七年级数学上册.docx
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七年级数学上册
有理数一章是在小学学习的基础上,把数的范围扩充到有理数,它是整个代数的基础,也是数学乃至物理、化学的基础。
特别是有理数的运算,尤为基本。
。
因此,务必使学生切实学好。
下面谈谈笔者在教学实践中的一些体会:
一、理清概念,掌握法则。
掌握负数概念,是这章的主要难点。
解决这个难点主要可从以下方面解决:
1.引进“负数”的必要性。
首先让学生回顾算术中整数和分数的产生过程,通过生动的事例,说明客观世界存在种种具有相反意义的量。
让学生觉得,为了分清具有相反意义的量,负数的引进是必然的,有其现实基础的。
充分体现数学来源于生活这一哲理。
学生认识用文字来区分相反意义的量是合理的,但同时又让学生感受到这种表示法的缺点,从而认识“十”、“一”号表示数的必要性及意义,以加深对正数、负数、零的理解。
2.总结有理数的分类。
进而,引导学生按“整”、“分”来分类:
整数——正整数、零、负整数。
有理数
分数——正分数、负分数。
又可按“正、负、零”来分类:
正整数(就是自然数)
正有理数
正分数、(包括正小数)
有理数零
负整数
负有理数
负分数(包括负小数)
至此,学生对有理数有了一个完整的、清晰的概念。
建立了有理数概念,再通过数轴,说明相反数、绝对值、有理数大小比较等概念。
这些概念是建立有理数运算法则的基础。
有理数的加法法则,是有理数运算法则中的重点与难点。
重点在于“它是有理数的基本运算,以加法为基础,可以定义减法和导出减法法则。
”难点难在“异号两数相加法则的规定,为什么要取绝对值较大的加数的符号?
为什么要从较大的绝对值减去较小的绝对值?
(既是相加,何故要减?
)”为了解决这个难点,以课本题目为例:
从一点出发,经过两次运动(向东为正),结果怎样?
ⅰ.如果向东5米,再向西3米;
从图说明向东走5米,再向西走3米。
这里由于方向相反,抵销了三米,抵销后所得的结果就是要求的和。
ⅱ.如果向东3米,再向西5米。
从图说明向东走3米,再向西走5米。
这里由于方向相反,抵销了三米,抵销后所得的结果就是所求的和。
抓住“抵销”两字,使学生易于理解“抵销”是求差。
故应从较大的绝对值减去较小的绝对值从而得出和的绝对值,和的符号是应与绝对值较大的加数同号。
然后,再让学生举出收入与支出,上升与下降的具体事例来进一步弄清“抵销”的情况,从而加深理解有理数加法法则的规定是合理的。
掌握了有理数的加法法则,减法就会迎刃而解。
学生掌握有理数乘法法则并不难,有了乘法,除法也就水到到渠成了。
这里应该让学生透彻理解有理数的加法与减法(有理数的乘法与除法)互为逆运算,这两种运算可以互相转化。
a-b=a+(-b)a+b=a-(-b)
a÷b=a×1/ba×b=a÷1/b(b≠0)
还须指出:
任何一个有理数都是由“性质符号”与“绝对值”两部分组成。
。
因此在有理数运算中总是经过这样两步,首先要确定结果的性质符号,其次是进行绝对值的计算。
这是有理数运算与算术运算的联系。
但是小学的四则运算不需考虑性质符号,这是算术运算与有理数运算的区别。
小学生长期习惯于算术运算,初学有理数运算时易犯忽略性质符号或搞错性质符号的错误,这是应该注意的。
二、由浅入深,逐步提高。
学生学习了有理数的加法与减法之后,接着是学习代数和。
以下面式子为例:
19-(-5)+(-3)-(+7)……①
=19+(+5)+(-3)+(-7)……②
=19+5-3-7……③
=14…………④
指出:
1③比②形式上较为简单。
2.③的读法有两种:
第一种读为“十九、正五、负三、负七的和”;第二种读为“19“,加上5、减去3,再减去7”。
两种读法,计算的结果都是14。
3.③的计算较为方便。
既然省略加号的代数和具有上述三个优点(形式简单、符号统一、计算方便。
)因此引起了学生的兴趣,他们感到必须学好代数和。
有理数混合运算的最终结果必是代数和。
因此代数和是有理数混合运算的基础。
必须要求学生学好,可让学生练习下列习题:
1.12+7-5-30+2
2.(-1/3)-(+1/2)+(-3/4)-(-2/3);
3.(-1.5)+1.4-(-3.6)-4.3+(-5.2)-(+1).
通过这些内容的教学拓展,可使学生进一步提高运算能力。
三、规范准确、扩展能力。
有理数的混合运算,是本章教材的重点,也是难点。
教材把它们分散编排在有理数乘法或除法之后,使难点分散而在乘方之后再作综合性的编排。
这样有利于学生理解掌握。
引导学生仔细分析教材的例题,研究规律,总结方法,把握运算顺序,紧扣运算法则,并予以归纳。
①在进行加减运算时,一般地,遇减化加,省略加号,求代数和。
②在进行乘除运算时,一般地,遇除化乘。
③在计算加减乘除乘方混合运算时,按加减分段。
这样,可以化整为零,化难为易。
同时又可以为以后整式中的“项”打下埋伏。
此外,还要注意精选习题,组织练习课,提高计算能力。
四、总结归纳,演绎推广。
“有理数”单元中所列举的运算律都是小学教材里所有的。
因此在教学上可按照下列程序进行:
复习小学的运算律→验证是否适用于有理数→总结出一般式→写出运算律的命题。
通过这样的程序设计,使学生领悟到知识的延续性,掌握规律,不断总结归纳,并予以推广,从而达到遵循客观规律的辩证唯物主义教育之功效。
第一章有理数
一、有理数
1、有理数的分类:
按有理数的定义分类:
按有理数的性质符号分类:
正整数正整数
整数零正有理数
有理数负整数正分数
正分数有理数0
分数负整数
负整数负有理数
负分数
两种分类有一共同点:
都是将有理数细分为五类,即正整数、正分数、0、负整数、
负分数。
2、正数和负数用来表示具有相反意义的数。
3、非负数指正数和0,非正数指负数和0。
4、0既不是正数,也不是负数,它是正数与负数的分界,是唯一的中性数。
0不单纯表示没有,是一个确定的数。
5、0是整数不是分数。
二、数轴
1、定义:
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
2、数轴的三要素是:
原点、正方向、单位长度。
3、数轴上的点与有理数的关系:
所有的有理数都可以用数轴上的点表示,正有理数可以用原点右边的点表示,负有
理数可以用原点左边的点表示,零用原点表示。
所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数。
三、相反数
1、定义:
只有符号不同的两个数互为相反数。
2、几何定义:
在数轴上分别位于原点的两旁,到原点的距离相等的两个点所表示的数,叫做互为
相反数。
3、代数定义:
只有符号不同的两个数叫做互为相反数,0的相反数是0。
4、相反数的表示方法:
正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,0的相反数是0。
数a的相反数是–a,这里的数a是任意有理数,即a可以是正数、负数或0。
当a>0时,–a<0(正数的相反数是负数);
当a<0时,–a>0(负数的相反数是正数);
当a=0时,–a=0(0的相反数是0)。
以上说明,–a不一定就是负数。
6、多重符号的化简方法:
一个正数的前面有偶数个“一”,可以把“一”一起去掉;一个正数的前面有奇数个“一”,则化简符号后只剩一个“一”,0的前面不论有多少个“+”,“一”,化简后仍是0。
(奇负偶正)
四、绝对值
1、定义:
在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
2、几何定义:
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。
3、代数定义:
一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0。
a(a>0),
即对于任何有理数a,都有|a|=0(a=0)
–a(a<0)
由绝对值的代数定义可以看出,当|a|=a时,可以取正数和0;当|a|=一a时,
a可以取负数和0。
4、绝对值的非负性:
由绝对值的定义可知:
不论有理数a取何值,它的绝对值总是正数或0(通常也称
非负数),绝对值具有非负性,即|a|≥0。
5、绝对值的计算规律:
(1)互为相反数的两个数的绝对值相等.
(2)若|a|=|b|,则a=b或a=-b.
(3)若|a|+|b|=0,则|a|=0,且|b|=0.
相关结论:
(1)0的相反数是它本身。
(2)非负数的绝对值是它本身。
(3)非正数的绝对值是它的相反数。
(4)绝对值最小的数是0。
(5)互为相反数的两个数的绝对值相等。
(6)任何数的绝对值都是它的正数或0,即|a|≥0。
五、有理数的大小比较
1、在数轴上,右边的数总比左边的数大;
2、正数大于一切负数和0,负数小于一切正数和0,0大于一切负数而小于一切正数。
3、两个负数,绝对值大的反而小。
在有理数中,既没有最大的正数,也没有最小的正数;同样,既没有最大的负数,也没有最小的负数。
绝对值最小的数是0,最小的正整数是1,最大的负整数是-1
六、倒数
1、定义:
乘积为“1”的两个数互为倒数。
2、求法:
颠倒这个数的分子和分母。
3、a(a≠0)的倒数是
.
有理数的运算
一、有理数的加法法则:
1、同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
2、绝对值不等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
3、一个数同零相加,仍得这个数;
4、两个互为相反数的两个数相加得0。
二、有理数的减法法则:
减去一个数,等于加上这个数的相反数。
三、有理数的乘法法则:
1、两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;
2、任何数同0相乘,都得0;
3、乘积是1的两个数互为倒数。
四、有理数的除法法则:
1、除以一个不等于0的数,等于乘以这个数的倒数;
2、两个有理数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。
0除以任何一个不等于0的
数,都得0。
五、运算律:
①加法的交换律:
a+b=b+a;
②加法的结合律:
(a+b)+c=a+(b+c);
③乘法的交换律:
ab=ba;
④乘法的结合律:
(ab)c=a(bc);
⑤乘法对加法的分配律:
a(b+c)=ab+ac;
注:
除法没有分配律。
六、乘方
1、定义:
求n个相同因数的积的运算,叫做乘方。
乘方的结果叫做幂,在an中,a叫做底数,n叫做指数。
当an看做a的n次方的结果时,也可读作a的n次幂。
2、幂的符号法则:
正数的任何次幂都是正数;负数的奇次幂是负数;负数的偶次幂是正数;
0的任何次正整数次幂都是0。
七、有理数的混合运算顺序:
1.先乘方,再乘除,最后加减;
2.同级运算,从左到右进行;
3.如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行。
八、科学计数法、有效数字、近似数
1、科学计数法
(1)定义:
把一个绝对值大于10的数表示成a×10n的形式(其中a是整数数位只有一位的数,即1≤|a|<10,n是正整数),这种计数方法叫做科学计数法。
(2)用科学计数法表示一个n位整数,其中10的指数是这个数的整数位数减1。
2、有效数字的定义:
四舍五入后的近似数,从左边第一个不是0的数字起,到精确到的数位止,所有的数
字,都叫做这个数的有效数字。
3、近似数的定义:
一个数与准确数相近(比准确数略多或者略少些),这一个数称之为近似数。
第二章整式的加减
一、单项式、多项式、整式的概念
单项式:
由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
多项式:
几个单项式的和叫做多项式。
整式:
单项式与多项式统称整式。
二、单项式的系数和次数
1、单项式的系数:
单项式中的数字因数及性质符号叫做单项式的系数。
如果一个单项式,只含有数字因数,是正数的单项式系数为1,是负数的单项式系数为—1。
2、单项式的次数:
一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
3、单项式的表示形式:
(1)数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式
(2)单个字母也是单项式。
(3)单个的数是单项式
(4)字母与字母相乘成为单项式
(5)数与数相乘称为单项式
三、多项式的项、常数项、次数
在多项式中,每个单项式叫做多项式的项,其中不含字母的项叫常数项,多项式中
次数最高项的次数,就是这个多项式的次数。
一个多项式有几项就叫做几项式。
多项式中的符号,看作各项的性质符号。
一元N次多项式最多N+1项。
四、多项式的排列:
1、把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列。
2、把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列。
由于多项式是几个单项式的和,所以可以用加法的运算定律,来交换各项的位置,而保持原多项式的值不变。
为了便于多项式的计算,通常总是把一个多项式,按照一定的顺序,整理成整洁简单的形式,这就是多项式的排列。
※在做多项式的排列的题时注意:
(1)由于单项式的项,包括它前面的性质符号,因此在排列时,仍需把每一项的性质符号看作是这一项的一部分,一起移动。
(2)有两个或两个以上字母的多项式,排列时,要注意:
a、先确认按照哪个字母的指数来排列。
b、确定按这个字母向里排列,还是向外排列。
五、同类项的概念:
所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项,所有常数项都是同类项。
※掌握同类项的概念时注意:
1.判断几个单项式或项,是否是同类项,就要掌握两个条件:
①所含字母相同;②相同字母
的次数也相同。
2.同类项与系数无关,与字母排列的顺序也无关。
3.几个常数项也是同类项。
六、合并同类项的概念:
把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项。
七、合并同类项步骤:
1、准确的找出同类项。
2、逆用分配律,把同类项的系数加在一起(用小括号),字母和字母的指数不变。
3、写出合并后的结果。
※在掌握合并同类项时注意:
1、如果两个同类项的系数互为相反数,合并同类项后,结果为0.
2、不要漏掉不能合并的项。
3、只要不再有同类项,就是结果(可能是单项式,也可能是多项式)。
合并同类项的关键:
正确判断同类项。
八、合并同类项的法则:
同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变。
九、升幂排列与降幂排列
为便于多项式的运算,可以用加法的交换律将多项式各项的位置按某一字母指数大小顺序重新排列。
若按某个字母的指数从大到小的顺序排列,叫做这个多项式按这个字母降幂排列。
若按某个字母的指数从小到大的顺序排列,叫做这个多项式按这个字母升幂排列。
十、去括号的法则
括号前面是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项都不变符号;
括号前面是“-”号,把括号和它前面的“-”号去掉,括号里各项都改变符号。
十一、添括号法则:
所添括号前面是“+”号,括到括号里的各项都不变符号;
所添括号前面是“-”号,括到括号里的各项都改变符号.
十二、整式加减的一般步骤是:
(1)如果遇到括号.按去括号法则先去括号:
括号前是“十”号,把括号和它前面的“+”号去掉。
括号里各项都不变符号;
括号前是“一”号,把括号和它前面的“一”号去掉.括号里各项都改变符号。
(2)合并同类项:
同类项的系数相加,所得的结果作为系数.字母和字母的指数不变。
整式的加减实质上就是合并同类项及添括号、去括号法则,计算时要按照合并同类项法则和整式的加减的一般步骤进行。
第三章一元一次方程
一、一元一次方程的概念
定义:
方程中只含有一个未知数(元),并且未知数的指数是1(次),未知数的式子都是整式,这样的方程叫做一元一次方程。
※一元一次方程的条件是:
1首先是一个方程;
2其次是必须只含有一个未知数;
3未知数的指数是1;
4分母中不含有未知数。
二、等式的性质
等式的性质1:
等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等。
如果a=b,那么a±c=b±c
等式的性质2:
等式两边乘以同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等。
如果a=b,那么ac=bc;如果a=b(c≠0),那么
=
三、移项:
把方程中的某一项,改变符号后,从方程的左边(右边)移到右边(左边),这种
变形叫做移项。
四、解一元一次方程的一般步骤
1.去分母:
在方程两边都乘以各分母的最小公倍数;
2.去括号:
先去小括号,再去中括号,最后去大括号;
3.移项:
把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边;
4.合并同类项:
把方程化成ax=b(a≠0)的形式;
5.系数化成1:
在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x=
解一元一次方程的方法步骤
步骤
具体做法
根据
注意事项
去分母
在方程两边同乘各分母的最小公倍数
等式性质2
1.不要漏乘不含分母的项
2.分数线当括号用,去分
母后,则要加括号
去括号
先去小括号,再去中括号,最后去大括号
乘法分配律,
去括号法则
分配律要满足分配到每一项
移项
把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边
等式性质1
移项变号
合并同类项
把方程中含有未知数的项合并,化成“ax=b”的形式(a≠0)
合并法则
注意符号
系数化成1
方程两边同时除以未知数的系数a,得到方程的解x=
等式性质2
分子、分母不能颠倒
通过以上两条性质的总结,应强调以下四点:
①等式的性质1是加法和减法运算,等式的性质2是乘法或除法运算。
②等式的两边都参与运算,并且是同一种运算。
③加(或减)、乘以(或除以)的是同一个数。
④0不能做除数或分母。
五、列一元一次方程解应用题的步骤
步骤
注意事项
设未知数
①设未知数时,一般是问什么就直接设什么.
②如果直接设未知数列方程有困难,就可间接设未知数.
③设未知数时,如果未知数有单位名称的话要看清楚.
列方程
①列方程依据的等量关系是否正确.
②方程两边的量所用单位是否一致.
解答
①根据解一元一次方程的一般步骤,解所列的方程.
②求得方程的解必须检验,对照应用题看是否合理.如果排除列方程、解方程的原因,方程的解不符合应用题的实际,那么应用题无解.
第四章图形认识初步
一、常见的立体图形:
柱形、锥体、球体
1、柱体中有①圆柱:
底面是圆,侧面是曲面;②棱柱:
底面是多边形,侧面是长方形;
2、锥体中有①圆锥:
底面是圆,侧面是曲面;②棱锥:
底面是多边形,侧面是三角形;
二、几何图形都是由点、线、面、体组成的
1、几何体简称体。
长方体、正方体、圆柱、圆锥、球体、棱柱、棱锥等都是几何体。
2、包围着体的是面。
有平面和曲面两种。
长方体的6个面是平面,圆柱(锥)的侧面是曲
面等。
3、面和面相交的地方形成线。
有直线、曲线等。
长方体6个面相交成的12条线是直线,圆柱的侧面与底面相交得到的线是曲线等。
4、线和线相交的地方是点。
5、“点动成线,线动成面,面动成体”。
包围着体的是面,面与面相接的地方是线,线和线相交的地方是点。
点动成线,线动成面,面动成体,体、面、线、点都是几何图形。
三、直线、射线、线段
1、直线
(1)概念:
向两方无限延伸的的一条笔直的线。
如代数中的数轴,就是一条直线(它只规定了原点、方向和长度单位)。
(2)基本性质:
经过两点有一条直线,并且只有一条直线;也可以简单地说“两点确定
一条直线”。
(3)特点:
①直线没有长短,向两方无限延伸;②直线没有粗细;③两点确定一条直线;
④两条直线相交有唯一一个交点。
2、射线
(1)概念:
直线上一点和它一旁的部分叫做射线。
(2)特点:
只有一个端点,向一方无限延伸,无法度量。
3、线段
(1)概念:
直线上两点和它们之间的部分叫做线段。
线段有两个端点,有长度。
(2)基本性质:
两点之间线段最短。
(3)特点:
有两个端点,不能向任何一方延伸,可以度量,可以较长短。
直线
射线
线段
图形
表示方法
直线AB或直线ι
射线OA或射线ι
线段AB或线段ι
端点个数
0
1
2
延伸方向
向两方无限延伸
向一方无限延伸
不能延伸
有关性质
过两点有且只有一条直线
无
两点之间线段最短
总结:
1、直线、射线、线段的区别:
直线:
无端点,不可度量;射线:
有一个端点,不可度量;线段:
有两个端点,可度量。
2、过一点可以画无数条直线;经过两点有且只有一条直线;过不在同一条直线上的三点可
以画3条直线。
3、线段的长短比较方法:
①度量法;②叠合法。
4、线段的中点:
把一条线段分成两条相等线段的点。
四、角
1、角的概念:
有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点是角的顶点,这两
条射线是角的两条边,角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转而形成的
图形。
2、方位角:
用角度和方向表示方位的角,在平面图上方向为“上北,下南,左西,右东”。
在方位角中,第一个方向为始边,第二个方向为终边,度数为两条射线的夹角
的度数。
习惯上把南或北写在前,东或西写在后,用两个方向表示(如北偏东
60°)。
3、角度制及换算
(1)角度制的概念:
以度、分、秒为单位的角的度量制,叫做角度制。
(2)角度制的换算:
1°=60′ 1′=60″ 1周角=360° 1平角=180° 1直角=90°
(3)换算方法:
把高级单位转化为低级单位要乘进率;把低级单位转化为高级单位要除以进率;
转化时必须逐级进行,“越级”转化容易出错。
4、角的大小的比较:
(1)叠合法,使两个角的顶点及一边重合,另一边在重合边的同旁进行比较;
(2)度量法。
5、角的平分线:
从一个角的顶点出发,把这个角分成相等的两个角的射线,叫做这个角的平分线。
6、余角和补角:
(1)余角:
如果两个角的和等于90°(直角),那么这两个角互为余角,其中一个角是另
一个角的余角;
(2)补角:
如果两个角的和等于180°(平角),那么这两个角互为补角,其中一个角是另一个角的补角;
(3)余角的性质:
等角的余角相等;
等角的性质:
同角的补角相等。
五、计算几何图形的个数
1、数直线条数:
n个点一共可以引出Sn=
(n≥2)
2、数线段条数:
线段上有n个点时(包括两个端点),共有线段
条。
3、数直线分平面的块数:
n条直线最多把平面分成1+
个部分。
六、时针与分针夹角问题:
1、时针夹角:
时针12小时转一周们也就是12小时转360°,其上共有12个大格,故每个大格度数为(
)°=30°,也就是时针每小时转过30°。
时针一分钟转过的角度为(
)°=0.5°,即时针每分钟转过的角度是0.5°。
2、分针夹角:
分针1小时转一周们也就是1小时转360°,钟面上共有5×12=60个小格,故每个小格度数为(
)°=6°,也就是分针每分钟转过6°。
3、求时针与分针的夹角,也就是求时针转过角度与分针转过角度之差的绝对值。
列方程(组)解应用题的常见题型
(1)数字问题:
解这类问题,首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关数的概念、特征及其表示。
a、如当n
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- 七年 级数 上册