全国各地中考数学压轴题专集1.docx
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全国各地中考数学压轴题专集1
2010年全国各地中考数学压轴题专集
1.(北京市)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-
x2+
x+m2-3m+2与x轴的交点分别为原点O和点A,点B(2,n)在这条抛物线上.
(1)求点B的坐标;
(2)点P在线段OA上,从O点出发向A点运动,过P点作x轴的垂线,与直线OB交于点E,延长PE到点D,使得ED=PE,以PD为斜边,在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动时,C点、D点也随之运动).
①当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时,求OP的长;
②若P点从O点出发向A点作匀速运动,速度为每秒1个单位,同时线段OA上另一个点Q从A点出发向O点作匀速运动,速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动,P点也同时停止运动).过Q点作x轴的垂线,与直线AB交于点F,延长QF到点M,使得FM=QF,以QM为斜边,在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q点运动时,M点、N点也随之运动).
若P点运动到t秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻t的值.
2.(天津市)在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点.
(Ⅰ)若E为边OA上的一个动点,当△CDE的周长最小时,求点E的坐标;
(Ⅱ)若E、F为边OA上的两个动点,且EF=2,当四边形CDEF的周长最小时,求点E、F的坐标.
3.(天津市)在平面直角坐标系中,
已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧),与y轴的正半轴交于点C,顶点为E.
(Ⅰ)若b=2,c=3,求此时抛物线顶点E的坐标;
(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移,若平移后,在四边形ABEC中满足S△BCE=S△ABC,求此时直线BC的解析式;
(Ⅲ)将(Ⅰ)中的抛物线作适当的平移,若平移后,在四边形ABEC中满足S△BCE=2S△AOC,且顶点E恰好落在直线y=-4x+3上,求此时抛物线的解析式.
4.(上海市)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,半径为1的圆A与边AB相交于点D,与边AC相交于点E,连结DE并延长,与线段BC的延长线交于点P.
(1)当∠B=30°时,连结AP,若△AEP与△BDP相似,求CE的长;
(2)若CE=2,BD=BC,求∠BPD的正切值;
(3)若tan∠BPD=
,设CE=x,△ABC的周长为y,求y关于x的函数关系式.
5.(重庆市)已知:
如图①,在平面直角坐标系xOy中,边长为2的等边△OAB的顶点B在第一象限,顶点A在x轴的正半轴上.另一等腰△OCA的顶点C在第四象限,OC=AC,∠C=120°.现有两动点P,Q分别从A,O两点同时出发,点Q以每秒1个单位的速度沿OC向点C运动,点P以每秒3个单位的速度沿A→O→B运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随即停止.
(1)求在运动过程中形成的△OPQ的面积S与运动的时间t之间的函数关系,并写出自变量t的取值范围;
(2)在等边△OAB的边上(点A除外)存在点D,使得△OCD为等腰三角形,请直接写出所有符合条件的点D的坐标;
(3)如图②,现有∠MCN=60°,其两边分别与OB,AB交于点M,N,连接MN.将∠MCN绕着C点旋转(0°<旋转角<60°),使得M,N始终在边OB和边AB上.试判断在这一过程中,△BMN的周长是否发生变化?
若没变化,请求出其周长;若发生变化,请说明理由.
6.(重庆市綦江县)已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点B(12,0)和C(0,-6),对称轴为x=2.
(1)求该抛物线的解析式:
(2)点D在线段AB上且AD=AC,若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动,同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动,问是否存在某一时刻,使线段PQ被直线CD垂直平分?
若存在,请求出此时的时间t(秒)和点Q的运动速度;若不存在,请说明理由;
(3)在
(2)的结论下,直线x=1上是否存在点M,使△MPQ为等腰三角形?
若存在,请求出所有点M的坐标;若不存在,请说明理由.
7.(重庆市江津区)如图,抛物线y=ax2+bx+1与x轴交于两点A(-1,0),B(1,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点B作BD∥CA与抛物线交于点D,求四边形ACBD的面积;
(3)在x轴下方的抛物线上是否存在点M,过M作MN⊥x轴于点N,使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似?
若存在,则求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
8.(重庆市潼南县)如图,已知抛物线y=
x2+bx+c与y轴相交于C,与x轴相交于A、B,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,-1).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点E是线段AC上一动点,过点E作DE⊥x轴于点D,连结DC,当△DCE的面积最大时,求点D的坐标;
(3)在直线BC上是否存在一点P,使△ACP为等腰三角形,若存在,求点P的坐标,若不存在,说明理由.
9.(安徽省)如图,已知△ABC∽△A1B1C1,相似比为k(k>1),且△ABC的三边长分别为a、b、c(a>b>c),△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1.
(1)若c=a1,求证:
a=kc;
(2)若c=a1,试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1,使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数,并加以说明;
(3)若b=a1,c=b1,是否存在△ABC和△A1B1C1,使得k=2?
请说明理由.
10.(安徽省B卷)如图,Rt△ABC内接于⊙O,AC=BC,∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D,与BC交于点E,延长BD,与AC的延长线交于点F,连结CD,G是CD的中点,连结OG.
(1)判断OG与CD的位置关系,写出你的结论并证明;
(2)求证:
AE=BF;
(3)若OG·DE=3(2-
),求⊙O的面积.
11.(安徽省B卷)已知:
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-1,与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中A(-3,0)、C(0,-2).
(1)求这条抛物线的函数表达式.
(2)已知在对称轴上存在一点P,使得△PBC的周长最小.请求出点P的坐标.
(3)若点D是线段OC上的一个动点(不与点O、点C重合).过点D作DE∥PC交x轴于点E,连接PD、PE.设CD的长为m,△PDE的面积为S.求S与m之间的函数关系式.试说明S是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由.
12.(安徽省芜湖市)(本小题满分12分)如图,BD是⊙O的直径,OA⊥OB,M是劣弧
上一点,过M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点,MD与OA交于N点.
(1)求证:
PM=PN;
(2)若BD=4,PA=
AO,过B点作BC∥MP交⊙O于C点,求BC的长.
13.(安徽省芜湖市)如图,在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO,其顶点为A(0,1)、B(-
,1)、C(-
,0)、O(0,0).将此矩形沿着过E(-
,1)、F(-
,0)的直线EF向右下方翻折,B、C的对应点分别为B′、C′.
(1)求折痕所在直线EF的解析式;
(2)一抛物线经过B、E、B′三点,求此二次函数解析式;
(3)能否在直线EF上求一点P,使得△PBC周长最小?
如能,求出点P的坐标;若不能,说明理由.
14.(安徽省合肥一中自主招生)已知:
甲、乙两车分别从相距300(km)的M、N两地同时出发相向而行,其中甲到达N地后立即返回,图1、图2分别是它们离各自出发地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数图象.
(1)试求线段AB所对应的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(2)当它们行驶到与各自出发地的距离相等时,用了
h,求乙车的速度;
(3)在
(2)的条件下,求它们在行驶的过程中相遇的时间.
15.(安徽省合肥一中自主招生)如图1,在△ABC中,AB=BC,且BC≠AC,在△ABC上画一条直线,若这条直线既平分△ABC的面积,又平分△ABC的周长,我们称这条线为△ABC的“等分积周线”.
(1)请你在图1中用尺规作图作出一条△ABC的“等分积周线”;
(2)在图1中过点C能否画出一条“等分积周线”?
若能,说出确定的方法;若不能,请说明理由;
(3)如图2,若AB=BC=5cm,AC=6cm,请你找出△ABC的所有“等分积周线”,并简要说明确定的方法.
16.(安徽省合肥一中自主招生)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,点P以一定的速度沿AC边由A向C运动,点Q以1cm/s的速度沿CB边由C向B运动,设P、Q同时运动,且当一点运动到终点时,另一点也随之停止运动,设运动时间为t(s).
(1)若点P以
cm/s的速度运动
①当PQ∥AB时,求t的值;
②在①的条件下,试判断以PQ为直径的圆与直线AB的位置关系,并说明理由.
(2)若点P以1cm/s的速度运动,在整个运动过程中,以PQ为直径的圆能否与直线AB相切?
若能,请求出运动时间t;若不能,请说明理由.
17.(安徽省蚌埠二中自主招生)青海玉树发生7.1级强震后,为使人民的生命财产损失降到最低,部队官兵发扬了连续作战的作风。
刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令,一分队立即出发前往距营地30千米的A镇;二分队因疲劳可在营地休息a(0≤a≤3)小时再前往A镇参加救灾。
一分队出发后得知,唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方,塌方地形复杂,必须由一分队用1小时打通道路。
已知一分队的行进速度为b千米/时,二分队的行进速度为(4+a)千米/时.
(1)若二分队在营地不休息,要使二分队在最短时间内赶到A镇,一分队的行进速度至少为多少千米/时?
(2)若b=4千米/时,二分队和一分队同时赶到A镇,二分队应在营地休息几小时?
18.(安徽省蚌埠二中自主招生)如图1、2是两个相似比为1:
的等腰直角三角形,将两个三角形如图3放置,小直角三角形的斜
边与大直角三角形的一直角边重合.
(1)在图3中,绕点D旋转小直角三角形,使两直角边分别与AC、BC交于点E、F,如图4.
求证:
AE2+BF2=EF2;
(2)若在图3中,绕点C旋转小直角三角形,使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F,如图5,此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立?
若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半,AE、AF分别与对角线BD交于M、N,试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长?
若能,指出三角形的形状,并给出证明;若不能,请说明理由.
;
19.(河南省)如图,直线y=k1x+b与反比例函数y=
(x>0)的图象交于A(1,6),B(a,3)两点.
(1)求k1、k2的值;
(2)直接写出k1x+b-
>0时x的取值范围;
(3)如图,等腰梯形OBCD中,BC∥OD,OB=CD,OD边在x轴上,过点C作CE⊥OD于E,CE和反比例函数的图象交于点P,当梯形OBCD的面积为12时,请判断PC和PE的大小关系,并说明理由.
20.(河南省)
(1)操作发现·
如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到△GBE,且点G在矩形ABCD内部.小明将BG延长交DC于点F,认为GF=DF,你同意吗?
说明理由.
(2)问题解决
保持
(1)中的条件不变,若DC=2DF,求
的值;
(3)类比探究
保持
(1)中的条件不变,若DC=n·DF,求
的值.
21.(河南省)在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0),B(0,-4),C(2,0)三点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.
(3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标.
22.(河北省)如图,在直角坐标系中,矩形OABC的顶点O与坐标原点重合,顶点A,C分别在坐标轴上,顶点B的坐标为(4,2).过点D(0,3)和E(6,0)的直线分别与AB,BC交于点M,N.
(1)求直线DE的解析式和点M的坐标;
(2)若反比例函数y=
(x>0)的图象经过点M,求该反比例函数的解析式,并通过计算判断点N是否在该函数的图象上;
(3)若反比例函数y=
(x>0)的图象与△MNB有公共点,请直接写出m的取值范围.
23.(河北省)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=6,BC=8,AB=
,点M是BC的中点.点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,到达点B后立刻以原速度沿BM返回;点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动.在点P,Q的运动过程中,以PQ为边作等边三角形EPQ,使它与梯形ABCD在射线BC的同侧.点P,Q同时出发,当点P返回到点M时停止运动,点Q也随之停止.
设点P,Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)设PQ的长为y,在点P从点M向点B运动的过程中,写出y与t之间的函数关系式(不必写t的取值范围);
(2)当BP=1时,求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积.
(3)随着时间t的变化,线段AD会有一部分被△EPQ覆盖,被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值,请回答:
该最大值能否持续一个时段?
若能,直接写出t的取值范围;若不能,请说明理由.
24.(河北省)某公司销售一种新型节能产品,现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售.
若只在国内销售,销售价格y(元/件)与月销量x(件)的函数关系式为y=-
x+150,成本为20元/件,无论销售多少,每月还需支出广告费62500元,设月利润为w内(元)(利润=销售额-成本-广告费).
若只在国外销售,销售价格为150元/件,受各种不确定因素影响,成本为a元/件(a为常数,10≤a≤40),当月销量为x(件)时,每月还需缴纳
x2元的附加费,设月利润为w外(元)(利润=销售额-成本-附加费).
(1)当x=1000时,y=___________元/件,w内=___________元;
(2)分别求出w内,w外与x间的函数关系式(不必写x的取值范围);
(3)当x为何值时,在国内销售的月利润最大?
若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同,求a的值;
(4)如果某月要将5000件产品全部销售完,请你通过分析帮公司决策,选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大?
参考公式:
抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(-
,
).
25.(陕西省)如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过A(-1,0),B(3,0),C(0,-1)三点.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件的点P的坐标.
26.(陕西省)
问题探究
(1)请你在图①中作一条直线,使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分;
(2)如图②,点M是矩形ABCD内一定点,请你在图②中过点M作一条直线,使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分;
问题解决
(3)如图③,在平面直角坐标系中,直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图,其中DC∥OB,OB=6,BC=4,CD=4.开发区综合服务管理委员会(其占地面积不计)设在点P(4,2)处.为了方便驻区单位,准备过点P修一条笔直的道路(路的宽度不计),并且使这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分.你认为直线l是否存在?
若存在,求出直线l的表达式;若不存在,请说明理由.
27.(浙江省杭州市)在平面直角坐标系xOy中,抛物线的解析式是y=
x2+1,点C的坐标为(-4,0),平行四边形OABC的顶点A,B在抛物线上,AB与y轴交于点M,已知点Q(x,y)在抛物线上,点P(t,0)在x轴上.
(1)写出点M的坐标;
(2)当四边形CMQP是以MQ,PC为腰的梯形时.
①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围;
②当梯形CMQP的两底的长度之比为1:
2时,求t的值.
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