图所示,则当四边形PABQ的周长最小时,a=.
【板块二】线段差最大
6.(2009四川眉山)如图,已知直线
与
轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线
与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0).
(3)在抛物线的对称轴上找一点M,使
的值最大,求出点M的坐标.
大角夹半角模型
原题剖析:
如图,已知在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,若有∠EAF=45°,求证:
BE+DF=EF.
模型提取:
题型对比:
1.(2008天津)已知Rt△ABC中,
,
,有一个圆心角为
,半径的长等于
的扇形
绕点C旋转,且直线CE,CF分别与直线
交于点M,N.
(Ⅰ)当扇形
绕点C在
的内部旋转时,如图①,求证:
;
(Ⅱ)当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时,关系式
是否仍然成立?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
实战训练
2.(2010重庆改编)边长为2的等边△ABC的两边AB、AC上有两点M、N,D为△ABC外一点,且∠MDN=60°,∠BDC=120°,BD=DC.探究:
当M、N分别在AB、AC上移动时,
△AMN的周长是否为定值?
典型特例:
3.如图,点C、D在线段AB上,△PCD是等边三角形,且∠APB=120°,CD=3,设AC=x、BD=y,求y关于x的表达式.
4.如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠BAC=20°.动点P、Q分别在直线BC上运动,且始终保持∠PAQ=100°.设BP=x,CQ=y,求y与x之间的函数关系式.
5.如图,将两个全等的等腰直角三角形ABC与AFG摆放在一起,A为公共端点,∠BAC=
∠AGF=90°,它们的斜边长为2,若△ABC固定不动,△AFG绕点A旋转,AF、AG与边BC的交点分别为D、E(D、E不与B、C重合),设BE=m,CD=n.
(1)请在图中找出两对相似而不全等的三角形,并选取其中一组进行证明;
(2)求m与n的函数关系式,直接写出自变量的取值范围.
6.如图,在△ABC中,已知∠BAC=45°,AD⊥BC于D,BD=2,DC=3,求△ABC的面积.
四点共圆
【板块一】对角互补
1.如图,在△ABC中,AD⊥BC于D,DN⊥AC于N,DM⊥AB于M,求证:
∠ANM=∠B.
2.如图,在四边形ABCD中,已知∠BAD=60°,∠ABC=90°,∠BCD=120°,对角线AC,BD交于点S,且DS=2SB,P为AC的中点.
求证:
(1)∠PBD=30°;
(2)AD=DC.
【板块二】同线段同侧所张的角相等
3.如图,在四边形ABCD中,BC>AB,A在BC的垂直平分线上,D在AC的垂直平分线上,且∠CAD=∠ABD,则∠ABC+∠ADC=( )
A.90°B.120°C.150°D.180°
4.正方形ABCD的中心为O,面积为1989cm2.P为正方形内一点,且∠OPB=45°,PA:
PB=5:
14.则PB= _________ .
5.如图,在△ABC中,已知AD⊥BC,BE⊥AC,AD与BE相交于点H,P为边AB的中点,过点C作CQ⊥PH,垂足为Q,求证:
PE2=PH•PQ.
6.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,E为AD的中点,DF⊥BE,垂足为F,CF交AD于点G.
求证:
∠CFD=∠CAD.
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- 中考 几何 模型 解题