人教版数学七年级第三章《一元一次方程》应用题分类数轴类专项练二.docx
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人教版数学七年级第三章《一元一次方程》应用题分类数轴类专项练二
第三章《一元一次方程》应用题分类:
数轴类专项练
(二)
1.如图,在数轴上点A表示的数是﹣1;点B在点A的右侧,且到点A的距离是6;点C在点A与点B之间,且到点B的距离是到点A距离的2倍.
(1)点B表示的数是 ;点C表示的数是 ;
(2)若点P从点A出发,沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动;同时,点Q从点B出发,沿数轴以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动.设运动时间为t秒,在运动过程中,当t为何值时,点P与点Q之间的距离为2?
(3)在
(2)的条件下,若点P与点C之间的距离表示为PC,点Q与点B之间的距离表示为QB,在运动过程中,是否存在某一时刻使得PC﹣QB=1?
若存在,请求出此时点P表示的数;若不存在,请说明理由.
2.数轴上A点对应的数为﹣5,B点在A点右边,电子蚂蚁甲、乙在B分别以2个单位/秒、1个单位/秒的速度向左运动,电子蚂蚁丙在A以3个单位/秒的速度向右运动.
(1)若电子蚂蚁丙经过5秒运动到C点,求C点表示的数;
(2)若B点表示的数为15,它们同时出发,请问丙遇到甲后多长时间遇到乙?
;
(3)在
(2)的条件下,设它们同时出发的时间为t秒,是否存在t的值,使丙到乙的距离是丙到甲的距离的2倍?
若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
3.在数轴上点A表示数a,点B表示数b,点C表示数c;a是最大的负整数,a、b、c满足|a+b|+(c﹣5)2=0.
(1)填空:
a= ,b= ,c= ;
(2)P为数轴上一动点,其对应的数是x,当P在线段AC上,且PA+PB+PC=7时,求x的值.
(3)若点P,Q分别从A,C同时出发,匀速相向运动,点P的速度为3个单位/秒,点Q的速度为1个单位/秒.当点P运动到C后迅速以原速返回A;点Q运动至B点后停止运动,同时P点也停止运动.求在此运动过程中P,Q的相遇点在数轴上对应的数.
4.已知数轴上两点A,B对应的数分别为﹣8和4,点P为数轴上一动点,若规定:
点P到A的距离是点P到B的距离的3倍时,我们就称点P是关于A→B的“好点”.
(1)若点P到点A的距离等于点P到点B的距离时,求点P表示的数是多少;
(2)①若点P运动到原点O时,此时点P 关于A→B的“好点”(填是或者不是);
②若点P以每秒1个单位的速度从原点O开始向右运动,当点P是关于A→B的“好点”时,求点P的运动时间;
(3)若点P在原点的左边(即点P对应的数为负数),且点P,A,B中,其中有一个点是关于其它任意两个点的“好点”,请直接写出所有符合条件的点P表示的数.
5.如图,一个点从数轴上的原点开始,先向左移动2cm到达A点,再向左移动3cm到达B点,然后向右移动9cm到达C点,数轴上一个单位长度表示1cm.
(1)请你在数轴上表示出A,B,C三点的位置;
(2)把点C到点A的距离记为CA,则CA= cm.
(3)若点B沿数轴以每秒3cm匀速向右运动,经过 秒后点B到点C的距离为3cm.
(4)若点B以每秒2cm的速度匀速向左移动,同时A、C点分别以每秒1cm、4cm的速度匀速向右移动.设移动时间为t秒,试探索:
CA﹣AB的值是否会随着t的变化而改变?
请说明理由.
6.对于数轴上的点A,给出如下定义:
点A在数轴上移动,沿负方向移动a个单位长度(a是正数)后所在位置点表示的数是x,沿正方向移动2a个单位长度(a是正数)后所在位置点表示的数是y,x与y这两个数叫做“点A的a关联数”,记作G(A,a)={x,y},其中x<y.例如:
原点O表示0,原点O的1关联数是G(0,1)={﹣1,+2}.
(1)若点A表示﹣3,a=3,直接写出点A的3关联数.
(2)①若点A表示﹣1,G(A,a)={﹣5,y},求y的值.
②若G(A,a)={﹣2,7},求a的值和点A表示的数.
(3)已知G(A,3)={x,y},G(B,2)={m,n},若点A、点B从原点同时同向出发,且点A的速度是点B速度的3倍.当|y﹣m|=6时,直接写出点A表示的数.
7.如图,在一条不完整的数轴上从左到右有点A,B,C,D,其中点A与点B之间距离为3,点B与点C之间距离为2,点C与点D之间距离为1.设点A,B,C,D所对应数的和为w.
(1)若点C为数轴的原点.请你写出点A、B、D所对应的数,并计算w的值;
(2)若点C与数轴原点的距离为2020时,求w的值;
(3)若点C与数轴原点的距离为a(a>0)时,求w的值.
8.在数学课上探索得到:
如果点A、点B在数轴上表示的数分别是a、b,那么|a﹣b|表示A、B两点间距离.
小明说:
|x﹣3|表示数轴上表示数x和3的两个点的距离;
小华动动脑筋说:
|x+3|表示什么呢?
老师:
|x+3|可以化为|x﹣(﹣3)|,即|x+3|可以表示数轴上表示数x和﹣3的两个点的距离;
请同学们利用以上知识或你已学过的知识解决以下问题:
(1)数轴上表示﹣4的点与表示6的点相距 个单位;
(2)①若|x﹣5|=3,|y+2|=1,且数x、y在数轴上表示的点分别是点A、点B,求A、B两点间的距离.
②若|x+4|+|x﹣6|=12,写出符合条件的x的值.
9.阅读材料,在数轴上点A对应的数是3,点B对应的数是﹣4,同学们都知道,|3﹣(﹣4)|表示3与﹣4之差的绝对值,实际上也可理解为数轴上点A到点B的距离,可表示为AB=|3﹣(﹣4)|=7,我们就说数轴上点A到B的距离为7.
尝试探索:
已知数轴上A、B两点对应的数为﹣2,8,P为数轴上一点.
(1)AB=
(2)若数轴上点P对应的数为x,PA可表示为 ,若PA=5,点P对应的数为 .
(3)若点P到A,B的距离之和为20,点P对应的数为
(4)若点P点表示4,点M以每秒钟5个单位的速度从A点向右运动,点N以每秒钟1个单位的速度从B点向左运动,t秒后有PM=PN,直接写出符合的时间t的值:
.
10.数轴是一个非常重要的数学工具,它使数和数轴上的点建立起对应关系,揭示了数与点之间的内在联系,它是“数形结合”的基础.
(1)画数轴并在数轴上标示出﹣5、﹣3、﹣2、1、4
(2)数轴上表示﹣2和4两点之间的距离是 .
(3)若数轴画在纸面上,折叠纸面
①若1表示的点和表示﹣1的点重合,则2表示的点与数 表示的点重合;
②若3表示的点和﹣1表示的点重合,则5表示的点和数 表示的点重合;这时如果A、B两点之间的距离为6,且A、B两点经折叠后重合,则点A表示的数是 .
(4)若|x+1|=4,则x= .若|x+1|+|x﹣2|=3,则x的取值范围是 .
参考答案
1.解:
(1)点B表示的数是﹣1+6=5;点C表示的数是﹣1+6×
=1.
故答案为:
5,1;
(2)点P与点Q相遇前,
2t+t=6﹣2,
解得t=
;
点P与点Q相遇后,
2t+t=6+2,
解得t=
.
故当t为
或
时,点P与点Q之间的距离为2;
(3)当点P在点C左侧时,PC=2﹣2t,QB=t,
∵PC﹣QB=1,
∴2﹣2t﹣t=1,
解得t=
.
此时点P表示的数是﹣1+
=﹣
;
当点P在点C右侧时,PC=2t﹣2,QB=t,
∵PC﹣QB=1,
∴2t﹣2﹣t=1,
解得t=3.
此时点P表示的数是﹣1+6=5.
综上所述,在运动过程中,存在某一时刻使得PC﹣QB=1,此时点P表示的数为﹣
或5.
2.解:
(1)由题知:
C:
﹣5+3×5=10即C点表示的数为10;
(2)B到A的距离为|15+5|,点B在点A的右边,故|15+5|=15+5=20,
由题得:
﹣
=1,
即丙遇到甲后1s遇到乙;
(3)①在电子蚂蚁丙与甲相遇前,2(20﹣3t﹣2t)=20﹣3t﹣t,此时t=
(s);
②在电子蚂蚁丙与甲相遇后,2×(3t+2t﹣20)=20﹣3t﹣t,此时t=
(s);
③在电子蚂蚁丙与甲、乙相遇后,2×(3t+2t﹣20)=3t+t﹣20,此时t=
(s)(不符,舍去).
综上所述,当t=
s或t=
s时,使丙到乙的距离是丙到甲的距离的2倍.
3.解:
(1)∵a是最大的负整数,
∴a=﹣1;
∵|a+b|+(c﹣5)2=0,
|a+b|≥0,(c﹣5)2≥0,
∴a+b=0,c﹣5=0,
∴b=﹣a=﹣(﹣1)=1,c=5.
故答案为:
﹣1,1,5;
(2)∵PA+PB+PC=7,
∴|x+1|+|x﹣1|+|x﹣5|=7,
①当点P在线段AB上,即当﹣1≤x<1时,
x+1+1﹣x+5﹣x=7,
解得:
x=0;
②当点P在线段BC上,即当1≤x≤5时,
x+1+x﹣1+5﹣x=7,
解得:
x=2.
综上所述,x的值是0或2.
(3)设运动时间为t,
①当P、Q第一次相遇时,有:
3t+t=5﹣(﹣1),
解得:
t=1.5,
此时,相遇点在数轴上对应的数为5﹣1.5=3.5;
②当P到达C点返回追上Q时,有:
3t﹣t=5﹣(﹣1)
解得:
t=3,
此时,相遇点在数轴上对应的数为5﹣3=2.
∴在此运动过程中P,Q的相遇点在数轴上对应的数是3.5或2.
4.解:
(1)∵数轴上两点A,B对应的数分别为﹣8和4,
∴AB=4﹣(﹣8)=12,
∵点P到点A、点B的距离相等,
∴P为AB的中点,
∴BP=PA=
AB=6,
∴点P表示的数是﹣2;
(2)①当点P运动到原点O时,PA=8,PB=4,
∵PA≠3PB,
∴点P不是关于A→B的“好点”;
故答案为:
不是;
②根据题意可知:
设点P运动的时间为t秒,
PA=t+8,PB=|4﹣t|,
∴t+8=3|4﹣t|,
解得t=1或t=10,
所以点P的运动时间为1秒或10秒;
(3)根据题意可知:
设点P表示的数为n,
PA=n+8或﹣n﹣8,PB=4﹣n,AB=12,
分五种情况进行讨论:
①当点A是关于P→B的“好点”时,
|PA|=3|AB|,
即﹣n﹣8=36,解得n=﹣44;
②当点A是关于B→P的“好点”时,
|AB|=3|AP|,
即3(﹣n﹣8)=12,解得n=﹣12;
或3(n+8)=12,解得n=﹣4;
③当点P是关于A→B的“好点”时,
|PA|=3|PB|,
即﹣n﹣8=3(4﹣n)或n+8=3(4﹣n),解得n=10或1(不符合题意,舍去);
④当点P是关于B→A的“好点”时,
|PB|=3|AP|,
即4﹣n=3(n+8),解得n=﹣5;
或4﹣n=3(﹣n﹣8),解得n=﹣14;
⑤当点B是关于P→A的“好点”时,
|PB|=3|AB|,
即4﹣n=36,解得n=﹣32.
综上所述:
所有符合条件的点P表示的数是:
﹣4,﹣5,﹣12,﹣14,﹣32,﹣44.
5.解:
(1)如图所示:
(2)CA=4﹣(﹣2)=4+2=6(cm),
故答案为6;
(3)点B到点C的距离为3cm时,B移动的距离为6cm或12cm,
6÷3=2(秒),12÷3=4(秒),
所以,经过2或4秒后点B到点C的距离为3cm,
故答案为2或4.
(4)CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化,理由如下:
根据题意得:
CA=(4+4t)﹣(﹣2+t)=6+3t,AB=(﹣2+t)﹣(﹣5﹣2t)=3+3t,
∴CA﹣AB=(6+3t)﹣(3+3t)=3,
∴CA﹣AB的值不会随着t的变化而变化.
6.解:
(1)A(﹣3,3)={﹣6,3};
(2)①A表示﹣1,x=﹣5,则a=﹣1﹣(﹣5)=4,
所以y=7;
②点A的a关联数的定义有y﹣x=3a,
所以7﹣(﹣2)=3a,
解得a=3,
所以A表示的数为:
7﹣2×3=1;
(3)假设A点的位置是3s,因为点A的速度是点B速度的3倍,所以B点的位置是s.
此时,根据A点的位置3s,可以算出x=3s﹣3,y=3s+6.
根据B点的位置s,可以算出m=s﹣2,n=s+4.
代|y﹣m|=6中,得到|3s+6﹣(s﹣2)|=6,
化简得到:
|2s+8|=6.
①当2s+8=6时,s=﹣1;
②当2s+8=﹣6时,s=﹣7,
因此,符合要求的点A表示的数是﹣3或﹣21.
7.解:
(1)若点C为数轴的原点,即C点表示的数为0,
∵点C与点D之间距离为1,
∴D点对应的数为1,
∵点B与点C之间距离为2,
∴B点对应的数为﹣2,
∵点A与点B之间距离为3,
∴A点表示的数为﹣5,
∴w=﹣5+(﹣2)+1=﹣6;
(2)点C与数轴原点的距离为2020时,即C点对应的数为2020或﹣2020,
当C点对应的数为2020,
∴D点表示的数为2020+1=2021,
B点对应的数为2020﹣2=2018,
A点表示的数为2018﹣3=2015,
∴w=2021+2018+2020+2015=8074;
当C点对应的数为﹣2020,
∴D点表示的数为﹣2020+1=﹣2019,
B点对应的数为﹣2020﹣2=﹣2022,
A点表示的数为﹣2022﹣3=﹣2025,
∴w=﹣2025﹣2022﹣2020﹣2025=﹣8086;
即w的值为8074或﹣8086;
(3)若点C与数轴原点的距离为a(a>0),即C点对应的数为a或﹣a,
当C点对应的数为a,
∴D点表示的数为a+1,
B点对应的数为a﹣2,
A点表示的数为a﹣2﹣3=a﹣5,
∴w=a﹣5+a﹣2+a+a+1=4a﹣6;
当C点对应的数为﹣a,
∴D点表示的数为﹣a+1,
B点对应的数为﹣a﹣2,
A点表示的数为﹣a﹣2﹣3=﹣a﹣5,
∴w=﹣a﹣5﹣a﹣2﹣a﹣a+1=﹣4a﹣6;
即w的值为﹣4a﹣6或4a﹣6.
8.解:
(1)数轴上表示﹣4的点与表示6的点的距离为|﹣4﹣6|=|﹣10|=10,
故答案为:
10;
(2)①|x﹣5|=3,说明数轴上表示数x和5的点的距离为3,
∴点A在数轴上表示的数是8或2;
∵|y+2|=|y﹣(﹣2)|=1,说明数轴上表示数y和﹣2的点的距离为1,
∴点B在数轴上表示的数是﹣3或﹣1;
当点A在数轴上表示的数是8,点B在数轴上表示的数是﹣3,两点间的距离是:
|8﹣(﹣3)|=|8+3|=11;
当点A在数轴上表示的数是8,点B在数轴上表示的数是﹣1,两点间的距离是:
|8﹣(﹣1)|=|8+1|=9;
当点A在数轴上表示的数是2,点B在数轴上表示的数是﹣3,两点间的距离是:
|2﹣(﹣3)|=|2+3|=5;
当点A在数轴上表示的数是2,点B在数轴上表示的数是﹣1,两点间的距离是:
|2﹣(﹣1)|=|2+1|=3.
∴A、B两点间的距离为11或9或5或3.
②∵|x+4|+|x﹣6|=12,
∴|x﹣(﹣4)|+|x﹣6|=12,即数x到﹣4和6的距离之和为12.
当x<﹣4,即数x在数﹣4的左边时,﹣4﹣x+6﹣x=12,
解得:
x=﹣5;
当﹣4≤x≤6,即数x在﹣4和6之间时,x+4+6﹣x=10<12,不符合题意;
当x>6,即数x在数6的右边时,x+4+x﹣6=12,
解得:
x=7.
综上,符合条件的x的值是﹣5或7.
9.解:
(1)AB=|﹣2﹣8|=10,
故答案为10.
(2)PA=|x+2|,
由题意|x+2|=5,解得x=3或﹣7,
故答案为:
|x﹣2|,3或﹣7.
(3)由题意:
|x+2|+|x﹣8|=20,
当x<﹣2时,﹣x﹣2+8﹣x=20,解得x=﹣7,
当﹣2≤x<8时,x+2+8﹣x=20,无解,
当x≥8时,x+2+x﹣8=20,解得x=13,
故答案为﹣7或13.
(4)由题意:
6﹣5t=4﹣t或5t+t=10时,PM=PN,
解得t=
或
,
故答案为
或
.
10.解:
(1)画数轴并在数轴上标示为
;
(2)﹣2与4之间的距离是:
6.故答案是:
6;
(3)①若1表示的点和表示﹣1的点重合,则对称点是原点,则2表示的点与数﹣2表示的点重合;
②若3表示的点和﹣1表示的点重合,则对称点是1,则5表示的点和数﹣3表示的点重合;A、B两点之间的距离为6,且A、B两点经折叠后重合则点A表示的数是﹣2或4;
(4)|x+1|=4,则x+1=±4,则x=3或﹣5;
|x+1|+|x﹣2|=3表示到﹣1与2的距离的和是3的点,则﹣1≤x≤2.
故答案是:
3或﹣5;﹣1≤x≤2.
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