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极限习题
问题与实验1.9
选择其他典型的函数(如
等),通过实验,进一步认识
展式及其性质!
区a=-1,
程序如下:
x=-0.5:
0.01:
0.5;
y1=1.0./(1+x);
y2=1-x;
y3=y2+x.^2;
y4=y3-x.^3;
plot(x,y1,x,y2,x,y3,x,y4)
legend('y=sin(x)','二项逼近','三项逼近','四项逼近')
axis([-0.50.52])
图:
有图可见:
n項逼近中n越大,所的图像与原函数拟合的越好。
1.1.3思考与实验
为了对极限概念的理解以及极限问题的讨论和计算,特别是对高等数学中的两个在理论上和应用方面都十分重要的极限:
(1.2)
(1.3)
可以通过类似的实验进行研究和讨论,此外,下面的问题也是重要的,并且需要研究和讨论:
问题与实验1.1
选择适当的例子找出收敛数列(函数)趋近于极限的典型方式,并通过实验进行观察,你能发现多少种不同的收敛的方式?
问题与实验1.2
选择适当的例子找出发散数列(函数)的典型发散方式(过程),并通过实验进行观察,你能发现多少种不同的发散的方式?
首先我们来研究数列
的极限
,画出它的图像,其程序为:
clc
k=1000;
n=1:
2:
k;
x=(1+1./n).^n;
e=input('Inputepsilon,Please:
epsilon=')
t=e\1;
form=1:
t;
ifm>1/e;
N=m
break
end
end
plot(n,x,'r')
gridon
holdon
title('CONVERGENCEANDLIMITOFSEQUENCE')
gtext('x=(1+1./n).^n')
其图像为:
可以看出它是先单调递增,再收敛于e的。
clc
k=1000;
n=1:
2:
k;
x=n.*sin(1./n);
e=input('Inputepsilon,Please:
epsilon=')
t=e\1;
form=1:
t;
ifm>1/e;
N=m
break
end
end
plot(n,x,'r')
gridon
holdon
title('CONVERGENCEANDLIMITOFSEQUENCE')
gtext('x=n.*sin(1./n)')
其图像为:
可以看出它也是先单调递增,后趋近于1的。
这两个数列的收敛速度是很快的。
clc
k=100;
n=1:
0.2:
k;
x=n./(3.^n);
e=input('Inputepsilon,Please:
epsilon=')
t=e\1;
form=1:
t;
ifm>1/e;
N=m
break
end
end
plot(n,x,'r')
gridon
holdon
title('CONVERGENCEANDLIMITOFSEQUENCE')
gtext('x=n./(3.^n)')
可以看出它是先单调递减,再收敛于0的。
clc
k=100;
n=1:
0.2:
k;
x=1+((-1).^n./n);
e=input('Inputepsilon,Please:
epsilon=')
t=e\1;
form=1:
t;
ifm>1/e;
N=m
break
end
end
plot(n,x,'r')
gridon
holdon
title('CONVERGENCEANDLIMITOFSEQUENCE')
gtext('x=1+((-1).^n./n)')
这是一个振荡收敛数列,收敛于1.
clc
a=2;
x=[];y=[];
x
(1)=input('pleaseinputthefirsevalueofiterationx
(1)=:
');%x
(1)=0.1
n=input('pleaseinputthetotalnumberofiterationn=:
');%n=100
fori=1:
n-1;
x(i+1)=a-(x(i)-sqrt(a))^2;
end
plot(1:
n,x)
title('ITERATIONFORSOLVINGEQUATION')
gridon
clc
x=linspace(-10,10);
y=normpdf(x,0,1);
figure('color','w');
plot(x,y,'k');
标准正态分布曲线在
时也是收敛的。
以上就是几种不同的收敛函数。
下面我们来认识几种不同的发散函数:
从最简单的一元一次函数开始:
clc
x=linspace(-100,100,1000);
y=2*x+1;
plot(x,y,'bo')
再看一元二次函数,
clc
x=linspace(-1000,1000);
y=x.^2;
plot(x,y,'r*')
此外还有一元三次四次等n次函数,就不一一列举了。
clc
k=100;
n=-100:
0.01:
k;
x=atan(n);
e=input('Inputepsilon,Please:
epsilon=')
t=e\1;
form=1:
t;
ifm>1/e;
N=m
break
end
end
plot(n,x,'r')
gridon
holdon
title('CONVERGENCEANDLIMITOFSEQUENCE')
gtext('x=atan(n)')
我们可以知道当n
或
时,此函数是收敛的,当n
时,此函数却是发散的。
clc
k=100;
n=1:
0.2:
k;
x=sin(n);
e=input('Inputepsilon,Please:
epsilon=')
t=e\1;
form=1:
t;
ifm>1/e;
N=m
break
end
end
plot(n,x,'r')
gridon
holdon
title('CONVERGENCEANDLIMITOFSEQUENCE')
gtext('x=sin(n)')
还有
,n
,都是-1~1之间摆动的。
clc
a=3.3;
x=[];y=[];
x
(1)=input('pleaseinputthefirsevalueofiterationx
(1)=:
');%x
(1)=0.1
y
(1)=input('pleaseinputthefirsevalueofiterationy
(1)=:
');%y
(1)=0.1
n=input('pleaseinputthetotalnumberofiterationn=:
');%n=1000
fori=1:
n-1;
x(i+1)=a-(x(i)-sqrt(a))^2;
y(i+1)=a-(y(i)-sqrt(a))^2;
end
subplot(2,1,1)
plot(1:
n,x,'bo')
title('ITERATIONFORSOLVINGEQUATION')
subplot(2,1,2)
plot(1:
n,y,'r*')
title('ITERATIONFORSOLVINGEQUATION')
在k循环中,当k>1时,此时函数也是发散的。
a=4;
x=[];y=[];
x
(1)=input('pleaseinputthefirsevalueofiterationx
(1)=:
');%x
(1)=0.1
y
(1)=input('pleaseinputthefirsevalueofiterationy
(1)=:
');%y
(1)=0.1
n=input('pleaseinputthetotalnumberofiterationn=:
');%n=1000
fori=1:
n-1;
x(i+1)=a-(x(i)-sqrt(a))^2;
y(i+1)=a-(y(i)-sqrt(a))^2;
end
subplot(2,1,1)
plot(1:
n,x,'bo')
title('ITERATIONFORSOLVINGEQUATION')
subplot(2,1,2)
plot(1:
n,y,'r*')
title('ITERATIONFORSOLVINGEQUATION')
混沌现象也是一种特殊的发散形式。
figure;holdon;
plot(y1,x,'r.');
plot(y2,x,'r.');
gridon
双曲线也是一种特殊的发散形式。
在数学中,基本初等函数都是发散的(常数函数除外),例如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数,此外还有一些特殊的函数也是发散的,例如“整数部分”函数y=[x]=n,n
x z。 “非负小数”部分函数y=(x)=x-[x],x 。 符号函数 Sgnx= 。 Diriehlet函数D(x)= 。 Riemann函数等。
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