常用分布概率计算的Excel应用.docx
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常用分布概率计算的Excel应用
上机实习常用分布概率计算的Excel应用
利用Excel中的统计函数工具,可以计算二项分布、泊松分布、正态分布等常用概率分布的概率值、累积(分布)概率等。
这里我们主要介绍如何用Excel来计算二项分布的概率值与累积概率,其他常用分布的概率计算等处理与此类似。
§3.1二项分布的概率计算
一、二项分布的(累积)概率值计算
用Excel来计算二项分布的概率值Pn(k)、累积概率Fn(k),需要用BINOMDIST函数,其
格式为:
BINOMDIST(number_s,trials,probability_s,cumulative)其中number_s:
试验成功的次数k;
trials:
独立试验的总次数n;
probability_s:
一次试验中成功的概率p;
cumulative:
为一逻辑值,假设取0或FALSE时,计算概率值Pn(k);假设取1
或TRUE时,那么计算累积概率Fn(k),。
即对二项分布B(n,p)的概率值Pn(k)和累积概率Fn(k),有
Pn(k)=BINOMDIST(k,n,p,0);Fn(k)=BINOMDIST(k,n,p,1)
现结合以下机床维修问题的概率计算来稀疏现象(小概率事件)发生次数说明计算二项
分布概率的具体步骤。
例3.1某车间有各自独立运行的机床假设干台,设每台机床发生故障的概率为,每
台机床的故障需要一名维修工来排除,试求在以下两种情形下机床发生故障而得不到及时维
修的概率:
(1)一人负责15台机床的维修;
(2)3人共同负责80台机床的维修。
原解:
(1)依题意,维修人员是否能及时维修机床,取决于同一时刻发生故障的机床数。
设X表示15台机床中同一时刻发生故障的台数,那么X服从的二项分布:
X〜B(15,0.01),
而P(X=k)=C15k(0.01)k(0.99)15-k,k=0,1,…,15
故所求概率为
P(X>2)=1-P(Xw1)=1-P(X=0)-P(X=1)
=1-(0.99)15-15X0.01X(0.99)14
(2)当3人共同负责80台机床的维修时,设Y表示80台机床中同一时刻发生故障的台数,贝UY服从n=80、的二项分布,即
丫〜B(80,0.01)
此时因为n=80>30,p=0.01w
所以可以利用泊松近似公式:
当n很大,p较小时(一般只要n>30,pw时),对
任一确定的k,有(其中’=np)
kknk
Cnpq■
ek!
来计算。
由‘=np=80X0.01=0.8,利用泊松分布表,
80
kk80_k
ZC80〔0.01〕〔0.99〕一
P〔Y>4〕=k=4
我们发现,虽然第二种情况平均每人需维修
但是其管理质量反而提高了。
Excel求解:
15台机床中同一时刻发生故障的台数X〜B〔n,p〕,其中
那么所求概率为
所求概率为
-80(0.8)k
z_
k±4k!
27台,比第一种情况增加了
80%的工作量,
n=15,p=0.01,
P(X>2)=1-P(Xw1)=1-P(X=O)-P(X=1)=1-Pi5(0)-Pi5
(1)
利用Excel计算概率值Pi5
(1)的步骤为:
(一)函数法:
在单元格中或工作表上方编辑栏中输入“=BIN0MDIST〔1,15,0.01,0〕〞
单元格即出现P15〔1〕的概率为0.130312〔图3-1〕。
图3-1直接输入函数公式的结果〔函数法〕
后回车,选定
〔二〕菜单法:
1.点击图标话框〔图3-2〕;
『X〞或选择“插入〞下拉菜单的“函数〞子菜单,即进入“函数〞对
2.在函数对话框中,“函数分类〞中选择“统计〞,“函数名字〞中选定“BINOMDIST,再单击“确定〞;〔图3-2〕
图3-2“插入〞下的“函数〞对话框
2.进入“BINOMDIST对话框〔图3-3〕,对选项输入适当的值:
在Number_s窗口输入:
1(试验成功的次数k);
在Trials窗口输入:
15(独立试验的总次数n);
在Probability_s窗口输入:
0.01(—次试验中成功的概率p);在Cumulative窗口输入:
0(或FALSE说明选定概率值Pn(k));
图3-3“BINOMDIST对话框
4.最后单击"确定〞,相应单元格中就出现只5
(1)的概率。
类似地假设要求已5(0)的概率值,只需直接输入“=BIN0MDIST(0,15,0.01,0)〞或利用菜
单法,在其第3步选项Number_s窗口输入0,即可得概率值,贝U
P(X>2)=1-P15(0)-P15
(1)=1-0.860058-0.130312=0.00963。
另外,P(X>2)=1-P(XW1)=1-F15
(1),即也可以通过先求累积概率F15
(1)来求解。
而要
求出F15
(1)的值,只需在单元格上直接输入“=BINOMDIST(1,15,0.01,1)〞回车即可;或利
用上述菜单法步骤,在第3步的选项Cumulative窗口输入:
1,即得到累积概率卩仆⑴的值
,故有
P(X>2)=1-P(XW1)=1-F15
(1)=1-0.99037=0.00963。
对于例3.1,Y表示80台机床中同一时刻发生故障的台数,那么Y服从n=80、的
二项分布,即丫〜B(80,0.01)。
所求概率为
P(Y>4)=1-P(YW3)=1-F80(3)
利用Excel,在单元格上直接输入“=BIN0MDIST(3,80,0.01,1)〞回车或与上述菜单法类似
操作可得累积概率F80,故所求概率的精确值为
P(Y>4)=1-P(YW3)=1-F80(仁0.00866。
(注意:
例原解中的结果是泊松近似值)
对于泊松分布、正态分布、指数分布等的概率计算步骤与上述二项分布的概率计算过
程类似,只需利用函数法正确输入相应分布的函数表达式即得结果;或在菜单法的第2步选
择POISSON、NORMDIST、EXPONDIST等函数名,根据第3步对话框的指导输入相应的值即可。
下面我们列出这些常用分布的统计函数及其应用。
§3.2泊松分布的概率计算
、泊松分布的(累积)概率值计算
在Excel中,我们用POISSON函数去计算泊松分布的概率值和累积概率值。
其格式为:
POISSONx,meancumulative)
其中x:
事件数;
Mean:
期望值即参数■。
Cumulative:
为逻辑值,假设取值为1或TRUE,那么计算累积概率值P(XWx),
假设取值为0或FALSE,那么计算随机事件发生的次数恰为x的概率值P(X=x)。
即对服从参数为•的泊松分布的概率值P(X=k)和累积概率值P(X P(X=k)=POISSON(k,-,0);P(X 例如,在例3.1 (2)的原解的泊松近似计算中,Y近似服从・=np=80X的泊松分布P(),需求P(Y>4)。 那么在Excel中,利用函数POISSON(3,0.8,1)就可得到累积概率分布P(Y<3)的值,那么所求概率为 P(Y>4)=1-P(Y<3)=1-0.99092=0.00908。 §3.3正态分布的概率计算 一、NORMDIS函数计算正态分布N(~;」)的分布函数值F(x)和密度值f(x)在Excel中,用函数NORMDIS计算给定均值」和标准差匚的正态分布N(),■? )的分布函数值F(x)=P(Xwx)和概率密度函数值f(x)。 其格式为: NORMDIS(ix,mean,standard_dev,cumulative) 其中x: 为需要计算其分布的数值; Mean: 正态分布的均值七 standard_dev: 正态分布的标准差cr; cumulative: 为一逻辑值,指明函数的形式。 如果取为1或TRUE那么计算分布 函数F(x)=P(Xwx);如果取为0或FALSE计算密度函数f(x)。 即对正态分布N(J"的分布函数值F(x)和密度函数值f(x),有 F(x)=NORMDIST(x,4匚1);f(x)=NORMDIST(x,4匚0) 说明: 如果mean=0且standard_dev=1,函数NORMDIST将计算标准正态分布N(0,1) 的分布函数G(x)和密度(x)。 Excel求解例3.2 (1): 对零件直径X〜N(135,52),应求概率 P(130wXw150)=F(150)-F(130) 在Excel中,输入“=NORMDIST(150,135,5,1)〞即可得到(累积)分布函数F(150)的值“0.998650〞,或用菜单法进入函数“NORMDIST对话框,输入相应的值(见图3-4)即可得同样结果。 再输入“=NORMDIST(130,135,5,1)〞(或菜单法)得到F(130)的值“0.158655〞,故P(130 二、NORMSDIS函数计算标准正态分布N(0,1)的分布函数值叮,(x) 函数NORMSDIS是用于计算标准正态分布N(0,1)的(累积)分布函数: .: 」(x)的值,该分布 的均值为0,标准差为1,该函数计算可代替书后附表所附的标准正态分布表。 其格式为 NORMSDISTZ) 其中z: 为需要计算其分布的数值。 即对标准正态分布N(0,1)的分布函数: .: 」(x),有 G(x)=NORMSDIST(x)。 例3.3设Z〜N(0,1),试求P(-2 那么输入“=NORMSDIST (2)可得门⑵的值“0.97724994〞,输入“= NORMSDIST(-2)可得①(-2)的值“0.02275006〞,故 P(-2 G (2)-门(-2)=0.97724994-0.02275006=0.95449988。 三、NORMSIN函数计算标准正态分布N(0,1)的分位数 函数NORMSIN用于计算标准正态分布N(0,1)的(累积)分布函数的逆函数G-1(p)。 即已知概率值>(x)=p,由NORMSINV(p就可以得到x(=G-1(p))的值,该x就是对应于p=1-的标准正态分布N(0,1)分位数Z1--P函数NORMSIN的格式为 NORMSINV(probability) 其中probability: 标准正态分布的概率值p。 那么对标准正态分布N(0,1)的分位数Z有 Z-=NORMSINV(1<)。 Excel求解例3.2 (2): 在例3.2 (2)原解的计算中,已求得 : CT 那么由Excel中,,得 5 1.281551 故匚=5/1.281551=3.901522。 §指数分布的概率计算 一、指数分布分布函数值和密度值的计算 在Excel中,函数EXPONDIST用于计算指数分布的(累积)分布函数值F(x)和概率密度函数值f(x)。 其格式为: EXPONDIST(x,lambda,cumulative) 其中x: 为需要计算其分布的数值; Lambda: 指数分布的参数值‘。 Cumulative: 为逻辑值,指定函数形式。 假设取1或TRUE将计算分布函数 F(x);假设取0或FALSE,那么计算密度函数f(x)。 即对指数分布的分布函数值F(x)和密度函数值f(x),有 F(x)=EXPONDIST(x,.,1);f(x)=EXPONDIST(x,■,0) Excel求解例3.4: 因X服从的指数分布,由 EXP0NDIST(1000,,1) 可得分布函数F(1000)=P(X<1000)的概率值,故所求的概率为P(X>1000)=1-P(X<1000)=1-F(1000)=1-0.632121=0.367879。 §3.52分布的概率计算 一、CHIDIST函数计算2分布的概率值 在Excel中CHIDIST函数用于计算听分布的单侧概率值ot=P(听>x)。 其格式为 CHIDIST(x,deg_freedom) 其中: x用来计算2分布单侧(尾)概率的数值。 Deg_freedom/分布的自由度n。 说明: 如果参数deg_freedom不是整数,将被截尾取整。 即对2(n)分布单侧概率值P(2>x),有 P(2(n)>x)=CHIDIST(x,n)。 例如t〜32(15),要计算P(E2>20)的概率值,那么只要在Excel中,输入函数 “=CHIDIST(20,15)〞即可得到所求值。 即 P(2>20)=。 二、CHIINV函数计算2分布的上侧: 分位数 CHIINV函数用于计算2分布的上侧: •分位数2-(n),也就是计算单侧概率的CHIDIST函数的逆函数,即如果: =CHIDIST(x,n),贝UCHIINV(: ・,n)=x。 该函数的计算可代替概率统 计书后所附的2分布表。 其格式为 CHIINV(a,deg_freedom) 其中.寫为2分布的单侧概率,-;;o Deg_freedom肇分布的自由度n。 说明: 如果参数deg_freedom不是整数,将被截尾取整。 即对2分布的上侧: •分位数2: (n),有 2-(n)=CHIINV(: n)。 例如,对a=0.05,n=10时,要求上侧a分位数』(10)的值,只要在Excel中输入“=CHIINV(0.05,50)〞即可得到“18.307029〞,即乎(10)=18.307029。 §3.6t分布的概率计算 、TDIST函数计算t分布的概率值 在Excel中TDIST函数用于计算t分布的单侧概率值 : =P(t>x)和双侧概率值 : =P(|t|>x)。 其格式为 TDIST(x,deg_freedom,tails) 其中x为需要计算t分布的数字。 deg_freedomt分布的自由度n。 tails指明计算的概率值是单侧还是双侧的。 假设tails=1计算单侧 概率值: =P(t>x);假设tails=2,那么计算双侧概率值: .=P(|t|>x)。 说明参数deg_freedom和tails不是整数时将被截尾取整。 即对t(n)分布的单侧概率值P(t>x)和双侧概率值P(|t|>x),有 P(t(n)>x)=TDIST(x,n,1);P(|t(n)|>x)=TDIST(x,n,2)。 例如: 要计算P(|t(60)|>2)的概率值,用“TDIST(2,60,2)〞即得。 即 P(|t(60)|>2)=0.050033。 二、TINV函数计算t分布双侧〉分位数 TINV函数用于计算t分布的满足 P(|t|>t: /2(n))=: .(即P(t>t述(n))=: /2) 的双侧: •分位数t-/2(n),也就是计算双侧概率值函数TDIST(: n,2)的逆函数,即如果 : =TDIST(x,n,2),那么TINV(二n)=x。 该函数的计算可代替书后t分布表(附表6)。 其格式为 TINV(o,deg_freedom) 其中〉为对应于t分布的双侧概率值; Deg_freedom为t分布的自由度n。 说明: 如果deg_freedom不为整数时将被截尾取整。 注意,函数TINV(「,n)的值是t: /2(n),如果需要计算t分布的上侧: 分位数t-(n),应由“=TINV(2*: n)〞得到,即 t-(n)=TINV(2: n) 例如,对n=10时,t(10)可由“=TINV(0.05,10)〞得,其值为2.228139; 而t(10)应由“=TINV(0.05*2,10)〞得,其值为。 对,n=50时,t(50)由“=TINV(0.05*2,50)〞得,其值为。 而TINV(0.05,50),是t(50)(~Z°.025=1.96)的值。 §3.7F分布的概率计算 一、FDIST函数计算F分布的概率值 在Excel中FDIST函数用于计算F分布的单侧概率值 : =P(F>x)。 其格式为 FDIST(x,deg_freedom1,deg_freedom2) 其中: x用来计算F分布单侧概率的数值; Deg_freedom1F分布的第一(分子)自由度n1;Deg_freedom2F分布的第二(分母)自由度n2。 说明: 如果参数deg_freedom1或deg_freedom2不是整数,将被截尾取整。 即对F(ni,nJ分布的单侧概率值P{F(n1,n2)>x},有 P{F(ni,n2)>x}=FDIST(x,ni,n2)。 例如,对F〜F(10,5),需求概率值P(F>0.3),那么在Excel中由“=FDIST(0.3,10,5)得,故 P(F(10,5)>0.3)=。 二、FINV函数计算F分布的上侧分位数 FINV函数用于计算F分布的上侧「分位数F: .(n1,n2),也就是计算单侧概率的FDIST函 数的逆函数,即如果: =FDIST(x,n1,n2),那么FINV(〉,n1,n2)=x。 FINV函数的计算可代替书后所附的F分布表。 其格式为 FINV(口,deg_freedom1,deg_freedom2) 其中 a Deg_freedom1 Deg_freedom2 说明: 如果deg_freedom1 即对F分布的上侧 对应于F分布的单侧概率值; F分布的第一(分子)自由度n1; F分布的第二(分母)自由度n2。 或deg_freedom2不是整数,将被截尾取整。 : -分位数F-(n1,n2),有 F(n1,n2)=FINV(: n1,n? )。 例如,对,F°.05(10,5)可由“=FINV(0.05,10,5)〞得,其值为4.735057; 而F0.05(5,10)那么由“=FINV(0.05,5,10)〞得,其值为。 另外,F°.95(10,5)可由“=FINV(0.95,10,5)〞直接求得,其值为。 最后我们给出Excel中常用连续型分布统计函数的简明意义对照表,供查阅。 分布 Excel统计函数 对应概率值 Excel统计函数 对应分位数 正态分布N(U NORMDIST(x,! 4q0) NORMDIST(x,! 4 正态密度f(x) P(X NORMINV(p,Rn) ■1 X1-p=F1(p) 标准正态分布 N(0,1) NORMSDIST(x) P{Z NORMSINV(p) 乙-p(=E(p)) 里分布严(n) CHIDIST(x,n) P{疋(n)>x} CHIINV(qn) 誓&n) T分布t(n) TDIST(x,n,1) P{t(n)>x} TINV(gn) to/2(n) TDIST(x,n,2) P{|t(n)|>x} TINV(Ot*2,n) d) F分布F(n1,%) FDIST(x,n1,n2) P{F(n1,n2)>x} FINV(am,n2) F^n1,n2) 上机训练题二 1.一电子仪器由200个元件构成,每一元件在一年的工作期内发生故障的概率为 。 设各元件是否发生故障是相互独立的,且只要有一元件发生故障,仪器就不 能正常工作。 利用Excel中的统计函数来求: (1)仪器正常工作一年以上的概率; (2)一年内有2个以上(>2)元件发生故障的概率。 2.X服从=4的泊松分布P(),试用Excel求P(X<6)。 3.X〜N(1.5,2),试用Excel中的统计函数来求: (1)P(2 (2)P(E<5);(3)P(|X-1.5|>2) 4.利用Excel中的统计函数来计算以下各值 (1)2(10),/(12),Z;01(6O),『(16); (2)t(4),t(1O),t(12),t(6O); (3)F(1O,9),F(1O,9),F(28,2),F(1O,8)。 5.用Excel求以下各分布的概率值 (1)P(^(21)>10);P(於(21)V15); (2)P(t(4)>3);P(|t(4)|V); (3)P(F(4,12)V5);P(F(4,12)>3)。 上机实习四用Excel求正态总体参数的置信区间 首先我们列出求解单个总体常用参数的置信区间简要结果表,可供查阅。 表4-1单个总体参数的100〔1-: •〕%置信区间 总体 参数 条件 100(1-ot)%置信区间 正态分布 均值 O —(J X士Z0(/2 "n CT未知 "a"梟 2 a未知〔大样本n? 30〕 -S Pn 方差 2 CT 4未知 ((n-1)S2(n-1)S2) (了2,了2丿 丄孕Z1XX 标准差 4未知 (SJ72'^72) P未知〔大样本n>30〕 s+z丄 F面讨论用Excel软件来求正态总体的总体均值和方差的常用置信区间问题。 §4.1用Excel求二2时总体均值的置信区间 总体方差孑时,求总体均值.L的100〔1—: ■〕%的置信区间公式为: —CT (X-Z: /2—, X'Z: ./2——) 例设某药厂生产的某种药片直径 X是一随机变量,服从方差为2的正态分布。 现从某日生产的药片中随机抽取9片,测得其直径分别为〔单位: mm〕 14.1,14.7,14.7,14.4,14.6,14.5,14.5,14.8,14.2,试求该药片直径的均值J的95%置信区间。 解: 对药片直径X,X服从NQ2〕。 对于1—: ,那么: ,查标准正态分布分位数表得临界值 Z-12=Z=1.96, 又;「=,n=9,故 X_Z../2——: 14.5——: 14.5_1.960.08=14.5_ Jnv9 所以,该药片直径的均值的95%置信区间为(,)。 在Excel中,利用样本均值函数AVERAGE和置信区域函数CONFIDENC就可以分别得 —Zr.、/2― 到x和-.n的值,由此即可得到置信区间的上、下限。 其中统计函数AVERAGE和CO
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