全等中的动点问题.docx
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全等中的动点问题
1.如图,在等边
的顶点A、C处各有一只蜗牛,它们同时出发,分别以每分钟1各单位的速度油A向B和由C向A爬行,其中一只蜗牛爬到终点时,另一只也停止运动,经过t分钟后,它们分别爬行到D,E处,请问
(1)在爬行过程中,CD和BE始终相等吗?
(2)若蜗牛沿着AB和CA的延长线爬行,EB与CD交于点Q,其他条件不变,如图
(2)所示,蜗牛爬行过程中
的大小条件不变,求证:
(3)如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行,连接DE交AC于F”,其他条件不变,则爬行过程中,DF始终等于EF是否正确
1、如图,在等边△ABC的顶点A、C处各有一只蜗牛,它们同时出发,分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行,经过t分钟后,它们分别爬行到D、E处,请问
(1)在爬行过程中,CD和BE始终相等吗?
(2)如果将原题中的“由A向B和由C向A爬行”,改为“沿着AB和CA的延长线爬行”,EB与CD交于点Q,其他条件不变,如图
(2)所示,蜗牛爬行过程中∠CQE的大小保持不变.请利用图
(2)情形,求证:
∠CQE=60°;
(3)如果将原题中“由C向A爬行”改为“沿着BC的延长线爬行,连接DE交AC于F”,其他条件不变,如图(3),则爬行过程中,DF始终等于EF是否正确.
答案
解:
(1)CD与BE相等。
证明:
由于两只蜗牛同时以相同的速度爬行,所以路程相同,即AD=CE。
∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC,∠A=∠BCE;
在△ADC与CEB中
∴△ADC≌△CEB
∴CD=BE
由于t为任意时刻,所以当t为任意值时都有CD=BE,即CD和BE始终相等。
(2)证明:
由于两只蜗牛以相同速度同时出发,所以路程相同,即AD=CE
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC,∴AD-AB=CE-AC,即AE=BD
而由△ABC是等边三角形还可得
AB=CB,∠CBD=∠BAE=120°
在△EAB和△DBC中
∴△EAB≌△DBC(SAS)
∴∠1=∠4,而∠2=∠3
∴∠1+∠2=∠3+∠4
又∠CQE=∠1+∠2,∠5=∠3+∠4=60°
∴∠CQE=∠5=60°。
(3)正确。
证明:
如图,过点D作DG∥BE交AC于点G。
由于△ABC为等边三角形,∴∠A=∠B=60°
∵DG∥BE∴∠1=∠2,∠ADG=∠B=60°,∴△ADG为等边三角形
∴AD=DG
由于蜗牛速度和出发时间相同,所以路程相等,即AD=CE
∴DG=CE
在△DGF和△ECF中
∴△DGF≌△ECF
∴DF=EF
而由于运动时间是任意的,故DF是中等于EF。
1、如图
(1),在等边的顶点B、C处各有一只蜗牛,它们同时出发△ABC分别以每分钟1各单位的速度由B向C和由C向A爬行,其中一只蜗牛爬到终点s时,另一只也停止运动,经过t分钟后,它们分别爬行到D,P处,请问:
(1)在爬行过程中,BD和AP始终相等吗?
为什么?
(2)问蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小有无变化?
请证明你的结论.
(3)若蜗牛沿着BC和CA的延长线爬行,BD与AP交于点Q,其他条件不变,如图
(2)所示,蜗牛爬行过程中的∠DQA大小变化了吗?
若无变化,请证明.若有变化,请直接写出∠DQA的度数.
(1)在爬行过程中,BD和AP始终相等,
理由是:
∵△ABC是等边三角形,
∴∠CAB=∠C=∠ABP=60°,AB=BC,
在△BDC和△APB中,
BC=AB,∠C=∠ABP,CD=BP,
∴△BDC≌△APB(SAS),
∴BD=AP.
(2)蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小无变化,
理由:
∵△BDC≌△APB,
∴∠CBD=∠BAP,
∴∠DQA=∠DBA+∠BAP=∠DBA+∠CBD=∠ABC=60°,
即蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的∠DQA大小无变化,始终是60°.
(3)蜗牛爬行过程中的∠DQA大小无变化,
理由是:
根据题意得:
BP=CD,
∵BC=AC,
∴CP=AD,
∵△ABC是等边三角形,
∴AC=AB,∠CAB=∠ACB=60°,
∵∠ACP+∠ACB=180°,∠DAB+∠CAB=180°,
∴∠ACP=∠BAD,
在△ABD和△ACP中,
AB=AC,∠BAD=∠ACP,AD=CP
∴△ABD≌△ACP(SAS),
∴∠CAP=∠ABD,
∴∠AQD=∠ABD+∠BAQ=∠CAP+∠QAB
=180°-∠CAB
=180°-60°
=120°,
即蜗牛爬行过程中的∠DQA无变化,等于120°.
3.如图,在等边
的顶点B、C处各有一只蜗牛,它们同时出发,分别以每分钟1个单位的速度由B向C和由C向A爬行,其中一只蜗牛爬到终点时,另一只也停止运动,经过t分钟后,它们分别爬行到D,P处,请问:
(1)在爬行过程中,BD和AP始终相等吗?
为什么?
(2)问蜗牛在爬行过程中BD与AP所成的的大小有无变化?
请证明你的结论.
(3)若蜗牛沿着BC和CA的延长线爬行,BD与AP交于点Q,其他条件不变,如图
(2)所示,蜗牛爬行过程中的大小变化了吗?
若无变化,请证明.若有变化,请直接写出的度数.
(1)BD与AP始终相等.(见左图)
证明:
∵两只蜗牛速度相同,爬行时间也相同.
∴BP=CD;又BA=CB,∠ABP=∠BCD=60°.
∴⊿ABP≌⊿BCD(SAS),BD=AP.
(2)BD与AP所成的夹角∠AQD=60°,不变化.
证明:
∵⊿ABP≌⊿BCD(已证).
∴∠BAP=∠CBD.
∴∠AQD=∠BAP+∠ABQ=∠CBD+∠ABQ=60°.
(3)若蜗牛沿着BC,CA的延长线爬行,BD与AP交于Q(见右图),蜗牛爬行过程中,∠AQD=120°.
证明:
∵BP=CD,BA=CB,∠ABP=∠BCD=60°.
∴⊿ABP≌⊿BCD(SAS),∠P=∠D.
∵∠P=∠D(已证),∠DAQ=∠PAC(对顶角相等).
∴∠AQD=∠ACP=120°.(三角形内角和定理)
如图所示,在等边三角形ABC的顶点A,C处各有一只蜗牛,它们同时出发,分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行,经过t分钟后,它们分别爬行到了D,E处,设DC与BE的交点为F。
(1)求证:
△ACD≌△CBE;
(2)问蜗牛在爬行过程中DC与BE所成的∠BFC的大小有无变化?
请证明你的结论。
解:
(1)在△ACD与△CBE中,AD=CE,∠A=∠BCE,AC=CB,所以△ACD≌△CBE;
(2)DC与BE所成的∠BFC的大小无变化,证明过程如下:
由
(1)知,∠EBC=∠DCA,
∴∠EFC=∠EBC+∠DCB=∠DCA+∠DCB=60°,
∴∠BFC=120°,即∠BFC的大小无变化
如图
(1)△ABC为等边三角形,动点D在边CA上,动点P边BC上,若这两点分别从C、B点同时出发,以相同的速度由C向A和由B向C运动,连接AP,BD交于点Q,两点运动过程中AP=BD成立吗?
请证明你的结论;
(2)如果把原题中“动点D在边CA上,动点P边BC上,”改为“动点D,P在射线CA和射线BC上运动”,其他条
件不变,如图
(2)所示,两点运动过程中∠BQP的大小保持不变.请你利用图
(2)的情形,求证:
∠BQP=60°;
(3)如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动,连接PD交BC于E”,其他
条件不变,如图(3),则动点D,P在运动过程中,DE始终等于PE吗?
写出证明过程.
2、数学课上,张老师给出了问题:
如图
(1),△ABC为等边三角形,动点D在边CA上,动点P边BC上,若这两点分别从C、B点同时出发,以相同的速度由C向A和由B向C运动,连接AP,BD交于点Q,两点运动过程中AP=BD成立吗?
请证明你的结论;
经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:
由△ABP≌△BCD,从而得出AP=BD.
在此基础上,同学们作了进一步探究:
(1)小颖提出:
如果把原题中“动点D在边CA上,动点P边BC上,”改为“动点D,P在射线CA和射线BC上运动”,其他条件不变,如图
(2)所示,两点运动过程中∠BQP的大小保持不变.请你利用图
(2)的情形,求证:
∠BQP=60°;
(2)小华提出:
如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动,连接PD交BC于E”,其他条件不变,如图(3),则动点D,P在运动过程中,DE始终等于PE.你认为小华的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程.
解:
(1)根据题意,CP=AD,
∴CP+BC=AD+AC,
即BP=CD,
在△ABP和△BCD中,
∵AB=BC,∠ABP=∠BCD,BP=CD
∴△ABP≌△BCD(SAS),
∴∠APB=∠BDC,
∵∠APB+∠PAC=∠ACB=60°,∠DAQ=∠PAC,
∴∠BDC+∠DAQ=∠BQP=60°;
(2)小华的观点正确.
过点D作DG∥AB交BC于点G,
∴∠CDG=∠C=∠CGD=60°,
∴△DCG为等边三角形,
∴DG=CD=BP,
在△DGE和△PBE中,
∵∠DEG=∠PEB,∠GDE=∠BPE,DG=PB
∴△DGE≌△PBE(ASA),
∴DE=EP.
2、在等边△ABC的顶点A,C处各有一只蜗牛,它们同时出发,分别以相同的速度由A向B和由C向A爬行,经过t min后,它们分别爬到了D,E处.DC和BE交于点F.
(1)求证:
△ACD≌△CBE;
(2)蜗牛在爬行过程中,DC和BE所成的∠BFC的大小有无变化?
请证明你的结论.
(1)证明:
∵AB=BC=CA,两只蜗牛速度相同,且同时出发,
∴CE=AD;∠A=∠BCE=60°,
在△ACD与△CBE中,
AC=CB,∠A=∠BCE,CE=AD
∴△ACD≌△CBE(SAS);
(2)解:
DC和BE所成的∠BFC的大小不变.
理由如下:
∵△ACD≌△CBE,
∴∠BFC=180°-∠FBC-∠BCD=180°-∠ACD-∠BCD=120°.
2.2007年5月,第五届中国宜昌长江三峡国际龙舟拉力赛在黄陵庙揭开比赛帷幕.20日上午9时,参赛龙舟从黄陵庙同时出发.其中甲、乙两队在比赛时,路程y(千米)与时间x(小时)的函数关系如图所示.甲队在上午11时30分到达终点黄柏河港.
(1)哪个队先到达终点?
乙队何时追上甲队?
(2)在比赛过程中,甲、乙两队何时相距最远?
解:
(1)乙队先达到终点,
对于乙队,x=1时,y=16,所以y=16x,
对于甲队,出发1小时后,设y与x关系为y=kx+b,
将x=1,y=20和x=2.5,y=35分别代入上式得:
解得:
y=10x+10
解方程组
得:
x=
,即:
出发1小时40分钟后(或者上午10点40分)乙队追上甲队.
(2)1小时之内,两队相距最远距离是4千米,
乙队追上甲队后,两队的距离是16x-(10x+10)=6x-10,当x为最大,即x=
时,6x-10最大,此时最大距离为6×
-10=3.125<4,(也可以求出AD、CE的长度,比较其大小)所以比赛过程中,甲、乙两队在出发后1小时(或者上午10时)相距最远。
3.今年4月18日,我国铁路第六次大提速,在甲、乙两城市之间开通了动车组高速列车.已知每隔1h有一列速度相同的动车组列车从甲城开往乙城.如图所示,OA是第一列动车组列车离开甲城的路程s(单位在:
km)与运行时间t(单位:
h)的函数图象,BC是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程s(单位:
km)与运行时间t(单位:
h)的函数图象.请根据图中信息,解答下列问题:
(1)点B的横坐标0.5的意义是普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间_______h,点B的纵坐标300的意能义是_______________________;
(2)请你在原图中直接画出第二列动车组列车离开甲城的路程s(单位:
km)与时间t(单位:
h)的函数图象;
(3)若普通快车的速度为100km/h,
①求BC的解析式,并写出自变量t的取值范围;②求第二列动车组列车出发后多长时间与普通列车相遇;
③直接写出这列普通列车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的间隔时间.
今年4月18日,我国铁路第六次大提速,在甲、乙两城市之间开通了动车组高速列车.已知每隔1h有一列速度相同的动车组列车从甲城开往乙城.如图所示,OA是第一列动车组列车离开甲城的路程s(单位:
km)与运行时间t(单位:
h)的函数图象,BC是一列从乙城开往甲城的普通快车距甲城的路程s(单位:
km)与运行时间t(单位:
h)的函数图象.请根据图中信息,解答下列问题:
(1)点B的横坐标0.5的意义是普通快车发车时间比第一列动车组列车发车时间______h,点B的纵坐标300的意义是______;
(2)请你在原图中直接画出第二列动车组列车离开甲城的路程s(单位:
km)与时间t(单位:
h)的函数图象;
(3)若普通快车的速度为100km/h,
①求BC的解析式,并写出自变量t的取值范围;
②求第二列动车组列车出发后多长时间与普通列车相遇;
③直接写出这列普通列车在行驶途中与迎面而来的相邻两列动车组列车相遇的间隔时间.
(1)利用两点法代入BC点坐标即可求出解析式;
(2)写出第二列动车组列车的函数解析式,与普通列车联立解方程组;
(3)求出与第一列动车组列车相遇的时间在上一问的基础上求差就可以.
【解析】
(1)晚0.5,甲、乙两城相距300km.
(2)
(3)①设直线BC的解析式为s=kt+b,
∵B(0.5,300),C(3.5,0),
∴
解得
,
∴s=-100t+350,
自变量t的取值范围是0.5≤t≤3.5.
②设直线MN的解析式为s=k1t+b1,
∵M(1,0),N(3,300),
∴
,
解得
,
∴s=150t-150.
由①可知直线BC解析式为s=-100t+350,
∴150t-150=-100t+350,
解得t=2,
∴2-1=1.
答:
第二列动车组列车发车1小时后与普通快车相遇.
③根据题意,第一列动车组列车解析式为y=150t,
∴150t=-100t+350,
解得t=
,
2-
=
小时(或36分钟).
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