高考江苏卷数学试题与答案.docx
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高考江苏卷数学试题与答案
2003年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学(理工农医类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷
3至10页考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
(1)如果函数yax2bxa的图象与x轴有两个交点,则点(a,b)在aOb平面上的区
域(不包含边界)为()
bbbb
OaO
(A)
(B)
(2)抛物线y
ax2
的准线方程是
1
(B)-
(A)
8
aOaOa
(C)(D)
y2,则a的值为()
1
(C)8(D)-8
8
(3)已知x(
0),cosx
4,则tg2x
(
)
2
5
7
7
24
24
(A)
(B)-
(C)
(D)-
24
x
24
7
7
1,x
0,
(4)设函数f(x)
2
1,则x0的取值范围是(
)
1
若f(x0)
x2,x
0
(A)(-1,1)
(B)(1,)
(C)(-∞,-
2)∪(0,+∞)
(D)(-∞,-1)∪(1,+∞)
(5)O是平面上一定点,
A、B、C
是平面上不共线的三个点,动点
P满足
OPOA
(AB
AC),
0,
则,
P的轨迹一定通过
ABC的
AB
AC
(A)外心
(B)内心
(C)重心
(D)垂心
(6)函数y
lnx
1,x
(1,
)的反函数为(
)
x
1
(A)y
ex
1
(0,
)
(B)
ex
x
1
(C)y
ex
1,x
(
0)
(D)
ex
1
y
ex
1
x
(0,
)
ex
1
y
ex
1
x
(
0)
ex
1
(7)棱长为a的正方体中,连结相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为
()
a3
a3
a3
a3
(A)
(B)
4
(C)
6
(D)
3
ax2
12
(8)设a
0,f(x)
bx
c,曲线
y
f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的倾斜角
的取值范围为
0,
则P到曲线y
f(x)对称轴距离的取值范围为
(
)
4
(A)0,1
(B)0,1
(C)0,
b
(D)0,b1
a
2a
2a
2a
(9)已知方程(x2
2xm)(x2
2x
n)
0的四个根组成一个首项为
1的的等差数列,
则|mn|
4
(
)
(A)1
(B)3
(C)1
(D)3
4
2
8
(10)已知双曲线中心在原点且一个焦点为
F(
7,0),直线yx
1与其相交于M、
N两点,MN中点的横坐标为
2
(
)
,则此双曲线的方程是
3
(D)x2
y2
(A)x2
y2
1
(B)x2
y2
1
(C)x2
y2
1
1
3
4
4
3
5
2
2
5
(11)已知长方形的四个顶点
A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1),一质点从
AB的中点P0沿与AB的夹角
的方向射到BC上的点P1后,依次反射到CD、DA和
AB上的点P2、P3和P4(入射角等于反射角),设P4的坐标为(x4
,0),若1
x4
2,
则tg的取值范围是
(
)
(A)(1,1)
(B)(1,2)
(C)(2,1)
(D)(2,2)
3
3
3
5
2
5
3
(12)一个四面体的所有棱长都为
2,四个顶点在同一球面上,
则此球的表面积为(
)
(A)3
(B)4
(C)33
(D)6
2003年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)
数学(理工农医类)
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二.填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分把答案填在题中横线上
(13)(x21)9的展开式中x9系数是
2x
(14)某公司生产三种型号的轿车,产量分别为
1200辆,6000辆和2000辆为检验
该公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取
46辆进行检验,这三种型号的轿车依
次应抽取___________,__________,___________辆
(15)某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为
6个部分(如图)
现要栽种4
种
不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,
不同的栽种方法
有___________________种(以数字作答)
5
6
1
4
3
2
(16)对于四面体ABCD,给出下列四个命题
①若AB
AC,BD
CD,则BC
AD
②若AB
CD,AC
BD,则BC
AD
③若AB
AC,BD
CD,则BC
AD④若ABCD,ACBD,则BC
AD
其中真命题的序号是__________________.(写出所有真命题的序号)
三、解答题:
本大题共6小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或或演算步骤
(17)(本小题满分12分)
有三种产品,合格率分别为0.90,0.95和0.95,各抽取一件进行检验
(Ⅰ)求恰有一件不合格的概率;
(Ⅱ)求至少有两件不合格的概率(精确到0.001)
(18)(本小题满分12分)
已知函数f(x)sin(
x)(0,0
)是R上的偶函数,其图象关于点
M(3,0)对称,且在区间0,
上是单调函数
求
和
的值
4
2
(19)(本小题满分12分)
如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面是等腰直角三角形,ACB90,侧
棱AA12,D、E分别是CC1与A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G(Ⅰ)求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示)
(Ⅱ)求点A1到平面AED的距离
C1
A1B1
D
E
G
C
AB
(20)(本小题满分12分)
已知常数a0,向量c(0,a),i(1,0)经过原点O以ci为方向向量的直线与
经过定点A(0,a)以i2c为方向向量的直线相交于P,其中R试问:
是否存在两个
定点E、F,使得PEPF为定值若存在,求出E、F的坐标;若不存在,说明理由
(21)(本小题满分12分)已知a0,n为正整数
(Ⅰ)设
y(x
a)n,证明y'n(xa)n1;
(Ⅱ)设
fn(x)
xn
(xa)n,对任意na,证明fn1'(n1)(n1)fn'(n)
(22)(本小题满分
14分)
设a
0,如图,已知直线
l:
y
ax及曲线C:
y
x2,C上的点Q1
的横坐标为
a(0
a
a).从C上的点Q(n
1)
x轴,交直线
l
于点
,再从点
Pn1
作直线平行于
Pn1
1
1
n
作直线平行于y轴,交曲线C于点Qn
1.Qn(n
1,2,3,⋯)的横坐标构成数列
an
(Ⅰ)试求an
1与an的关系,并求
a
n
的通项公式;
(Ⅱ)当a
1,a1
1
n
1
(a
a
时,证明
1
)a
2
k
k
k2
k
1
32
c
n
1
y
l
(Ⅲ)当a
1
时,证明
(ak
ak1)ak2
3
k1
r2
Q3
r1
Q2
Q1
O
a1a2
a3x
2003年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(江苏卷)答案
一、选择题:
本题考查基本知识和基本运算,每小题
5
分,满分60分.
1.C2.B3.D4.D5.B6.B7.C8.B9.C10.D11.C12.A
二、填空题:
本题考查基本知识和基本运算,每小题
4
分,满分16分.
13.21
14.6,30,1015.12016.①④
2
三、解答题
17.本小题要主考查相互独立事件概率的计算,运用数学知识解决问题的能力,满分
12分.
解:
设三种产品各抽取一件,抽到合格产品的事件分别为
A、B和C.
(Ⅰ)
P(A)
0.90,P(B)
P(C)
0.95,
P(A)
0.10,P(B)
P(C)
0.05.
因为事件
A,B,C相互独立,恰有一件不合格的概率为
P(ABC)P(ABC)P(ABC)P(A)P(B)P(C)P(A)P(B)P(C)20.900.950.050.100.950.95
P(A)P(B)P(C)
0.176
答:
恰有一件不合格的概率为
0.176.
解法一:
至少有两件不合格的概率为
P(ABC)P(AB
C)P(ABC)P(ABC)
0.90
0.052
2
0.10
0.05
0.95
0.10
0.052
0.012
解法二:
三件产品都合格的概率为
P(ABC)
P(A)P(B)
P(C)
0.90
0.952
0.812
由(Ⅰ)知,恰有一件不合格的概率为
0.176,所以至有两件不合格的概率为
1[P(AB
C)
0.176]1(0.8120.176)
0.012.
答:
至少有两件不合的概率为
0.012.
(18)在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识,以及分析问题和推理计算能力,满12分分。
解:
由
f(x)是偶函数,得f(
x)f(x),
即sin(
x
)
sin(
x
),
所以
cos
sin
x
cos
sin
x
对任意都成立
且
0,
所以得
cos0.
x
依题设0
所以解得
.
2
由
的图象关于点
M
对称
得
3
x)
3
x),
f(x)
f(
f(
4
4
取x
0,得f(3)
sin(3
)
cos3
4
4
2
4
f(3)
sin(3
2
)cos3
4
4
4
cos3
0,又
0,得3
4
2
k,k
1,2,3,
4
2(2k
1),k
0,1,2,.
3
当
k
时
2
2
x
)
在
[0,
]
上是减函数
;
0
f(x)
sin(
2
3
3
2
当
k
时
2,f(x)
sin(2x
)
在
上是减函数
;
1,
[0,
]
2
2
当
k
时
10
f(x)
sin(
x
在
]
上不是单调函数
;
2
3
)
[0,
2
2
所以,综合得
2或
2.
3
19.本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识,同时考查空
间想象能力和推理运算能力
.满分12分.
解法一:
(Ⅰ)解:
连结
BG,则BG是BE在面ABD的射影,即∠EBG是A1B与平面ABD所成
的角.
设F为AB中点,连结EF、FC,
D,E分别是CC1,A1B的中点,又DC
平面ABC,
CDEF为矩形
连结DE,G是ADB的重心,
G
DF.在直角三角形EFD中
EF2
FGFD
1FD2,
EF
1,
FD
3.
3
于是ED
2,EG
1
2
6.
3
3
FCCD
2,AB22,A1B23,EB
3.
sin
EBG
EG
6
1
2
EB
3
3
.
3
2
A1B与平面ABD所成的角是arcsin.
3
(Ⅱ)连结A1D,有VA1
AED
VDAA1E
ED
AB,EDEF,又EF
ABF,
ED
平面A1AB,
设A1到平面AED的距离为h,
则SAEDh
SAAB
ED
1
又SA1AE
1
1
2,SAED
1
6
SA1AB
A1AAB
AEED
.
2
4
2
2
h
22
26即A到平面AED的距离为
26
6
.
1
.
3
3
2
解法二:
(Ⅰ)连结BG,则BG是BE在面ABD的射影,即∠A1BG是A1B与平ABD所成的角.
如图所示建立坐标系,坐标原点为
O,设CA=2a,
则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1)
A(2a,0,2),E(a,a,1),G(2a,2a,1).
1
3
3
3
CE
a
a
2
(0,
2a,1).
2
a
2
2
解得
(,
),BD
GEBD
3
0.a1.
3
3
3
3
BA1
(2,
2,2),BG
2
4
1
(,
).
3
3
3
cos
ABG
BA1
BG
14/3
7
.
1
|BA1||BG|
1
3
2
3
21
3
7
A1B与平面ABD所成角是arccos.
3
(Ⅱ)由(Ⅰ)有A(2,0,0)A1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1)
AE
ED
(1,1,1)(1,1,0)
0,
AA1
ED
(0,0,2)(1,1,0)
0,
ED平面AA1E,又ED
平面AED.
20.
(Ⅰ)当a
2时,方程①是圆方程,故不存在合乎题意的定点
E和F;
2
(Ⅱ)当0
a
2
时,方程①表示椭圆,焦点E(1
1
a2,a)和F(
1
1
a2,a)
2
2
2
2
2
2
2
(Ⅲ)当a
2时,方程①也表示椭圆,焦点
E(0,1
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