中考第二轮复习实验操作问题.docx
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中考第二轮复习实验操作问题
年级
初三
学科
数学
版本
北师大版
内容标题
中考第二轮复习——实验操作问题
编稿老师
巩建兵
【本讲教育信息】
一、教学内容:
专题二:
实验操作问题
二、知识要点:
实验操作型问题是让学生在实验操作的基础上解决问题,主要有以下类型:
(1)裁剪、折叠、拼图等动手操作问题,往往与面积、对称、图形变换相联系;
(2)与画图、测量、猜想、证明等有关的探究性问题.
三、考点分析:
近几年实验操作型试题越来越热.这类试题对学生的能力有更高的要求,有利于培养学生的创新能力和实践能力,体现新课程理念.主要考查:
全等、相似、平移、对称、旋转、翻折等几何操作变换的若干方法和能力.
【典型例题】
题型一:
画图与拼图
例1.如图所示,现将三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片,分别放在方格纸中,方格纸中的每个小正方形的边长均为1,并且平行四边形纸片的每个顶点与小正方形的顶点重合,如图
(1)、图
(2)、图(3).
分别在图
(1)、图
(2)、图(3)中,经过平行四边形纸片的任意一个顶点画一条裁剪线,沿此裁剪线将平行四边形纸片裁成两部分,并把这两部分重新拼成符合下列要求的几何图形.要求:
(1)在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线,然后在右边相对应的方格纸中,按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形.
(2)裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙.
(3)所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合.
分析:
首先我们要考虑裁剪后的平行四边形可以拼接成矩形、正方形、三角形,裁剪之前必须想好所拼的部分要能够重合.
解:
如图所示:
评析:
本题将平行四边形分割后拼接成各种图形,试题也提供了拼接要求,解决这类问题除要有平时的分割和拼接经验外,还需要密切关注题目中的阅读材料.
题型二:
折叠与变换
例2.
(1)如图1,将一块正方形木板用虚线划分成36个全等的小正方形,然后,按其中的实线将其切成七块形状不完全相同的小木片,制成一副七巧板.用这副七巧板拼成图2的图案,则图2中阴影部分的面积是整个图案面积的()
A.
B.
C.
D.
解析:
题目中的图2是对思维的干扰,如果直接提问“图1中小正方形的面积是大正方形面积的几分之几”,问题就变得简单明了.在图1中可以体会到,小正方形的面积等于两个斜边为3的等腰直角三角形的面积之和,计算得小正方形的面积等于
,因此小正方形的面积是大正方形面积的
.选D.
(2)如图,已知正方形纸片ABCD,M,N分别是AD、BC的中点,把BC边向上翻折,使点C恰好落在MN上的P点处,BQ为折痕,则∠PBQ=__________度.
解析:
根据题意,可知△BCQ≌△BPQ,∴BC=BP,∠CBQ=∠PBQ.在△BNP中,BN=
BC=
BP,∴∠BPN=30°,则∠PBN=60°,又∠CBQ=∠PBQ,∴∠PBQ=30°.
例3.生活中,有人喜欢把传送的便条折成
形状,折叠过程是这样的(阴影部分表示纸条的反面):
如果由信纸折成的长方形纸条(图①)长为26cm,宽为xcm,分别回答下列问题:
(1)为了保证能折成图④的形状(即纸条两端均超出点P),试求x的取值范围.
(2)如果不但要折成图④的形状,而且为了美观,希望纸条两端超出点P的长度相等,即最终图形是轴对称图形,试求在开始折叠时起点M与点A的距离(用x表示).
分析:
根据折纸的要求,折叠部分分为5部分,所以5x不应为负数,还要小于26.对于
(2)中要满足的条件应该是总长度减去5x的一半再加上x.
解:
(1)由折纸过程知0<5x<26,∴0<x<
.
(2)∵图④为对称图形,
∴AM=
+x=13-
x,
即点M与点A的距离是(13-
x)cm.
评析:
本题利用纸片进行折叠变换和对称变换,进而判断折叠后宽度满足的条件以及要满足轴对称图形时AM的长度.折叠问题是中考中较为普遍的考查方式,主要考查动手操作能力.
题型三:
图形变换
例4.[尝试]把一个等腰直角△ABC沿斜边上的中线CD(裁剪线)剪一刀,把分割成的两部分拼成一个四边形EBCD,如图①.(以下有画图要求的,工具不限,不必写出画法和证明)
(1)猜一猜,四边形EBCD一定是__________;
(2)试一试:
按上述的裁剪方法,请你拼一个与图①中不同的四边形,并在图②中画出示意图.
[探究]在等腰直角△ABC中,请你沿一条中位线(裁剪线)剪一刀,把分割成的两部分拼成一个特殊四边形.
(1)想一想:
你能拼得的特殊四边形分别是__________;(写出两种)
(2)画一画:
请分别在图③、④中画出你拼得的这两个特殊四边形的示意图.
[拓广]在等腰直角△ABC中,请你沿一条与中线、中位线不同的裁剪线剪一刀,把分割成的两部分拼成一个特殊四边形.
(1)变一变:
你确定的裁剪线是__________,(写出一种)拼得的特殊四边形是__________;
(2)拼一拼:
请在图⑤中画出你拼得的这个特殊四边形的示意图.
解:
[尝试]
(1)平行四边形;
(2)如图①所示:
[探究]
(1)平行四边形、矩形或者等腰梯形(答其中两个即可);
(2)如图②、③、④、⑤所示.(画其中两个即可)
[拓广]
(1)如图⑥,过中点D任意引DE交BC于E,将△DEB绕斜边中点旋转至△ADE’的位置;或者如图⑦,将平行于BC边(直角边)的中位线平移与AC交于点D,使AD∶DC=
∶1,或者如图⑧,将平行于AB边(斜边)的中位线平移与AC交于点D,使AD∶DC=
∶1;直角梯形.
(2)如图⑥、⑦、⑧.
评析:
此题阅读量较大,对同学们研究问题,分析问题的能力提出了挑战.作为一道动手题目,要学会利用手中的道具(三角板、白纸等)解决问题.除此之外,在平时应注意练习作图法的语言描述,以备不时之需.
题型四:
操作与探索
例5.在图1~5中,正方形ABCD的边长为a,等腰直角三角形FAE的斜边AE=2b,且边AD和AE在同一直线上.
操作示例
当2b<a时,如图1,在BA上选取点G,使BG=b,连结FG和CG,裁掉△FAG和△CGB并分别拼接到△FEH和△CHD的位置构成四边形FGCH.
实践探究
(1)正方形FGCH的面积是__________;(用含a,b的式子表示)
(2)类比图1的剪拼方法,请你就图2~图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图.
联想拓展
小明通过探究后发现:
当b≤a时,此类图形都能剪拼成正方形,且所选取的点G的位置在BA方向上随着b的增大不断上移.当b>a时,如图5的图形能否剪拼成一个正方形?
若能,请你在图中画出剪拼的示意图;若不能,简要说明理由.
分析:
本题是一道操作与探索的题目,对于
(1)中的正方形的面积问题比较容易求得;
(2)中的剪拼方法可参考给出的阅读材料;而联想拓展部分分别要考虑在延长线上的情况.
解:
实践探究:
(1)a2+b2;
(2)剪拼方法如图2~图4.联想拓展:
能;剪拼方法如图5(图中BG=DH=b).(注:
图5用其它剪拼方法能拼接成面积为a2+b2的正方形均可)
评析:
本题是在给出大量的阅读材料的基础上进行图形的分割与拼接,而且对上述方法进行了联想与拓展,解决这类问题首先要理解、领会阅读材料中给出的具体操作步骤,以及阅读材料中的内涵,进而将这些应用到问题中去.这类问题也是“课题学习”这部分知识的具体体现.
【方法总结】
1.熟练掌握相关几何图形的特征和性质.
2.能把实际问题转化为数学问题,熟练应用相似、平移、对称、旋转等几何操作变换.
【预习导学案】
(专题三:
阅读理解问题)
一、预习导学
1.对于任意两个实数对(a,b)和(c、d),规定:
当且仅当a=c且b=d时,(a,b)=(c,d).定义运算“¤”:
(a,b)¤(c,d)=(ac-bd,ad+bc).若(1,2)¤(p,q)=(5,0),则p=__________,q=__________.
2.阅读材料:
设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则两根与方程系数之间有如下关系:
x1+x2=-
,x1·x2=
.根据该材料填空:
已知x1、x2是方程x2+6x+3=0的两实数根,则
+
的值为__________.
3.若P为△ABC所在平面上一点,且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点.
(1)若点P为锐角△ABC的费马点,且∠ABC=60°,PA=3,PC=4,则PB的值为__________.
(2)如图所示,在锐角△ABC外侧作等边△ACB’,连结BB’.求证:
BB’过△ABC的费马点P,且BB’=PA+PB+PC.
二、反思
1.阅读理解问题的常见类型有哪些?
2.解决阅读理解问题常用到哪些思想方法?
【模拟试题】(答题时间:
50分钟)
一、选择题
1.如图所示,A、B、C分别表示三个村庄,AB=1000米,BC=600米,AC=800米,在社会主义新农村建设中,为了丰富群众生活,拟建一个文化活动中心,要求这三个村庄到活动中心的距离相等,则活动中心P的位置应在()
A.AB中点B.BC中点C.AC中点D.∠C的平分线与AB的交点
2.如图
(1),把一个长为m、宽为n的长方形(m>n)沿虚线剪开,拼接成图
(2),成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形,则去掉的小正方形的边长为()
A.
B.m-nC.
D.
二、填空题
**1.动手操作:
在矩形纸片ABCD中,AB=3,AD=5.如图所示,折叠纸片,使点A落在BC边上的A’处,折痕为PQ,当点A’在BC边上移动时,折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动,则点A’在BC边上可移动的最大距离为__________.
**2.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,M为边BC上的点,联结AM(如图所示).如果将△ABM沿直线AM翻折后,点B恰好落在边AC的中点处,那么点M到AC的距离是__________.
**3.如图,有一个边长为5的正方形纸片ABCD,要将其剪拼成边长分别为a、b的两个小正方形,使得a2+b2=52.①a、b的值可以是________(写出一组即可);②请你设计一种具有一般性的裁剪方法,在图中画出裁剪线,并拼接成两个小正方形,同时说明该裁剪方法具有一般性:
__________________________________________________.
三、解答题
1.如图所示,要在一块形状为直角三角形(∠C为直角)的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮,需先在这块铁皮上画出一个半圆,使它的圆心在线段AC上,且与AB、BC都相切.请你用直尺和圆规画出来(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不要求写作法).
2.如图:
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线,将△ADC沿AC边所在的直线折叠,使点D落在点E处,得四边形ABCE.求证:
EC∥AB.
3.如图,在对Rt△OAB依次进行位似、轴对称和平移变换后得到△O′A′B′.
(1)在坐标纸上画出这几次变换相应的图形;
(2)设P(x,y)为△OAB边上任一点,依次写出这几次变换后点P对应点的坐标.
*4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2.点O是AC的中点,过点O的直线l从与AC重合的位置开始,绕点O作逆时针旋转,交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E,设直线l的旋转角为α.
(1)①当∠α=________度时,四边形EDBC是等腰梯形,此时AD的长为_________;②当∠α=________度时,四边形EDBC是直角梯形,此时AD的长为_________;
(2)当∠α=90°时,判断四边形EDBC是否为菱形,并说明理由.
**5.现代家居设计的“推拉式”钢窗,运用了轨道滑行技术,纱窗装卸时利用了平行四边形的不稳定性,操作步骤如下:
(1)将矩形纱窗转化成平行四边形纱窗后,纱窗上边框嵌入窗框的上轨道槽(如图1).
(2)将平行四边形纱窗的下边框对准窗框的下轨道槽(如图2).
(3)将平行四边形纱窗还原成矩形纱窗,同时下边框嵌入窗框的下轨道槽(如图3).
在装卸纱窗的过程中,如图所示∠α的值不得小于81°,否则纱窗受损.现将高96cm的矩形纱窗恰好安装在上、下槽深分别为0.9cm,高96cm(上、下槽底间的距离)的窗框上.试求合理安装纱窗时∠α的最大整数值.(下表提供的数据可供使用)
sin81°=0.987
sin82°=0.990
sin83°=0.993
sin84°=0.995
cos9°=0.987
cos8°=0.990
cos7°=0.993
cos6°=0.995
【试题答案】
一、选择题
1.A【该中点应建在三边垂直平分线的交点处,即△ABC外接圆的圆心处】
2.A【设去掉的小正方形的边长为x,则m-x=n+x,∴x=
】
二、填空题
1.2【通过折叠发现,如图
(1)时,点A’离点B最近;如图
(2)时,点A’离点B最远.如图
(1)所示,△APQ≌△A’PQ,∴A’Q=5,∴A’C=4,∴A’B=1.如图
(2)所示,A’B=AB=3.∴点A’在BC边上可移动的最大距离为3-1=2】
2.2【设AC的中点为N,根据题意AB=AN=NC=3,S△ABM=S△ANM,S△ANM=S△MNC,∵S△ABC=
×3×6=9,∴S△AMC=6.设点M到AC的距离为h,则S△AMC=
h·AC,即
h×6=6,解得h=2】
3.①3,4(提示:
答案不惟一);②裁剪线及拼接方法如图①所示:
图中的点E可以是以BC为直径的半圆上的任意一点(点B、C除外).BE、CE的长分别为两个小正方形的边长.拼接效果如图②所示:
三、解答题
1.提示:
(1)以点B为圆心,适当的长度为半径画弧交AB于D,交BC于E,
(2)分别以D、E为圆心,大于
DE为半径画弧,两弧交于点F,(3)连结BF并延长交AC于点O,(4)以点O为圆心,OC为半径,在△ABC内作半圆O.则半圆O即为所求.
2.∵CD是AB边上的中线,且∠ACB=90°,∴CD=AD.∴∠CAD=∠ACD.又∵△ACE是由△ADC沿AC边所在的直线折叠而成的,∴∠ECA=∠ACD.∴∠ECA=∠CAD.∴EC∥AB.
3.
(1)如图所示:
(2)设坐标纸中方格边长为单位1,则P(x,y)以O为位似中心放大为原来的2倍(2x,2y),经y轴翻折(-2x,2y),向右平移4个单位(-2x+4,2y),向上平移5个单位(-2x+4,2y+5).说明:
如果以其它点为位似中心进行变换,或两次平移合并,或未设单位长,或
(2)中直接写出各项变换对应点的坐标,只要正确即可.
4.
(1)①30,1;②60,1.5;
(2)当∠α=90°时,四边形EDBC是菱形.∵∠α=∠ACB=90°,∴BC∥ED.∵CE∥AB,∴四边形EDBC是平行四边形.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2,∴∠A=30°.∴AB=4,AC=2
.∴AO=
AC=
.在Rt△AOD中,∠A=30°,∴AD=2.∴BD=2.∴BD=BC.又∵四边形EDBC是平行四边形,∴四边形EDBC是菱形.
5.能够合理装上平行四边形纱窗时的最大高度:
96-0.9=95.1(cm),能够合理装上平行四边形纱窗时的高:
96sin∠α或96·cos(90°-∠α),当∠α=81°时,纱窗高:
96sin
=96×0.987=94.752<95.1,∴此时纱窗能装进去,当∠α=82°时,纱窗高:
96sin82°=96×0.990=95.04<95.1,∴此时纱窗能装进去.当∠α=83°时,纱窗高:
96sin83°=96×0.993=95.328>95.1,∴此时纱窗装不进去.因此能合理装上纱窗时∠α的最大值是
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