《九章算术》中一些求平面图形面积的题目.docx
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《九章算术》中一些求平面图形面积的题目
《九章算术》中一些求平面图形面积的题目
《九章算术》中一些求平面图形面积的题目《九章算术》共收集了246道应用问题和各种问题的解法,是当时由国家组织力量编纂的官方数学教科书,对我国数学的发展产生了很大影响。
下面从书中选取一些求平面图形面积的题目,仍然采取译述的方式,供五六年级老师和有兴趣的网友参考。
如果有可能的话,以适当的方式有选择地把这些材料介绍给学生,对于扩大学生的视野,培养学生学习数学的兴趣,加强对祖国优秀文化遗产的认识,都是有好处的。
原题1:
又有田广十二步,纵十四步。
问:
为田几何?
答曰:
一百六十八步。
方田术曰:
广纵步数相乘得积步。
译述:
方田是古代对正方形和长方形的统称。
步是当时的长度单位。
相应的面积单位平方步也简称为步。
又有田广十二步,纵十四步。
问:
为田几何?
有一块长方形地,宽12步,长14步。
问:
它的面积是多少?
答曰:
一百六十八步。
答案是:
168平方步。
方田术曰:
广纵步数相乘得积步。
计算长方形面积的方法是:
宽与长相乘得面积。
1214=168(平方步)原题2:
今有田广七分步之四,纵五分步之三。
问:
为田几何?
答曰:
三十五分步之十二。
乘分术曰:
母相乘为法,子相乘为实。
译述:
今有田广七分步之四,纵五分步之三。
问:
为田几何?
有一4步,长5块长方形地,宽73步。
问:
它的面积是多少?
答曰:
三十五分步之十二。
答案是:
3512平方步。
乘分术曰:
母相乘为法,子相乘为实。
分数乘法的运算法则是:
分母相乘作积的分母,分子相乘作积的分子。
4573=3512(平方步)原题3:
又有圭(ɡuī)田广五步二分步之一,纵八步三分步之二。
问:
为田几何?
答曰:
二十三步六分步之五。
术曰:
半广以乘正纵。
译述:
圭田是古代对等腰三角形的称谓。
正在这里与整通用。
又有圭田广五步二分步之一,纵八步三分步之二。
问:
为田几何?
1步,高83有一块等腰三角形地,底522步。
问:
它的面积是多少?
答曰:
二十三步六分步之五答案是:
2365平方步。
术曰:
半广以乘正纵。
计算方法是:
底的一半乘高。
1283522=2365(平方步)原题4:
今有斜田,一头广三十步,一头广四十二步,正纵六十四步。
问:
为田几何?
答曰:
九亩一百四十四步。
术曰:
并两斜而半之,以乘正纵若广。
又可半正纵若广,以乘并。
亩法而一。
译述:
斜田是古代对直角梯形的称谓。
今有斜田,一头广三十步,一头广四十二步,正纵六十四步。
问:
为田几何?
有一块直角梯形地,上底30步,下底42步,高64步。
它的面积是多少?
答曰:
九亩一百四十四步。
答案是:
9亩144平方步。
术曰:
并两斜而半之,以乘正纵若广。
又可半正纵若广,以乘并。
亩法而一。
计算方法是:
取上下两底之和的一半,用它乘高。
也可以取半个高,用它乘上下两底之和。
再折合成亩。
(1亩=240平方步)(30+42)264=2304(平方步),2304平方步=9亩144平方步。
或642(30+42)=2304(平方步),2304平方步=9亩144平方步。
原题5:
今有箕田,舌广二十步,踵广五步,正纵三十步。
问:
为田几何?
答曰:
一亩一百三十五步。
术曰:
并踵舌而半之,以乘正纵。
亩法而一。
译述:
箕田是古代对等腰梯形的称谓。
箕就是簸箕。
舌指簸箕的前口,相当于上底,踵指簸箕的后沿,相当于下底。
今有箕田,舌广二十步,踵广五步,正纵三十步。
问:
为田几何?
有一块等腰梯形地,上底20步,下底5步,高30步。
问:
它的面积是多少?
答曰:
一亩一百三十五步。
答案是:
1亩135平方步。
术曰:
并踵舌而半之,以乘正纵。
亩法而一。
取上底与下底之和的一半,乘高,再折合成亩。
(20+5)230=375(平方步),375平方步=1亩135平方步。
原题6:
又有圆田,周一百八十一步,径六十步三分步之一。
问:
为田几何?
答曰:
十一亩九十步十二分步之一。
术曰:
半周、半径相乘得积步。
又术曰:
周径相乘,四而一。
又术曰:
径自相乘,三之,四而一。
又术曰:
周自相乘,十二而一。
译述:
四而一就是用4除,三之就是用3乘。
又有圆田,周一百八十一步,径六十步三分步之一。
问:
为田几何?
有一块圆形地,周长181步,直径6031步。
问:
它的面积是多少?
答曰:
十一亩九十步十二分步之一。
答案是:
11亩90121步。
术曰:
半周、半径相乘得积步。
计算方法是:
周长的一半乘直径的一半得面积。
(1812)(6031步。
12)=2730121(平方步),2730121平方步=11亩9012又术曰:
周、径相乘,四而一。
还有一种计算方法是:
周长、直径相乘,除以4。
18160314=2730121(平方步),2730121平方步=11亩90121步。
又术曰:
径自相乘,三之,四而一。
还有一种计算方法是:
直径自乘,再乘3,除以4。
16031步。
603134=2730121(平方步),2730121平方步=11亩9012又术曰:
周自相乘,十二而一。
还有一种计算方法是:
周长自乘,除以12。
18118112=2730121(平方步),2730121平方步=11亩90121步。
我国古代把圆周率视为3,有周三径一的说法,所以,题中直径1步,周长才会是603是60313=181(步)。
如果用C表示周长,d表示直径,那么,C=3d。
如果用S表示面积,比照S=r2d。
题目的4种解法,都可以归结为S=2,取=3,那么,S2d。
=3(2d)2=4343解法一:
半周、半径相乘得积步。
S=2C2d=23d2d=432d。
解法二:
周、径相乘,四而一。
S=Cd4=3dd4=432d。
解法三:
径自相乘,三之,四而一。
S=dd34=432d。
解法四:
周自相乘,十二而一。
S=CC12=3d3d12=432d。
如果把S=432d中的3换成,就和现在计算圆面积的公式完全相同:
S=42d=41(2r)2=414r2=r2所以,S=42d只是S=r2的另一种形式。
有时,用直径直接计算圆面积更为方便,这不能不说是我国古代数学的又一贡献。
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