小升初应用题专题.docx
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小升初应用题专题
第一讲列方程解应用题
益思互动
一、问题类型:
和、差、倍、分问题
(1)倍数关系,通过关键词语“是几倍,增加几倍,增加到几倍,增加到百分之几,增长率……”来体现.
(2)多少关系:
通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现.
二、列一元一次方程解应用题步骤有哪些?
(1)设未知数,一般问什么设什么;
(2)寻找相等关系(画出来);
(3)把各个数量关系用含有未知数的代数式表示出来;
(4)根据相等关系列方程;
(5)解方程;
(6)写出答案.
益思练场
1.三角形的一边长为
,第二边比第一边长
,第三边是第一边长的
倍,用代数式表示这个三角形的周长.
2.一辆汽车,每小时行驶
千米,上午行驶4小时,下午行驶了
千米.
(1)用式子表示这辆汽车行驶的千米数.
(2)当
时,这辆汽车行驶了多少千米?
3.有甲、乙两缸金鱼,甲缸的金鱼条数是乙缸的一半,如从乙缸里取出9条金鱼放入甲缸,这样两缸鱼的条数相等,求甲缸原有的金鱼多少条?
4.熊猫电视机厂生产一批电视机,如果每天生产40台,要比原计划多生产6天,如果每天生产60台,可以比原计划提前4天完成,求原计划的生产时间和这批电视机的总台数.
5.甲仓存粮32吨,乙仓存粮57吨,以后甲仓每天存入4吨,乙仓每天存入9吨,请问几天后乙仓存粮是甲仓的2倍?
益思精析
类型一:
和、差、倍问题
【例1】
减去一个数,所得差与1.35加上
的和相等,求这个数.
【变式1】某数的
比它的
倍少11,求这个数.
【例2】甲有书的本数是乙有书的本数的3倍,甲、乙两人平均每人有82本书,求甲、乙两人各有书多少本.
【变式2】今年爸爸的年龄是小明的4倍,爷爷的年龄是小明的7倍,三人共96岁,则小明、爸爸、爷爷今年多少岁?
【例3】一个两层书架,上层放的书是下层的3倍,如果把上层的书搬60本到下层,那么两层的书一样多,求上、下层原来各有书多少本.
【例4】已知篮球、足球、排球平均每个36元,篮球比排球每个多10元,足球比排球每个多8元,每个足球多少元?
类型二:
赢亏问题
【例5】妈妈买回一筐苹果,按计划天数,如果每天吃4个,则多出48个苹果,如果每天吃6个,则又少8个苹果,问:
妈妈买回苹果多少个?
计划吃多少天?
类型三:
比例问题
【例6】一块长方形的地,长和宽的比是5:
3,长比宽多24米,这块地的面积是多少平方米?
【变式6】某车间有77个工人,已知每个工人平均每天可以加工甲种零件5个或乙种零件4个,或丙种零件3个,但加工3个甲种零件,1个乙种零件和9个丙种零件才恰好配成一套,问:
应安排生产甲、乙、丙种零件各多少人时,才能使生产的三种零件恰好配套?
第二讲行程问题
(一)
益思互动
一、相遇类型
甲从A地到B地,乙从B地到A地.然后两人在途中相遇,实质上是甲和乙一起走了A,B之间这段路程,如果两人同时出发.那么
相遇路程=甲走的路程+乙走的路程
=甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间
=(甲的速度+乙的速度)×相遇时间
=速度和×相遇时间.
一般地,相遇问题的关系式为:
速度和×相遇时间=路程和,即
二、追及类型
有两个人同时行走.一个走得快,一个走得慢,当走得慢的在前,走得快的过了一些时间就能追上他,这就产生了“追及问题”,实质上,要算走得快的人在某一段时间内,比走得慢的人多走的路程,也就是要计算两人走的路程之差(追及路程),如果设甲走得快,乙走得慢,在相同的时间(追及时间)内:
追及路程=甲走的路程-乙走的路程
=甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间
=(甲的速度-乙的速度)×追及时间
=速度差×追及时间.
一般地,追及问题有这样的数量关系:
追及路程=速度差×追及时间,即
益思练场
1.一列客车和一列货车同时从两个车站相对开出,货车每小时行35千米,客车每小时行45千米,2.5小时相遇,两车站相距多少千米?
2.甲、乙二人分别从相距110千米的两地相对而行,5小时后相遇,甲每小时行2千米,问乙每小时行多少千米?
3.两列火车同时从相距650千米的两地相向而行,甲列火车每小时行50千米,乙列火车每小时行52千米,4小时后还差多少千米才能相遇?
4.某船在静水中的速度是每小时20千米,它从上游甲地顺流开往乙地共花去6小时,水速每小时4千米,问从乙地返回甲地需要多少时间?
益思精析
类型一:
一次相遇问题
【例1】甲、乙两站相距486千米,两列火车同时从两站相对开出,5小时相遇,第一列火车比第二列火车每小时快1.7千米,两列火车每小时的速度各是多少?
【变式1】两个县城相距52.5千米,甲、乙二人分别从两城同时相对而行,甲每小时行5千米,乙每小时比甲快0.5千米,几小时后相遇?
类型二:
二次相遇问题
【例2】快慢两车同时从甲乙两站相对出发,快车每小时行60千米,慢车每小时行48千米,两车相遇后又以原速前进,到达对方站后立即返回,两车再次相遇时快车比慢车多行24千米,求甲乙两地距离?
类型三:
环形相遇问题
【例3】甲、乙两人同时从操场上一点A相背而行,甲的速度为5m/s,乙的速度为7m/s,他们从出发到第一次相遇共用了30s,求操场一圈的长?
类型四:
简单追及问题
【例4】弟弟以每分钟50米的速度从家步行去书店,10分钟后哥哥从家出发骑自行车去追弟弟,结果在离家900米处追上弟弟,求哥哥骑自行车的速度.
类型五:
复杂追及问题
【例5】A、B两人跑步,若B先跑20米,则A跑10秒钟追上B,若B先跑4秒钟,则A跑8秒钟就能追上B,A、B二人的速度各是多少?
【变式5】快慢两列火车在双轨铁路上同时同向出发,快车每秒行20米,慢车每秒行10米,行15秒钟后,快车超过慢车;如果两列火车车尾相齐行进,则10秒钟后快车超过慢车,求两列火车的车长.
类型六:
环形追及问题
【例6】甲乙两只兔子绕着圆形池塘玩耍,已知甲跑一圈要15分钟,乙跑一圈要20分钟,如果它们分别从直径的两端同时出发,那么出发后多少分钟甲追上乙?
【变式6】A、B两人骑车同时同地出发,沿着长2000米环形路行驶,如果他们反向而行,那么经过4分钟相遇,如果同向而行,那么每经过20分钟A就追上B,求两人骑车的速度?
第三讲行程问题
(二)
益思互动
在行程问题这个大家族中,除了我们常常研究的相遇与追及外,还有三大类我们妊须了解的问题:
火车过桥、流水行程和时钟问题,它们虽然也涉及速度、时间、路程这三个基本关系,但在应用中要兼顾考虑一些其它因素,譬如:
火车车长、水流速度等等.其中火车过桥、流水行程是我们在以前的学习中已经有所接触的内容.在下面的学习中我们先巩固原有基本概念,而后相应的拓展提高!
一、火车过桥问题
(1)火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时问.因此火车的路程是桥长与车身长度之和.
(2)火车与人错身时.忽略人本身的长度,两者路程和为火车本身长度;火车与火车错身时,两者路程和则为两车身长度之和.
(3)火车与火车上的人错身时,只要认为人具备所在火车的速度,而忽略本身长度.那么他所看到的错车的相应路程和是对面火车的长度.
对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这儿种类型的题目.在分析题目的时候一定得结合着图来进行.
二、流水行船中的相遇与追及问题
(1)两只船在河流中相遇问题.当甲、乙两船(甲在上游、乙在下游)在江河里相向开出.它们单位时间靠拢的路程等于甲、乙两船速度和.
这是因为:
甲船顺水速度
乙船逆水速度
(甲船速
水速)
(乙船速
水速)
甲船船速
乙船船速.
这就是说,两船在水中的相遇问题与静水中的及两车在陆地上的相遇问题一样.与水速没有关系.
(2)同样道理,如果两只船,同向运动,一只船追上另一只船所用的时间,也只有与路程差和船速有关,与水速无关.
这是因为:
甲船顺水速度
乙船顺水速度
(甲船速
水速)
(乙船速
水速)
甲船速
乙船速.
也有:
甲船逆水速度
乙船逆水速度=(甲船速
水速)
(乙船速
水速)
甲船速
乙船速.
这说明水中追及问题与在静水追及问题一样,由上述讨论知,解流水行船问题,更多地是把它转化为已学过的相遇和追及问题来解答.
顺水速度
船速
水速,
,
逆水速度
船速
水速,
,
(其中
为船在静水中的速度,
为水流的速度).
由上可知:
船速
(顺水速度
逆水速度)÷2;
水速
(顺水速度
逆水速度)÷2.
益思练场
1.一条隧道长760米,现有一列长240米的火车以每秒25米的速度经过这条隧道要用多少时间?
2.思齐夏令营的小同学们要过一座296米长的大桥,他们共有162人,排成两路纵队,每两个人前后相距0.5米,队伍行进的速度是每分钟56米,问整个队伍过桥共需多少分钟?
3.甲乙二船航行A、B两个码头之间,全程180千米,甲顺水航行3小时,返回原地用5小时,乙船顺水航行同一段水路用4.5小时,问乙船返回原地比去时多用几小时?
4.一列火车通过440米的桥需要40秒,以同样的速度通过310米的隧道需要30秒,这列火车的速度和车身长各是多少?
益思精析
类型一:
火车过桥问题
【例1】一列火车通过一座长1000米的大桥需要用65秒种,如果以同样的速度穿过一条长730米的隧道则要用50秒钟,求这列火车的车身长和速度.
类型二:
火车行程问题
【例2】一人以每分钟120米的速度沿铁路边跑步,一列长288米的火车从对面开来,从他身边通过用了8秒钟,求火车的速度.
类型三:
流水问题
(1)
【例3】甲、乙两船在静水中分别为每小时24千米和每小时32千米,两船从某河边相距336千米的A、B两港同时相向而行,几小时相遇?
如果同向而行,几小时后,乙船追上甲船?
类型四:
流水问题
(2)
【例4】小刚和小强租一条小船,向上游划去,不慎将头上的帽子掉进江中,当他们发现后调过船头时,帽子与船已经相距2千米,假定小船的速度是每小时4千米,水速是每小时2千米,那么追上帽子要多少时间?
类型五:
坡度问题
【例5】从A到B是1千米的下坡路,从B到C是3千米的平路,从C到D是2.5千米的上坡路,小张和小王步行,下坡路速度都是每小时6千米,平路速度都是每小时2千米,问小张和小王分别从A、D同时出发,相向而行经过多少长时间两人相遇?
第四讲分数、百分数应用题
益思互动
1.求常见的百分率
如:
达标率、及格率、成活率、发芽率、出勤率等.
求百分率就是一个数是另一个数的百分之几.
2.求一个数比另一个数多(或少)百分之几
实际生活中,人们常用增加了百分之几,减
少了百分之几,节约了百分之几等来表示增加或减少的幅度.
求甲比乙多百分之几(甲-乙)÷乙.
求乙比甲少百分之几(甲-乙)÷甲.
3.求一个数的百分之几是多少
一个数(单位“1”)×百分率.
4.已知一个数的百分之几是多少,求这个数部分量÷百分率
一个数(单位“1”)
5.折扣几折就是十分之几,即百分之几十
益思练场
1.若甲是乙的
,乙是丙的
,则甲、乙、丙三个数的比是.
2.甲、乙、丙三人共储蓄387元,甲比乙多储蓄13元,丙是乙的75%,甲、乙、丙三人各储蓄多少元?
3.一种石英表,先涨价
,然后降价
,这时的售价为49.5元,原价是多少元?
4.某项目的成本包括:
人力成本、差旅费、活动费、会议费、办公费、招待费有及其他运行费用,它们所占比例比例如下图所示,其中活动费是10320元,则该项目的成本是元.
5.王叔叔加工一批零件,第一天完成计划的
,第二天完成880个,第三天完成计划的
,结果超额完成10%,求计划生产的零件多少个?
益思精析
类型一:
单位“1”已知问题
【例1】某工厂计划生产一批零件,第一次完成计划的
,第二次完成计划的
,第三次完成450个,结果超出计划的
,计划生产零件多少?
类型二:
单位“1”未知问题
【例2】有两筐西瓜,已知第一筐的重量是第二筐的
,若第一筐中拿出20千克放入第二筐,则第一筐西瓜的重量是第二筐的
,求第一筐西瓜的重量.
【变式2】甲、乙、丙、丁四筐苹果,甲筐苹果的质量是其它三筐总质量的一半,乙筐苹果的质量是其它三筐总质量的
,丙筐苹果的质量是其它三筐总质量的
,丁筐苹果比乙筐重15千克,求四筐苹果共重多少千克?
类型三:
分数图形问题
【例3】下图为长沙园林规划,其中草地占正方形的
,竹林占圆形的
,正方形和圆形的公共部分是水池,已知竹林面积比草地面积大450平方米,水池的面积是多少?
类型四:
分数工程问题
【例4】加工一批玩具,若甲、乙合作则24天可以完成,现在由甲先做16天,然后乙再做12天,还剩下这批零件的
没有完成,已知甲每天比乙多加工3件,求这批玩具的件数.
类型五:
百分数有关(存活率、利率)问题
【例5】逸夫中学去年植树800棵,成活率为90%,今年植树成活率为95%,已知去年春季比今年春季多死了20棵.两年一共成活了多少棵树?
类型六:
百分数有关浓度问题
【例6】有含盐25%的甲种溶液80克,与含盐50%的乙种溶液120克混合后,得到溶液的浓度是多少?
第九讲浓度与利润问题
益思互动
1.浓度问题
(1)浓度问题相关公式:
溶液=溶质+溶剂;
浓度=
×100%=
×100%.
(2)常用方法:
①抓不变量:
一般情况下在经济问题中成本是不变量,浓度问题中溶剂是不变量,我们可以用画图来分析;
②方程法:
对于经济浓度问题,采用方程来求解是简便、有效的方法;
③十字交叉法;
④浓度三角:
浓度三角在解决浓度问题时非常有用.
2.利润问题
商店出售商品时,为了获得最大的利润,商家总是“低进高出”,只有这样才能赚取差价,这个差价就会产生利润,实际上,在商品贸易上的许多数学问题都会涉及到三个量:
成本、利润及定价.
成本——购进商品所需的本钱,又叫进价或成本价;
定价——商品出售的价格,又叫售价或卖价;
利润——产品定价中高于成本以上的那一部分.
为了衡量获得利润的大小,通常采用:
“利润百分数”或“利润率”这个量:
售价=成本+利润,利润率=
×100%
=
×100%=(
)×100%;
售价=成本×(
利润率);
成本=
.
商品有时会打折出售,“几折”就是表示十分之几,也就是百分之几十.
益思练场
1.现在浓度为20%的糖水300克,要把它变为浓度为40%的糖水,需要加糖多少克?
2.用含氨0.15%的氨水进行油菜施肥,现有含氨16%的氨水30千克,配置时需加水多少千克?
3.有若干千克4%的盐水,蒸发了一些水分后变成了10%的盐水,再加300克4%的盐水,混合后变成6.4%的盐水,问最初的盐水是多少千克?
4.一件衣服的进价为60元,若按原价的8折出售获利20元,则原价是元,利润率是.
益思精析
类型一:
配比问题
【例1】现有浓度为10%的盐水20千克.再加入多少千克浓度为30%的盐水,可以得到浓度为22%的盐水?
【例2】一个容器里装有10升纯酒精,倒出1升后,用水加满,再倒出1升,用水加满,再倒出1升,用水加满,这时容器内的酒精溶液的浓度是多少?
类型二:
混装问题
【例3】甲、乙、丙3个试管中各盛有10克、20克、30克水,把某种质量分数的盐水10克倒入甲管中,混合后取10克倒入乙管中,再混合后从乙管中取出10克倒入丙管中,现在丙管中的盐水的质量分数为0.5%.最早倒入甲管中的盐水质量分数是多少?
类型三:
利润问题
【例4】商店以每双13元的价格购进一批凉鞋,售价为每双14.8元,卖到还剩5双时,除去购进这批凉鞋的成本还获利88元,这批凉鞋共多少双?
类型四:
利润率问题
【例5】某商场在促销活动中,将一批商品降价处理,如果减去定价的12%出售,那么可盈利170元;如果减去定价的20%出售,那么亏损150元.此商品的购入价是多少元?
类型五:
折扣问题
【例6】红星商店购回一批商品,按20%的利润定价,然后打八折出售,结果亏损400元,这批商品的成本是多少元?
【变式6】某商品按定价出售,每个可获得45元钱的利润,现在按定价的八五折出售8个所获得的利润,与按定价每个减价35元出售12个获得的利润一样,这一商品每个定价是多少元?
第十讲工程问题
益思互动
1.工程问题
工程问题,究其本质是运用分数应用题的量率对应关系,即用对应分率表示工作总量与工作
效率,这种方法可以称作是一种“工程习惯”,这一类问题称之为“工程问题”.
其基本数量关系:
工作总量=工程效率×工作时间;合作的效率=各单独做的效率的和.
当工作总量未给出具体数量时,常设总工作量为“1”,分析时可彩列表或画图帮助理解题意.
2.牛吃草问题
牛吃草的解题步骤:
同一片牧场中的“牛吃草”问题,一般的解法可总结为:
(1)设定1头牛1天吃草量为“1”;
(2)草的生长速度=(对应牛的头数×较多天数-对应牛的头数×较少天数)÷(较多天数-较少天数);
(3)原来的草量=对应牛的头数×吃的天数+草地的生长速率×吃的天数;
(4)吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度);
(5)牛的头数=原来的草量÷吃的天数=草的生长速度.
多块草地的牛吃草的问题
多块草地的“牛吃草”问题,一般要将草地面积变得统一,一般情况下可以找多块草地面积的最小公倍数,这样可以避开小数分数运算,但如果数据较大时我们一般把面积统一为“1”相对会简单些.
益思练场
1.有一批书,小明9天可装订
,小丽20天可装订
,小时和小丽两个人合作几天可以装完?
2.一件工程,甲乙两人合作8天可能完成,乙丙两人合作6天可以完成,丙丁两人合作12天可以完成,那到甲丁丙合作几天可以完成?
3.某村挖一条水渠,若甲乙两个队各单独挖,甲队要12天挖完,乙队要15天挖完,现在甲、乙两队合挖2天后,丙队也来参加,自丙队加入后3天便完工,若丙队单独挖,需几天完工?
益思精析
类型一:
合作问题
【例1】一项工作,甲、乙合做要12天完成,若甲先做3天后,再由乙工作8天,共完成这件工程的
,如果这件工作由甲、乙单独做,甲需要多少天?
乙需要多少天?
【例2】甲、乙、丙三人合修一堵围墙,甲、乙合修6天完成了
,乙、丙合修2天完成了余下工程的
,剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成,现在共领工资18000元,依工作量分配,甲、乙、丙各得多少元?
类型二:
注水问题
【例3】有一水池,装有甲乙两个注水管,下面装有丙管放水,池空时,单开甲管5分钟可注满,单开乙管10分钟可注满,水池装满水后,单开丙管15分钟可将水放完,如果在池空时,将甲、乙、丙三管齐开,2分钟后关闭乙管,还有多少分钟可注满水池?
【例4】一个水池上有A、B、C三个进水龙头,下面的表列出了只打开其中两个水龙头时灌满水池需要的时间,那么,打开三个水龙头时灌满需要是多少时间?
类型三:
牛吃草问题
【例5】有一片牧草地,如果饲养20头牛,6天可以把草吃完,如果饲养16头牛,则这些牛9天可以把草吃完,如果饲养32头牛,多少天可把草吃完?
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