江苏省镇江市届高三上学期期末考试数学试题.docx
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江苏省镇江市届高三上学期期末考试数学试题
江苏省镇江市2015届高三上学期期末考试数学试题
第I卷
注意事项:
1.本试卷由填空题和解答题两部分组成,满分160分,考试时间为120分钟.
2.答题前,请您务必将自己的学校、姓名、考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方.
3.答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位置作答一律无效.
一、填空题:
本大题共14小题,每小题5分,共70分.不需要写出解答过程,请把答案
直接填写在答题卡的相应位置上.
1.记复数
为虚数单位)的共轭复数为
,已知
,则
▲.
2.设全集
,集合
,则
=▲.
3.某校共有师生1600人,其中教师有1000人,现用分层抽样的方法,从所有师生中抽取一个容量为80的样本,则抽取学生的人数为▲.
4.若双曲线
的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的
,则该双曲线的渐近线方程是▲.
5.已知向量
,则
▲.
6.执行如图流程图,若输入
,则输出
的值为▲..
7.设
为互不重合的平面,
是互不重合的直线,给出下列四个命题:
①若
,则
;
②若
,则
;
③若
,
,则
;
④若
,则
;
其中正确命题的序号为▲.
8.设
分别为连续两次投掷骰子得到的点数,且向量
,则向量
的夹角为锐角的概率是________.
9.设等比数列
的前
项和为
,若
则
▲.
10.已知直线
过点
且与圆
相交于
两点,
的面积为1,则直线
的方程为▲.
11.若钝角三角形三个内角的度数成等差数列,且最大边与最小边长度之比为
,则
的取值范围是▲.
12.若函数
为定义在
上的奇函数,当
时,
,则不等式
的解集为▲.
13.曲线
与曲线
公切线(切线相同)的条数为▲.
14.已知正数
满足
,则
的最小值为▲.
二、解答题:
本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分14分)
已知
的面积为
,且
.
(1)求
;
(2)若
求
.
16.(本小题满分14分)
如图,在三棱锥
中,已知
是正三角形,
平面
,
,
为
的中点,
在棱
上,且
.
(1)求三棱锥
的体积;
(2)求证:
平面
;
(3)若
为
中点,
在棱
上,且
求证:
平面
.
17.(本小题满分15分)
某飞机失联,经卫星侦查,其最后出现在小岛
附近.现派出四艘搜救船
,为方便联络,船
始终在以小岛
为圆心,100海里为半径的圆上,船
构成正方形编队展开搜索,小岛
在正方形编队外(如图).设小岛
到
的距离为
,
船到小岛
的距离为
.
(1)请分别求
关于
的函数关系式
;并分别写出定义域;
(2)当
两艘船之间的距离是多少时搜救范围最大(即
最大).
18.(本小题满分15分)
已知椭圆
的右焦点
,离心率为
,过
作两条互相垂直的弦
,设
的中点分别为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)证明:
直线
必过定点,并求出此定点坐标;
(3)若弦
的斜率均存在,求
面积的最大值.
19.(本小题满分16分)
已知函数
,实数
满足
,设
.
(1)当函数
的定义域为
时,求
的值域;
(2)求函数关系式
,并求函数
的定义域;
(3)求
的取值范围.
20.(本小题满分16分)
已知数列
中,
,在
之间插入1个数,在
之间插入2个数,在
之间插入3个数,…,在
之间插入
个数,使得所有插入的数和原数列
中的所有项按原有位置顺序构成一个正项等差数列
.
(1)若
,求
的通项公式;
(2)设数列
的前
项和为
,且满足
为常数),求
的通项公式.
江苏省镇江市高三数学期末试题
第Ⅱ卷(理科附加卷)
21.【选做题】本题包括A,B,C,D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答,若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.(选修4-1:
几何证明选讲)
如图,圆
与圆
相交于
两点,点
在圆
上,圆
的弦
切圆
于点
及其延长线交圆
于
两点,过点
作
交
延长线于点
.若
,求
的长.
B.(选修4-2:
矩阵与变换)
已知矩阵
,试求曲线
在矩阵
变换下的函数解析式.
C.(选修4-4:
坐标系与参数方程)
已知直线
的极坐标方程为
,圆
的参数方程为
为参数).
(1)请分别把直线
和圆
的方程化为直角坐标方程;
(2)求直线
被圆截得的弦长.
D.(选修4-5:
不等式选讲)
已知函数
,若不等式
对任意
恒成立,求实数
的取值范围.
【必做题】第22,23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
22.(本小题满分10分)
已知
为曲线
上的动点,定点
,若
,求动点
的轨迹方程.
23.(本小题满分10分)
已知四棱锥
的底面为直角梯形,
底面
且
是
的中点.
(1)证明:
平面
平面
;
(2)求
与
所成角的余弦值;
(3)求平面
与平面
所成二面角(锐角)的余弦值.
江苏省镇江市高三数学期末考试参考答案
第Ⅰ卷
一、填空题(每小题5分)
题号
答案
试题出处
知识点
能力
难度
1
模考题改编
复数的运算,共轭复数
运算
易
2
教材改编
集合的交集与补集
运算
易
3
75
教材改编
分层抽样
运算
易
4
教材改编
双曲线的几何性质
运算
易
5
1
教材改编
向量的数量积
运算
易
6
教材改编
算法流程图
识图
易
7
④
教材改编
立体几何的判定和性质定理
空间想象
中
8
原创
概率问题,向量的夹角
运算
中
9
448
教材改编
等比数列的性质,求和
运算
中
10
,
教材改编
直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式
运算
中
11
模考题改编
正弦定理,角度范围的确定
直觉,图形分析
较难
12
e
原创题
函数的奇偶性,函数求导,函数单调性
图象分析
难
13
1
模考题改编
函数求导,构造函数及画新函数图像
转化,运算
难
14
25
模考题改编
基本不等式求最值
转化
难
二、解答题
15.解:
(1)∵△
的面积为
,且
,
∴
,……2分
∴
,……3分
∴
为锐角,且
,……5分
∴
.……6分
(2)设△
中角
对边分别为
∵
,
,……7分
由正弦定理得:
,即
……9分
∴
,又∵
则
锐角,……10分
∴
,……11分
∴
……12分
=
.……14分
【说明】本题是由模拟试题改编,考查三角形中的边角关系、向量的数量积运算,考查正弦定理,三角变换;考查学生的字母符号处理能力、运算能力能力、书写表达.
16.解:
(1)因为△
是正三角形,且
,所以
,……2分
因为
⊥平面
,
S△BCD
.……5分
(2)在底面
中,(以下运用的定理不交代在同一平面中,扣1分)
取
的中点
,连接
,
为
的中点,
为
的中点,
△
是正三角形,
.
.……10分
(注意:
涉及到立体几何中的结论,缺少一个条件,扣1分,扣满该逻辑段得分为止)
(3)当
时,连
,设
,连
.
为△
的重心,
,当
时,
∥
(11分)
∥
.……14分
【说明】本题是由模考题改编,考查锥体体积、垂直的判定、平行的判定;考查空间想象能力和识图能力,规范化书写表达能力.
17.解:
设
的单位为百海里
(1)由
,
=
,
,……2分
在△
中,
……3分
;
(定义域1分)……5分
若小岛O到
的距离为
,
,……6分
……8分
,
(定义域1分)……10分
(2)
;
.……11分
当
,则
时,即
,
取得最大值,……12分
此时
(百海里).……13分
答:
当
间距离
海里时,搜救范围最大.……14分
【说明】本题是原创题,考查余弦定理,三角恒等变换,数学建模的能力,选择合适的模型求最值的问题.
18.解:
(1)由题意:
,则
,(每个1分)……3分
椭圆的方程为
……4分
(2)
斜率均存在,设直线
方程为:
,
,
得
,……5分
,故
,……6分
将上式中的
换成
,则同理可得:
,……8分
如
,得
,则直线
斜率不存在,
此时直线
过点
,下证动直线
过定点
.……9分(法一)若直线
斜率存在,则
,
直线
为
,……11分
令
,得
,
综上,直线
过定点
.……12分
(法二)动直线
最多过一个定点,由对称性可知,定点必在
轴上,设
与
轴交点为
,下证动直线
过定点
.
当
时,
,……10分
同理将上式中的
换成
,可得
,……11分
则
,直线
过定点
.……12分
(3)由第
(2)问可知直线
过定点
,
故S△FMN=S△FPM+S△FPN
……13分
,
令
,S△FMN
……14分
,则
在
单调递减,……15分
当
时
取得最大值,此时S△FMN取得最大值
,此时
.……16分
【说明】本题原创.考查椭圆的标准方程,椭圆的几何性质;考查函数最值、定点定值问题题型;考查变量代换法、函数思想、分类讨论思想、一般与特殊思想;考查运算能力、演绎论证(分析法证明)能力、直觉思维能力,猜想探究能力.
本题可以不妨设
,可直接对
求导,判断单调性.
19.解:
(1)若
,令
,……1分
在
上为增函数……2分
;
,……3分
值域为
.……4分
(2)实数
满足
,则
,
则
,……6分
而
,
,故
,
,……7分
由题意,
,则
,故
,……8分
又
,
即
,故
,当且仅当
时取得等号,……9分
综上:
.……10分
(3)
,
……12分
令
,
当
恒成立,……14分
故
在
单调递增,
,故
.……16分
【说明】本题原创,考查二次函数、指数函数的单调性,考查基本不等式、导数的应用;考查换元法、划归思想;考查运算变形能力.
20.解:
(1)设
的公差为
,由题意:
数列
的前几项为:
……2分
为
的第10项,则
,……4分
,而
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