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设计部分.docx
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设计部分
专题之方案设计一
一.不等式组的实际应用
(2011年桂林)某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人,如果给每个老人分5盒,则剩下38盒,如果给每个老人分6盒,则最后一个老人不足5盒,但至少分得一盒.
(1)设敬老院有x名老人,则这批牛奶共有多少盒?
(用含x的代数式表示).
(2)该敬老院至少有多少名老人?
最多有多少名老人?
解:
(1)牛奶盒数:
盒…………1分
(2)根据题意得:
…………4分
∴不等式组的解集为:
39<
≤43…………6分
∵
为整数
∴
40,41,42,43
答:
该敬老院至少有40名老人,最多有43名老人.…………8分
二.函数的实际应用
(2012•聊城)某电子厂商投产一种新型电子厂品,每件制造成本为18元,试销过程中发现,每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100.(利润=售价﹣制造成本)
(1)写出每月的利润z(万元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得3502万元的利润?
当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润?
最大利润是多少?
(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于32元,如果厂商要获得每月不低于350万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?
考点:
二次函数的应用;一次函数的应用。
分析:
(1)根据每月的利润z=(x﹣18)y,再把y=﹣2x+100代入即可求出z与x之间的函数解析式,
(2)把z=350代入z=﹣2x2+136x﹣1800,解这个方程即可,将z═﹣2x2+136x﹣1800配方,得z=﹣2(x﹣34)2+512,即可求出当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润,最大利润是多少.
(3)结合
(2)及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象即可求出当25≤x≤43时z≥350,再根据限价32元,得出25≤x≤32,最后根据一次函数y=﹣2x+100中y随x的增大而减小,即可得出当x=32时,每月制造成本最低,最低成本是18×(﹣2×32+100)
解:
(1)z=(x﹣18)y=(x﹣18)(﹣2x+100)=﹣2x2+136x﹣1800,
∴z与x之间的函数解析式为z=﹣2x2+136x﹣1800;
(2)由z=350,得350=﹣2x2+136x﹣1800,
解这个方程得x1=25,x2=43
所以,销售单价定为25元或43元,
将z═﹣2x2+136x﹣1800配方,得z=﹣2(x﹣34)2+512,
因此,当销售单价为34元时,每月能获得最大利润,最大利润是512万元;
(3)结合
(2)及函数z=﹣2x2+136x﹣1800的图象(如图所示)可知,
当25≤x≤43时z≥350,
又由限价32元,得25≤x≤32,
根据一次函数的性质,得y=﹣2x+100中y随x的增大而减小,
∴当x=32时,每月制造成本最低.最低成本是18×(﹣2×32+100)=648(万元),
因此,所求每月最低制造成本为648万元.
三.方程,不等式,函数综合的实际应用
(2011•潍坊)2010年秋冬北方严重干早,凤凰社区人畜饮用水紧张.毎天需从社区外调运饮用水120吨,有关部门紧急部署,从甲、乙两水厂调运饮用水到社区供水点,甲厂毎天最多可调出80吨,乙厂毎天最多可调出90吨.从两水厂运水到凤凰社区供水点的路程和运费如下表:
到凤凰社区供水点的路程(千米)
运费(元/吨•千米)
甲厂
20
12
乙厂
14
15
(1)若某天调运水的总运费为26700元,则从甲、乙两水厂各调运了多少吨饮用水?
(2)设从甲厂调运饮用水x吨,总运费为W元.试写出W关于与x的函数关系式,怎样安排调运方案才能使毎天的总运费最省?
考点:
一次函数的应用;二元一次方程组的应用;一元一次不等式的应用。
专题:
优选方案问题。
分析:
(1)设设从甲厂调运了x吨饮用水,从甲厂调运了y吨饮用水,然后根据题意毎天需从社区外调运饮用水120吨与某天调运水的总运费为26700元列方程组即可求得答案;
(2)首先根据题意求得一次函数W=20×12x+14×15(120﹣x),又由甲厂毎天最多可调出80吨,乙厂毎天最多可调出90吨,确定x的取值范围,则由一次函数的增减性即可求得答案.
解:
(1)设从甲厂调运了x吨饮用水,从甲厂调运了y吨饮用水,
由题意得:
,
解得:
,
∵50≤80,70≤90,∴符合条件,
∴从甲、乙两水厂各调运了50吨、0吨吨饮用水;
(2)从甲厂调运饮用水x吨,则需从乙调运水120﹣x吨,
∵x≤80,且120﹣x≤90,∴30≤x≤80,
总运费W=20×12x+14×15(120﹣x)=30x+25200,
∵W随X的增大而增大,∴当x=30时,W最小=26100元,
∴每天从甲厂调运30吨,从乙厂调运90吨,每天的总运费最省.
点评:
此题考查了二元一次方程组与一次函数的实际应用.此题难度适中,解题的关键是理解题意,抓住等量关系.
四.方案设计
(2011年青岛)某企业为了改善污水处理条件,决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8台,其中每台的价格、月处理污水量如下表:
经预算,企业最多支出57万元购买污水处理设备,
A型
B型
价格(万元/台)
8
6
月处理污水量(吨/月)
200
180
且要求设备月处理污水量不低于1490吨.
(1)企业有哪几种购买方案?
(2)哪种购买方案更省钱?
专题之方案设计二
1.(2010·宜宾中考)小明利用课余时间回收废品,将卖得的钱去购买5本大小不同的两种笔记本,要求共花钱不超过28元,且购买的笔记本的总页数不低于340页,两种笔记本的价格和页数如下表.为了节约资金,小明应选择哪一种购买方案?
请说明理由.
【解析】设购买大笔记本为x本,则购买小笔记本为(5-x)本,依题意,得
解得1≤x≤3.
当x=1时,购买笔记本的总金额为6×1+5×4=26(元);
当x=2时,购买笔记
∵x为整数,∴x的取值为1,2,3.本的总金额为6×2+5×3=27(元);
当x=3时,购买笔记本的总金额为6×3+5×2=28(元).
∴应购买大笔记本1本,小笔记本4本,花钱最少.
2.坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋(公元1112年),为砖彻八角形十三层楼阁式建筑.数学活动小组开展课外实践活动,在一个阳光明媚的上午,他们去测量太子灵踪塔的高度,携带的测量工具有:
测角仪、皮尺、小镜子.
(1)小华利用测角仪和皮尺测量塔高.图1为小华测量塔高的示意图.她先在塔前的平地上选择一点
,用测角仪测出看塔顶
的仰角
,在
点和塔之间选择一点
,测出看塔顶
的仰角
,然后用皮尺量出
、
两点的距离为
m,自身的高度为
m.请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度(
,结果保留整数).
(2)如果你是活动小组的一员,正准备测量塔高,而此时塔影
的长为
m(如图2),你能否利用这一数据设计一个测量方案?
如果能,请回答下列问题:
①在你设计的测量方案中,选用的测量工具是:
;
②要计算出塔的高,你还需要测量哪些数据?
.
解:
(1)设
的延长线交
于
点,
长为
,则
.
∵
∴
.∴
.
∵
∴
解得
.
∴太子灵踪塔
的高度为
.………………………………4分
(2)①测角仪、皮尺;②站在P点看塔顶的仰角、自身的高度.
(注:
答案不唯一)……………………………………8分
3.
答案:
4.(2011•东营)随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展,汽车已越来越多地进入普通家庭,成为居民消费新的增长点.据某市交通部门统计,2008年底全市汽车拥有量为15万辆,而截止到2010年底,全市的汽车拥有量已达21.6万辆.
(1)求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率;
(2)为保护城市环境,缓解汽车拥堵状况,从2011年初起,该市交通部门拟控制汽车总量,要求到2012年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆;另据估计,该市从2011年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.假定在这种情况下每年新增汽车数量相同,请你计算出该市每年新增汽车数多不能超过多少万辆.
考点:
一元二次方程的应用;一元一次不等式的应用。
分析:
(1)设该市汽车拥有量的年平均增长率为x,根据题意列出方程,不合题意的解,舍去即可;
(2)设全市每年新增汽车数量为y万两,则得出2011年底和2012年底全市的汽车拥有量,从而列出不等式求解即可.
解答:
解:
(1)设该市汽车拥有量的年平均增长率为x,根据题意得,15(1+x)2=21.6
解得:
x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意,舍去).
答:
该市汽车拥有量的年平均增长率为20%;
(2)设全市每年新增汽车数量为y万两,则2011年底全市的汽车拥有量为21.6×90%+y万两,2012年底全市的汽车拥有量为(21.6×90%+y)×90%+y万两.
根据题意得:
(21.6×90%+y)×90%+y≤23.196,
解得y≤3,
答:
该市每年新增汽车数量最多不能超过3万两.
点评:
本题考查了一元二次方程和不等式的应用,判断所求的解是否符合题意,舍去不合题意的解.找到关键描述语,找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键.
5.(2012•莱芜)为表彰在“缔造完美教室”活动中表现积极的同学,老师决定购买文具盒与钢笔作为奖品.已知5个文具盒、2支钢笔共需100元;4个文具盒、7支钢笔共需161元.
(1)每个文具盒、每支钢笔各多少元?
(2)时逢“五一”,商店举行优惠促销活动,具体办法如下:
文具盒九折,钢笔10支以上超出部分八折.设买x个文具盒需要y1元,买x支钢笔需要y2元,求y1、y2关于x的函数关系式;
(3)若购买同一种奖品,并且该奖品的数量超过10件,请分析买哪种奖品省钱.
考点
一次函数的应用;二元一次方程组的应用。
1367104
专题
优选方案问题。
分析
(1)设每个文具盒x元、每支钢笔y元,然后根据花费100元与161元分别列出方程组成方程组,解二元一次方程组即可;
(2)根据促销方法对文具盒列出函数关系式,对钢笔分x≤10与x>10两种情况列出函数关系式;
(3)求出买两种奖品花钱相同时的件数,然后根据一次函数的性质讨论求解.
解答
解:
(1)设每个文具盒x元、每支钢笔y元,
根据题意得,
,
解得
,
故,每个文具盒、每支钢笔各14元,15元;
(2)根据题意,y1=0.9×14x=12.6x,
当x≤10时,y2=15x,
当x>10时,y2=15×10+(x﹣10)×15×0.8=150+12x﹣120=12x+30;
(3)当买两种奖品花钱相同时,12.6x=12x+30,
解得x=50,
所以,①当所买奖品小于50件时,买文具盒更节省,
②当所买奖品等于50件时,买文具盒与钢笔都一样,
③当所买奖品大于50件时,买钢笔更节省.
点评
本题考查的是用一次函数解决实际问题,二元一次方程组的应用,本题根据题意列出二元一次方程组求出文具盒与钢笔的单价是解题的关键.
6.(本小题满分10分)某商场经营某种品牌的童装,购进时的单价是60元.根据市场调查,在一段时间内,销售单价是80元时,销售量是200件,而销售单价每降低1元,就可多售出20件.
(1)写出销售量y件与销售单价x元之间的函数关系式;
(2)写出销售该品牌童装获得的利润w元与销售单价x元之间的函数关系式;
(3)若童装厂规定该品牌童装销售单价不低于76元,且商场要完成不少于240件的销售任务,则商场销售该品牌童装获得的最大利润是多少?
7.某儿童服装店欲购进A、B两种型号的儿童服装.经调查:
B型号童装的进货单价是A型号童装的进货单价的两倍,购进A型号童装60件和B型号童装40件共用去2100元.
(1)求A、B两种型号童装的进货单价各是多少元?
(2)若该店每销售1件A型号童装可获利4元,每销售1件B型号童装可获利9元,该店准备用不超过6300元购进A、B两种型号童装共300件,且这两种型号童装全部售出后总获利不低于1795元.问该店应该怎样安排进货,才能使总获利最大?
最大总获利为多少元?
答案:
8.为打造“书香校园”,某学校计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.
(1)问符合题意的组建方案有几种?
请你帮学校设计出来;
(2)若组建一个中型图书角的费用是860元,组建一个小型图书角的费用是570元,试说明在
(1)中哪种方案费用最低?
最低费用是多少元?
解:
(1)设组建中型图书角x个,则组建小型图书角为(30-x)个.………………1分
由题意得…………………………3分
解这个不等式组得18≤x≤20.
由于x只能取整数,∴x的取值是18,19,20.………………5分
当x=18时,30-x=12;当x=19时,30-x=11;当x=20时,30-x=10.
故有三种组建方案:
方案一,组建中型图书角18个,小型图书角12个;方案二,组建中型图书角19个,小型图书角11个;方案三,组建中型图书角20个,小型图书角10个.……7分
(2)方法一:
由于组建一个中型图书角的费用大于组建一个小型图书角的费用,因此组建中型图书角的数量越少,费用就越低,故方案一费用最低,
最低费用是860×18+570×12=22320(元).…………………10分
方法二:
①方案一的费用是:
860×18+570×12=22320(元);
②方案二的费用是:
860×19+570×11=22610(元);
③方案三的费用是:
860×20+570×10=22900(元)
故方案一费用最低,最低费用是22320元.
9.如图,某天然气公司的主输气管道从A市的东偏北30°方向直线延伸,测绘员在A处测得要安装天然气的M小区在A市东偏北60°方向,测绘员沿主输气管道步行2000米到达C处,测得小区M位于C的北偏西60°方向,请你在主输气管道上寻找支管道连接点N,使到该小区铺设的管道最短,并求AN的长.
解:
过M作MN⊥AC,此时MN最小,AN=1500米
10.(2010宁波)
11.(2010•衡阳)某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车,计划一年生产安装240辆.由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装,工厂决定招聘一些新工人;他们经过培训后上岗,也能独立进行电动汽车的安装.生产开始后,调研部门发现:
1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车;2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车.
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车?
(2)如果工厂招聘n(0<n<10)名新工人,使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务,那么工厂有哪几种新工人的招聘方案?
(3)在
(2)的条件下,工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资,给每名新工人每月发1200元的工资,那么工厂应招聘多少名新工人,使新工人的数量多于熟练工,同时工厂每月支出的工资总额W(元)尽可能地少?
考点:
一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用.
专题:
应用题;方案型.
分析:
(1)设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车.
根据“1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车”和“2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车”列方程组求解.
(2)设工厂有a名熟练工.根据新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务,根据a,n都是正整数和0<n<10,进行分析n的值的情况;
(3)建立函数关系式,根据使新工人的数量多于熟练工,同时工厂每月支出的工资总额W(元)尽可能地少,两个条件进行分析.
解答:
解:
(1)设每名熟练工和新工人每月分别可以安装x、y辆电动汽车.
根据题意,得
x+2y=8
2x+3y=14
解得
x=4
y=2
答:
每名熟练工和新工人每月分别可以安装4、2辆电动汽车.
(2)设工厂有a名熟练工.
根据题意,得12(4a+2n)=240,
2a+n=10,
n=10-2a,
又a,n都是正整数,0<n<10,
所以n=8,6,4,2.
即工厂有4种新工人的招聘方案.
①n=8,a=1,即新工人8人,熟练工1人;
②n=6,a=2,即新工人6人,熟练工2人;
③n=4,a=3,即新工人4人,熟练工3人;
④n=2,a=4,即新工人2人,熟练工4人.
(3)结合
(2)知:
要使新工人的数量多于熟练工,
则n=8,a=1;或n=6,a=2;或n=4,a=3.
根据题意,得
W=2000a+1200n=2000a+1200(10-2a)=12000-400a.
要使工厂每月支出的工资总额W(元)尽可能地少,则a应最大.
显然当n=4,a=3时,工厂每月支出的工资总额W(元)尽可能地少.
点评:
此题要能够理解题意,正确找到等量关系和不等关系,熟练解方程组和根据条件分析不等式中未知数的值
12.某学校组织340名师生进行长途考察活动,带有行李170件,计划租用甲、乙两种型号的汽车10辆。
经了解,甲车每辆最多能载40人和16件行李,乙车每辆最多能载30人和20件行李。
(1)请你帮助学校设计所有可行的租车方案;
(2)如果甲车的租金为每辆2000元,乙车的租金为每辆1800元,问哪种可行方案使租车费用最省?
解:
(1)四种方案,分别为:
(2)
最便宜,费用为18800元。
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