高考理科数学模拟试题及答案解析版 1.docx
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高考理科数学模拟试题及答案解析版 1.docx
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高考理科数学模拟试题及答案解析版1
高三理科数学模拟试卷
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求
1.已知集合A={2,2a},B={a,b},若A∩B={12},则A∪B=( )
A.{-1,12,2}B.{-1,12,b}C.{-1,12,2,b}D.{2,12}
2.若复数z=a+i2i(a∈R)的对应点在直线y=x上,则a=( )
A.-12B.12C.﹣1D.1
3.设等比数列{an}的前6项和S6=6,且1-a22为a1,a3的等差中项,则a7+a8+a9=( )
A.﹣2B.8C.10D.14
4.2021年广东新高考将实行3+1+2模式,即语文数学英语必选,物理历史二选一,政治地理化学生物四选二,共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史,假若他们都对后面四科没有偏好,则他们选课相同的概率( )
A.136B.116C.18D.16
5.椭圆C:
x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左右顶点分别为A,B,且|AB|=4,|AF2|=2+3,点P∈C,|PF1||PF2|=2,则△PF1F2的面积为( )
A.13B.12C.1D.2
6.点P是△ABC所在平面上一点,若AP→=23AB→+13AC→,则△ABP与△ACP的面积之比是( )
A.3B.2C.13D.12
7.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示,将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度,得到y=g(x)的图象,则下列说法不正确的是( )
A.函数g(x)为奇函数
B.函数g(x)的最大值为3
C.函数g(x)的最小正周期为π
D.函数g(x)在(0,π3)上单调递增
8.设函数f(x)=ln|x|-1x2+1,则不等式f(x)>f(2x﹣1)的解集为( )
A.(13,1)B.(13,12)∪(12,1)
C.(0,12)D.(﹣∞,1)
9.点D是直角△ABC斜边AB上一动点,AC=3,BC=4,将直角△ABC沿着CD翻折,使△B'DC与△ADC构成直二面角,则翻折后AB'的最小值是( )
A.21B.13C.22D.7
10.设P为双曲线C:
x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)上且在一象限内的点,F1,F2分别是双曲的左、右焦点,PF2⊥F1F2,x轴上有一点A且AP⊥PF1,E是AP的中点,线段EF1与PF2交于点M.若PM→=2MF2→,则双曲线的离心率是( )
A.1+2B.2+2C.3+2D.4+2
11.已知函数f(x)=x2+4x,x≤0,exx,x>0,g(x)=f(x)-ax,若g(x)有4个零点,则a的取值范围为( )
A.(e24,4)B.(e4,4)C.(e4,+∞)D.(e24,+∞)
12.已知数列{an}满足:
a1=2,an+1Sn+(Sn﹣1)2=0(n∈N*),其中Sn为{an}的前n项和.若对任意的n均有(S1+1)(S2+1)…(Sn+1)≥kn恒成立,则k的最大整数值为( )
A.2B.3C.4D.5
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
13.(x3-1)(x+2x)6的展开式中的常数项为 .(用数字作答)
14.随机设置某交通路口亮红绿灯的时间,通过对路口交通情况的调查,确定相邻亮一次红灯与亮一次绿灯的时间之和为90秒,其中亮红灯的时间不超过60秒,亮绿灯的时间不超过50秒,则亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间的概率为 .
15.在三棱锥A﹣BCD中,∠ABC=∠ABD=60°,BC=BD=22,CD=4,AB=2.则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为 .
16.已知平面四边形ABCD中,∠ABC=2π3,AC=219,2AB=3BC,AD=2BD,△BCD的面积为23,则CD= .
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.已知数列{an}的前n和为Sn,且满足2Sn=3an-1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log3an+2an,Tn为数列{bn}的前n项和,求Tn的最小值.
18.如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD.
(1)证明:
平面ACD⊥平面ABC;
(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角D﹣AE﹣C的余弦值.
19.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心在坐标原点O,其右焦点为F(1,0),且点(1,32)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设椭圆的左、右顶点分别为A、B,M是椭圆上异于A,B的任意一点,直线MF交椭圆C于另一点N,直线MB交直线x=4于Q点,求证:
A,N,Q三点在同一条直线上.
20.红铃虫是棉花的主要害虫之一,能对农作物造成严重伤害,每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度x有关,现收集了以往某地的7组数据,得到下面的散点图及一些统计量的值.
平均温度x/℃
21
23
25
27
29
32
35
平均产卵数y/个
7
11
21
24
66
115
325
x
y
z
i=1n(xi-x)(zi-z)
i=1n(xi-x)2
27.429
81.286
3.612
40.182
147.714
表中zi=lny,z=177zi
(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=cedx(其中e=2.718…为自然对数的底数)哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型?
(给出判断即可,不必说明理由)并由判断结果及表中数据,求出y关于x的回归方程.(计算结果精确到小数点后第三位)
(2)根据以往统计,该地每年平均温度达到28℃以上时红铃虫会造成严重伤害,需要人工防治,其他情况均不需要人工防治,记该地每年平均温度达到28℃以上的概率为p(0<p<1).
(i)记该地今后5年中,恰好需要3次人工防治的概率为f(p),求f(p)的最大值,并求出相应的概率p0.
(ii)当f(p)取最大值时,记该地今后5年中,需要人工防治的次数为X,求X的数学期望和方差.附:
对于一组数据(x1,z1),(x2,z2),…(x7,z7),其回归直线z=a+bx想斜率和截距的最小二乘法估计分别为:
b=i=17(xi-x)(zi-z)i=17(xi-x)2,̂a..̂=z-bx.
21.已知函数f(x)=1x-x+2alnx.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设g(x)=lnx﹣bx﹣cx2,若函数f(x)的两个极值点x1,x2(x1<x2)恰为函数g(x)的两个零点,且y=(x1-x2)g'(x1+x22)的范围是[ln2-23,+∞),求实数a的取值范围.
请考生在第22,23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时请写清题号
22.以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ=a2(a∈R,a为常数),过点P(2,1)、倾斜角为30°的直线l的参数方程满足x=2+32t,(t为参数).
(1)求曲线C的普通方程和直线l的参数方程;
(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点(点P在A、B之间),且|PA|•|PB|=2,求a和||PA|﹣|PB||的值.
23.设函数f(x)=|x﹣1|,g(x)=2|x+a|.
(I)当a=1时,求不等式f(x)﹣g(x)>1的解集;
(II)若关于x的不等式2f(x)+g(x)≤(a+1)2有解,求a的取值范围.
答案:
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求
1.∵集合A={2,2a},B={a,b},A∩B={12},
∴2a=12b=12,解得a=﹣1,b=12,
∴A={2,12},B={﹣1,12}.
∴A∪B={﹣1,12,2}.
故选:
A.
2.∵z=a+i2i=(a+i)(-i)-2i2=12-a2i,
∴z在复平面内对应点的坐标为(12,-a2),
由题意,12=-a2,则a=﹣1.
故选:
C.
3.∵1-a22为a1,a3的等差中项,
∴2(1-a22)=a1+a3,
设等比数列{an}的公比为q,则q≠1.
∴2(1-a1q2)=a1+a1q2,
又前6项和S6=6,∴a1(q6-1)q-1=6,
联立解得:
q3=2.
∴a1=2(q﹣1).
∴a7+a8+a9=a1q6(1+q+q2)=2(q﹣1)q6(1+q+q2)=2q6(q3﹣1)=2×22(2﹣1)=8.
故选:
B.
4.今年高一的小明与小芳都准备选历史,假若他们都对后面四科没有偏好,
则基本事件总数n=C42=6,
他们选课相同包含的基本事件m=1,
∴他们选课相同的概率p=mn=16.
故选:
D.
5.椭圆C:
x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,左右顶点分别为A,B,
且|AB|=4,|AF2|=2+3,可得a=2,c=3,则b=1,所以,|PF1||PF2|=2,|PF1|+|PF2|=4,
不妨解得:
|PF1|=2+2,|PF2|=2-2,|F1F2|=23,(23)2=(2+2)2+(2-2)2﹣2(2+2)(2-2)cos∠F1PF2,∠F1PF2=90°,
所以△PF1F2的面积为:
12|PF1||PF2|=1.
故选:
C.
6.点P是△ABC所在平面上一点,过P作PE∥AC,PF∥AB,
由AP→=23AB→+13AC→=AE→+AF→,
故AE:
EB=2:
1=PC:
PB,
所以△ABP与△ACP的面积之比为BP:
PC=1:
2,
故选:
D.
7.根据函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0)的部分图象,可得A=3,
34⋅2πω=5π12-(-π3),∴ω=2.
再根据五点法作图可得2•5π12+φ=π2,∴φ=-π3,f(x)=3sin(2x-π3).
将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度,得到y=g(x)=3sin2x的图象,
故g(x)为奇函数,故A正确;
显然,函数g(x)的最大值为3,故B正确;
显然,函数g(x)的最小正周期为2π2=π,故C正确;
在(0,π3)上,2x∈(0,2π3),g(x)没有单调性,
故选:
D.
8.f(x)的定义域为{x|x≠0},
∵f(﹣x)=f(x),
∴f(x)为偶函数,
当x>0时,f(x)=lnx-1x2+1单调递增,
由f(x)>f(2x﹣1),
可得x≠02x-1≠0|x|>|2x-1|,解得13<x<1且x≠12,
故选:
B.
9.过点B′作B′E⊥CD于点E,连接BE,AE,设∠BCD=∠B′CD=α,则有B'E=4sinα,CE=4cosα,∠ACE=π2-α,
在△AEC中,由余弦定理得,AE2=AC2+CE2-2AC⋅CE⋅cos(π2-α)=9+16cos2α﹣24cosαsinα,
在Rt△AEB′中,由勾股定理得,AB′2=AE2+B′E2=9+16cos2α﹣24cosαsinα+16sin2α=25﹣12sin2α,
∴当α=π4时,AB′取得最小值13.
故选:
B.
10.由双曲线方程可得:
F1(﹣c,0),F2(c,0),由题意可得P(c,b2a),
由PM→=2MF2→可得M坐标(c,b23a),
设A(m,0),由AP⊥PF1可得PA→⋅F1P→=0,即(m﹣c,-b2a)•(2c,b2a)=0,
可得2c(m﹣c)=b4a2,所以m=b42ca2+c=b4+2c2a22ca2,即A(b4+2c2a22ca2,0),
所以c+b4+2c2a22ca2=b4+4c2a22ca2,
所以AP的中点E(b4+4a2c24ca2,b22a),
再由F1,M,E三点共线可得kF1M=kF1E,即b23a2c=b22ab4+4a2c24ca2+c,
整理可得:
a4+c4﹣6a2c2=0,即e4﹣6e2+1=0,e2>1,可得e2=3+22,所以e=1+2,
故选:
A.
11.因为g(x)=f(x)﹣ax有4个零点,即函数y=f(x)与y=ax有4个交点;
当x>0时,f′(x)═(x-1)exx2,
所以:
x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
画出f(x)的图象如图所示:
求出f(x)的过原点的切线,
x≤0时,f(x)在x=0处的切线l1的斜率为:
k1=(x2+4x)'|x=0═(2x+4)|x=0═4,
x>0时,设f(x)的过原点的切线l2的切点为:
P(x0,ex0x0)(x0≠0),切线l2的斜率为k2,
(exx)′=(x-1)exx2,故:
k2=(x0-1)ex0x02,且k2=ex0x0x0;
解得:
x0=2,k2=e24;
由图可知y=f(x)与y=ax有4个交点,则k2<a<k1;
所以:
e24<a<4.
(说明:
显然x=0是g(x)的零点,故也可转化为f(x)x=a有3个零点,即y=f(x)x与y=a有3个交点,也
可以画图得出答案)
故选:
A.
12.当n≥1时,由条件an+1Sn+(Sn﹣1)2=0(n∈N*),
可得Sn+1-Sn=-(Sn-1)2Sn,整理得Sn+1Sn-Sn2=-(Sn2-2Sn+1),
化简得:
SnSn+1=2Sn﹣1,
从而Sn+1-1=-Sn-1Sn,
故1Sn+1-1-1Sn-1=1,
由于:
1S1-1=1,
所以:
数列{1Sn-1}是以1S1-1=1为首项,1为公差的等差数列,
则:
1Sn-1=n,
整理得:
Sn=n+1n,
依题只须k≤((S1+1)(S2+1)⋯(Sn+1)n)min,
f(n)=(S1+1)(S2+1)⋯(Sn+1)n,
则f(n+1)f(n)=n(Sn+1+1)n+1=n(2n+3)(n+1)2>1,
故f(n)nin=f
(1)=S1+11=3,
∴kmax=3,
故选:
B.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
13.(x+2x)6的展开式中的通项公式:
Tk+1=∁6k(x)6-k(2x)k=2k∁6kx3-3k2.
令3-3k2=-3,或0,
解得k=4,或2.
∴(x3-1)(x+2x)6的展开式中的常数项=24∁64-22∁62=180.
故答案为:
180.
14.设亮绿灯的时间为t秒,则t≤50,
则亮红灯的时间为90﹣t秒,
则90﹣t≤60,
所以30≤t≤50,
则亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间,
即t≥90﹣t,
即t≥45,
由几何概型中的线段型可得:
则亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间的概率为P=50-4550-30=14,
故答案为:
14.
15.由条件得AD=BA2+BD2-2BA⋅BD⋅cos∠ABD=
(2)2+(22)2-2×2×22⋅cos60°=6,
AC=BA2+BC2-2BA⋅BC⋅cos∠ABC=
(2)2+(22)2-2×2×22⋅cos60°=6,
所以AC2+AB2=BC2,AD2+AB2=BD2,故△BAD,△BAC为直角三角形.
所以三棱锥A﹣BCD的外接球的球心在过△ACD的外心E垂线上设为点O.
因为cos∠CAD=AC2+AD2-CD22AC⋅AD=(6)2+(6)2-422×6×6=-13
所以sin∠CAD=1-cos2∠CAD=1-(-13)2=223.
故△ACD外接圆的半径r=AE=12⋅CDsin∠CAD=12×4223=322.
则外接球的半径R2=OA2=OE2+AE2=(12AB)2+AE2=(22)2+(322)2=5.
故外接球的表面积为4πR=4π×5=20π.
故答案为:
20π
16.在△ABC中,由余弦定理,可得AC2=BC2+AB2﹣2BC•AB•cos∠ABC=4×19,又2AB=3BC,∠ABC=2π3
∴AB=6,BC=4,设∠DBC=θ,0<θ<2π3,BD=x,则AD=2x,
又S△BCD=12BD⋅BCsinθ=23,
∴sinθ=3x;在△ABD中,由余弦定理,可得AD2=BD2+AB2-2BD⋅AB⋅cos(2π3-θ),
整理得x2﹣6﹣2xcosθ=0,即cosθ=x2-62x,由sin2θ+cos2θ=1,
即(x2-62x)2+(3x)2=1,解得x4﹣16x2+48=0,
解得x2=12或4,
又0<θ<2π3,cosθ>-12,所以x2=12,x=23.
由余弦定理可得,CD=BC2+BD2-2BC⋅BCsinθ=16+12-2×4×23×32=2.
故答案为:
2
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.
(1)2Sn=3an-1(n∈N*).
∴n≥2时,2an=2(Sn﹣Sn﹣1)=3an﹣1﹣(3an﹣1﹣1),化为:
an=3an﹣1,
n=1时,2a1=3a1﹣1,解得a1=1.
∴数列{an}是等比数列,首项为1,公比为3,
∴an=3n-1.
(2)an+2=3n+1,∴bn=log3an+2an=n+13n-1,
∴数列{bn}的前n项和Tn=2+33+432+⋯⋯+n+13n-1.
∴13Tn=23+332+⋯⋯+n3n-1+n+13n,
∴23Tn=2+13+132+⋯⋯+13n-1-n+13n=1+1-13n1-13-n+13n,
化为:
Tn=154-2n+54×3n-1.
Tn的最小值是T1=2.
18.
(1)证明:
如图所示,取AC的中点O,连接BO,OD.
∵△ABC是等边三角形,∴OB⊥AC.
△ABD与△CBD中,AB=BD=BC,∠ABD=∠CBD,
∴△ABD≌△CBD,∴AD=CD.
∵△ACD是直角三角形,
∴AC是斜边,∴∠ADC=90°.
∴DO=12AC.
∴DO2+BO2=AB2=BD2.
∴∠BOD=90°.
∴OB⊥OD.
又DO∩AC=O,∴OB⊥平面ACD.
又OB⊂平面ABC,
∴平面ACD⊥平面ABC.
(2)解:
设点D,B到平面ACE的距离分别为hD,hE.则hDhE=DEBE.
∵平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,
∴13S△ACE⋅hD13S△ACE⋅hE=hDhE=DEBE=1.
∴点E是BD的中点.
建立如图所示的空间直角坐标系.不妨取AB=2.
则O(0,0,0),A(1,0,0),C(﹣1,0,0),D(0,0,1),B(0,3,0),E(0,32,12).
AD→=(﹣1,0,1),AE→=(-1,32,12),AC→=(﹣2,0,0).
设平面ADE的法向量为m→=(x,y,z),则m→⋅AD→=0m→⋅AE→=0,即-x+z=0-x+32y+12z=0,取m→=(3,3,3).
同理可得:
平面ACE的法向量为n→=(0,1,-3).
∴cos<m→,n→>=m→⋅n→|m→||n→|=-2321×2=-77.
∴二面角D﹣AE﹣C的余弦值为77.
19.
(1)不妨设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1,a>b>0,
由题意可得c=1a2=b2+c21a2+94b2=1,解得a2=4,b2=3,
故椭圆的方程x24+y23=1,
证明:
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为x=my+1,
由方程组x=my+1x24+y23=1,消去x整理得(3m2+4)y2+6my﹣9=0
∵△=36m2+36(3m2+4)>0
∴y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4,
∵直线BM的方程可表示为y=y1x1-2(x﹣2),
将此方程与直线x=4成立,可求得点Q的坐标为(4,2y1x1-2),
∴AN→=(x2+2,y2),AQ→=(6,2y1x1-2),
∵6y2﹣(x2+2)2y1x1-2=6y2(x1-2)-2y1(x2+2)x1-2=6y2[(my1+1)-2]-2y1[(my2+1)+2](my1+1)-2
=4my1y2-6(y1+y2)my1-1=4m(-93m2+4)-6(-6m3m2+4)my1-1=0,
∴AN→∥AQ→,
∵向量AN→和AQ→有公共点A,
∴A,N,Q三点在同一条直线上.
20.
(1)根据散点图可以判断,
y=cedx更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型;
对y=cedx两边取自然对数,得lny=lnc+dx;
令z=lny,a=lnc,b=d,得z=a+bx;
因为b̂=i=17(xi-x)(zi-z)i=17(xi-x)2=40.182147.714≈0.272,
â=z-b̂x=3.612﹣0.272×27.429≈﹣3.849;
所以z关于x的回归方程为ẑ=0.272x﹣3.849;
所以y关于x的回归方程为ŷ=e0.272x﹣3.849;
(2)(i)由f(p)=C53•p3•(1﹣p)2,得f′(p)=C53•p2(1﹣p)(3﹣5p),
因为0<p<1,令f′(p)>0,得3﹣5p>0,解得0<p<35;
所以f(p)在(0,35)上单调递增,在(35,1)上单调递减,
所以f(p)有唯一的极大值为f(35),也是最大值;
所以当p=35时,f(p)max=f(35)=216625;
(ii)由(i)知,当f(p)取最大值时,p=35,
所以X~B(5,35),
所以X的数学期望为E(X)=5×35=3,
方差为D(X)=5×35×25=65.
21.
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=-1x2-1+2ax=-x2-2ax+1x2.
(i)若a≤1,则f′(x)≤0,当且仅当a=1,x=1时,f′(x)=0,
(ii)若a>1,令f′(x)=0得x1=a-a2-1,x2=a+a2-1.
当x∈(0,a-a2-1)∪(a+a2-1,+∞)时,f′(x)<0;
当x∈(a-a2-1,a+a2-1)时,f′(x)>0,
所以,当a≤1时,f(x)单调递减区间为(0,+∞),无单调递增区间;
当a>1时,f(x)单调递减区间为(0,a-a2-1),(a+a2-1,+∞);单调递增区间为(a-a2-1,a+a2-1).
(2)由
(1)知:
a>1且x1+x2=2a,x1x2=1.
又g′(x)=1x-b-2cx,
∴g'(x1+x22)=2x1+x2-b﹣c(x1+x2),
由g(x1)=g(x2)=0得
lnx1x2=b(x1-x2)+c(x12-x22)
∴y=(x1-x2)g'(x1+x22)=2(x1-x2)x1+x2-b(x1-x2)-c(x12-x22)=2(x1-x2)x1+x2-lnx1x2=2(x1x2-1)x1x2+1-lnx1x2.
令x1x2=t∈(0,1),
∴y=2(t-1)t+1-lnt,
∴y'=-(t-1)2t(t+1)2<0,
所以y在(0,1)上单调递减.
由y的取值范围是[ln2-23,+∞),得t的取值范围是(0,12],
∵x1+x2=2a,∴(2a)2=(x1+x2)2=x12+2x1x2+x22=(x12+2x1x2+x22)/x1x2=4a2=x
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