第五册二次函数教学设计九年级数学教案模板.docx
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第五册二次函数教学设计九年级数学教案模板
第五册二次函数教学设计_九年级数学教案_模板
教学内容:
人教版九年义务教育初中第三册第108页
教学目标:
1. 1. 理解二次函数的意义;会用描点法画出函数y=ax2的图象,知道抛物线的有关概念;
2. 2. 通过变式教学,培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性;
3. 3. 通过二次函数的教学让学生进一步体会研究函数的一般方法;加深对于数形结合思想认识。
教学重点:
二次函数的意义;会画二次函数图象。
教学难点:
描点法画二次函数y=ax2的图象,数与形相互联系。
教学过程设计:
一. 一. 创设情景、建模引入
我们已学习了正比例函数及一次函数,现在来看看下面几个例子:
1.写出圆的半径是R(CM),它的面积S(CM2)与R的关系式
答:
S=πR2. ①
2.写出用总长为60M的篱笆围成矩形场地,矩形面积S(M2)与矩形一边长L(M)之间的关系
答:
S=L(30-L)=30L-L2 ②
分析:
①②两个关系式中S与R、L之间是否存在函数关系?
S是否是R、L的一次函数?
由于①②两个关系式中S不是R、L的一次函数,那么S是R、L的什么函数呢?
这样的函数大家能不能猜想一下它叫什么函数呢?
答:
二次函数。
这一节课我们将研究二次函数的有关知识。
(板书课题)
二. 二. 归纳抽象、形成概念
一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0) ,
那么,y叫做x的二次函数.
注意:
(1)必须a≠0,否则就不是二次函数了.而b,c两数可以是零.
(2)由于二次函数的解析式是整式的形式,所以x的取值范围是任意实数.
练习:
1.举例子:
请同学举一些二次函数的例子,全班同学判断是否正确。
2.出难题:
请同学给大家出示一个函数,请同学判断是否是二次函数。
(若学生考虑不全,教师给予补充。
如:
; ; ; 的形式。
)
(通过学生观察、归纳定义加深对概念的理解,既培养了学生的实践能力,有培养了学生的探究精神。
并通过开放性的练习培养学生思维的发散性、开放性。
题目用了一些人性化的词语,也增添了课堂的趣味性。
)
由前面一次函数的学习,我们已经知道研究函数一般应按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。
二次函数我们也会按照定义、图象、性质、求解析式几个方面进行研究。
(在这里指出学习函数的一般方法,旨在及时进行学法指导;并将此方法形成技能,以指导今后的学习;进一步培养终身学习的能力。
)
三. 三. 尝试模仿、巩固提高
让我们先从最简单的二次函数y=ax2入手展开研究
1. 1. 尝试:
大家知道一次函数的图象是一条直线,那么二次函数的图象是什么呢?
请同学们画出函数y=x2的图象。
(学生分别画图,教师巡视了解情况。
)
2. 2. 模仿巩固:
教师将了解到的各种不同图象用实物投影向大家展示,到底哪一个对呢?
下面师生共同画出函数y=x2的图象。
解:
一、列表:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
Y=x2
9
4
1
0
1
4
9
二、描点、连线:
按照表格,描出各点.然后用光滑的曲线,按照x(点的横坐标)由小到大的顺序把各点连结起来.
对照教师画的图象一一分析学生所画图象的正误及原因,从而得到画二次函数图象的几点注意。
练习:
画出函数 ; 的图象(请两个同学板演)
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
Y=0.5X2
4.5
2
0.5
0
0.5
02
4.5
Y=-X2
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
画好之后教师根据情况讲评,并引导学生观察图象形状得出:
二次函数y=ax2的图象是一条抛物线。
(这里,教师在学生自己探索尝试的基础上,示范画图象的方法和过程,希望学生学会画图象的方法;并及时安排练习巩固刚刚学到的新知识,通过观察,感悟抛物线名称的由来。
)
三. 三. 运用新知、变式探究
画出函数 y=5x2图象
学生在画图象的过程中遇到函数值较大的困难,不知如何是好。
x
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Y=5x2
1.25
0.8
0.45
0.2
0.05
0
0.05
0.2
0.45
0.8
1.25
教师出示已画好的图象让学生观察
注意:
1.画图象应描7个左右的点,描的点越多图象越准确。
2.自变量X的取值应注意关于Y轴对称。
3.对于不同的二次函数自变量X的取值应更加灵活,例如可以取分数。
四. 四. 归纳小结、延续探究
教师引导学生观察表格及图象,归纳y=ax2的性质,学生们畅所欲言,各抒己见;互相改进,互相完善。
最终得到如下性质:
一般的,二次函数y=ax2的图象是一条抛物线,对称轴是Y轴,顶点是坐标原点;当a>0时,图象的开口向上,最低点为(0,0);当a<0时,图象的开口向下,最高点为(0,0)。
五. 五. 回顾反思、总结收获
在这一环节中,教师请同学们回顾一节课的学习畅谈自己的收获或多、或少、或几点、或全面,总之是人人有所得,个个有提高。
这也正是新课标中所倡导的新的理念——不同的人在数学上得到不同的发展。
(在整个一节课上,基本上是学生讲为主,教师讲为辅。
一些较为困难的问题,我也鼓励学生大胆思考,积极尝试,不怕困难,一个人完不成,讲不透,第二个人、第三个人补充,直到完成整个例题。
这样上课气氛非常活跃,学生之间常会因为某个观点的不同而争论,这就给教师提出了更高的要求,一方面要控制好整节课的节奏,另一方面又要察言观色,适时地对某些观点作出判断,或与学生一同讨论。
)
直线与圆的位置关系
执教者:
刁正久
教学目标:
1.使学生理解直线和圆的相交、相切、相离的概念。
2.掌握直线与圆的位置关系的性质与判定并能够灵活运用来解决实际问题。
3.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力及分类和化归的能力。
重点难点:
1.重点:
直线与圆的三种位置关系的概念。
2.难点:
运用直线与圆的位置关系的性质及判定解决相关的问题。
教学过程():
一.复习引入
1.提问:
复习点和圆的三种位置关系。
(目的:
让学生将点和圆的位置关系与直线和圆的位置关系进行类比,以便更好的掌握直线和圆的位置关系)
2.由日出升起过程中的三个特殊位置引入直线与圆的位置关系问题。
(目的:
让学生感知直线和圆的位置关系,并培养学生把实际问题抽象成数学模型的能力)
二.定义、性质和判定
1.结合关于日出的三幅图形,通过学生讨论,给出直线与圆的三种位置关系的定义。
(1)线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交。
这时直线叫做圆的割线。
(2)直线和圆有唯一的公点时,叫做直线和圆相切。
这时直线叫做圆的切线。
唯一的公共点叫做切点。
(3)直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离。
2.直线和圆三种位置关系的性质和判定:
如果⊙O半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么:
(1)线l与⊙O相交 d<r
(2)直线l与⊙O相切d=r
(3)直线l与⊙O相离d>r
三.例题分析:
例
(1)在Rt△ABC中,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心,r为半径。
①当r= 时,圆与AB相切。
②当r=2cm时,圆与AB有怎样的位置关系,为什么?
③当r=3cm时,圆与AB又是怎样的位置关系,为什么?
④思考:
当r满足什么条件时圆与斜边AB有一个交点?
四.小结(学生完成)
五、随堂练习:
(1)直线和圆有种位置关系,是用直线和圆的个数来定义的;这也是判断直线和圆的位置关系的重要方法。
(2)已知⊙O的直径为13cm,直线L与圆心O的距离为d。
①当d=5cm时,直线L与圆的位置关系是;
②当d=13cm时,直线L与圆的位置关系是;
③当d=6.5cm时,直线L与圆的位置关系是;
(目的:
直线和圆的位置关系的判定的应用)
(3)⊙O的半径r=3cm,点O到直线L的距离为d,若直线L与⊙O至少有一个公共点,则d应满足的条件是()
(A)d=3 (B)d≤3 (C)d3
(目的:
直线和圆的位置关系的性质的应用)
(4)⊙O半径=3cm.点P在直线L上,若OP=5cm,则直线L与⊙O的位置关系是()
(A)相离(B)相切(C)相交(D)相切或相交
(目的:
点和圆,直线和圆的位置关系的结合,提高学生的综合、开放性思维)
想一想:
在平面直角坐标系中有一点A(-3,-4),以点A为圆心,r长为半径时,
思考:
随着r的变化,⊙A与坐标轴交点的变化情况。
(有五种情况)
六、作业:
P100—2、3
一、目的要求
1、使学生初步理解一次函数与正比例函数的概念。
2、使学生能够根据实际问题中的条件,确定一次函数与正比例函数的解析式。
二、内容分析
1、初中主要是通过几种简单的函数的初步介绍来学习函数的,前面三小节,先学习函数的概念与表示法,这是为学习后面的几种具体的函数作准备的,从本节开始,将依次学习一次函数(包括正比例函数)、二次函数与反比例函数的有关知识,大体上,每种函数是按函数的解析式、图象及性质这个顺序讲述的,通过这些具体函数的学习,学生可以加深对函数意义、函数表示法的认识,并且,结合这些内容,学生还会逐步熟悉函数的知识及有关的数学思想方法在解决实际问题中的应用。
2、旧教材在讲几个具体的函数时,是按先讲正反比例函数,后讲一次、二次函数顺序编排的,这是适当照顾了学生在小学数学中学了正反比例关系的知识,注意了中小学的衔接,新教材则是安排先学习一次函数,并且,把正比例函数作为一次函数的特例予以介绍,而最后才学习反比例函数,为什么这样安排呢?
第一,这样安排,比较符合学生由易到难的认识规津,从函数角度看,一次函数的解析式、图象与性质都是比较简单的,相对来说,反比例函数就要复杂一些了,特别是,反比例函数的图象是由两条曲线组成的,先学习反比例函数难度可能要大一些。
第二,把正比例函数作为一次函数的特例介绍,既可以提高学习效益,又便于学生了解正比例函数与一次函数的关系,从而,可以更好地理解这两种函数的概念、图象与性质。
3、“函数及其图象”这一章的重点是一次函数的概念、图象和性质,一方面,在学生初次接触函数的有关内容时,一定要结合具体函数进行学习,因此,全章的主要内容,是侧重在具体函数的讲述上的。
另一方面,在大纲规定的几种具体函数中,一次函数是最基本的,教科书对一次函数的讨论也比较全面。
通过一次函数的学习,学生可以对函数的研究方法有一个初步的认识与了解,从而能更好地把握学习二次函数、反比例函数的学习方法。
三、教学过程
复习提问:
1、什么是函数?
2、函数有哪几种表示方法?
3、举出几个函数的例子。
新课讲解:
可以选用提问时学生举出的例子,也可以直接采用教科书中的四个函数的例子。
然后让学生观察这些例子(实际上均是一次函数的解析式),y=x,s=3t等。
观察时,可以按下列问题引导学生思考:
(1)这些式子表示的是什么关系?
(在学生明确这些式子表示函数关系后,可指出,这是函数。
)
(2)这些函数中的自变量是什么?
函数是什么?
(在学生分清后,可指出,式子中等号左边的y与s是函数,等号右边是一个代数式,其中的字母x与t是自变量。
)
(3)在这些函数式中,表示函数的自变量的式子,分别是关于自变量的什么式呢?
(这题牵扯到有关整式的基本概念,表示函数的自变量的式子也就是等号右边的式子,都是关于自变量的一次式。
)
(4)x的一次式的一般形式是什么?
(结合一元一次方程的有关知识,可以知道,x的一次式是kx+b(k≠0)的形式。
)
由以上的层层设问,最后给出一次函数的定义。
一般地,如果y=kx+b(k,b是常数,k≠0)那么,y叫做x的一次函数。
对这个定义,要注意:
(1)x是变量,k,b是常数;
(2)k≠0(当k=0时,式子变形成y=b的形式。
b是x的0次式,y=b叫做常数函数,这点,不一定向学生讲述。
)
由一次函数出发,当常数b=0时,一次函数kx+b(k≠0)就成为:
y=kx(k是常数,k≠0)我们把这样的函数叫正比例函数。
在讲述正比例函数时,首先,要注意适当复习小学学过的正比例关系,小学数学是这样陈述的:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。
写成式子是 (一定)
需指出,小学因为没有学过负数,实际的例子都是k>0的例子,对于正比例函数,k也为负数。
其次,要注意引导学生找出一次函数与正比例函数之间的关系:
正比例函数是特殊的一次函数。
课堂练习:
教科书13、4节练习第1题.
一、目的要求
1、使学生初步理解一次函数与正比例函数的概念。
2、使学生能够根据实际问题中的条件,确定一次函数与正比例函数的解析式。
二、内容分析
1、初中主要是通过几种简单的函数的初步介绍来学习函数的,前面三小节,先学习函数的概念与表示法,这是为学习后面的几种具体的函数作准备的,从本节开始,将依次学习一次函数(包括正比例函数)、二次函数与反比例函数的有关知识,大体上,每种函数是按函数的解析式、图象及性质这个顺序讲述的,通过这些具体函数的学习,学生可以加深对函数意义、函数表示法的认识,并且,结合这些内容,学生还会逐步熟悉函数的知识及有关的数学思想方法在解决实际问题中的应用。
2、旧教材在讲几个具体的函数时,是按先讲正反比例函数,后讲一次、二次函数顺序编排的,这是适当照顾了学生在小学数学中学了正反比例关系的知识,注意了中小学的衔接,新教材则是安排先学习一次函数,并且,把正比例函数作为一次函数的特例予以介绍,而最后才学习反比例函数,为什么这样安排呢?
第一,这样安排,比较符合学生由易到难的认识规津,从函数角度看,一次函数的解析式、图象与性质都是比较简单的,相对来说,反比例函数就要复杂一些了,特别是,反比例函数的图象是由两条曲线组成的,先学习反比例函数难度可能要大一些。
第二,把正比例函数作为一次函数的特例介绍,既可以提高学习效益,又便于学生了解正比例函数与一次函数的关系,从而,可以更好地理解这两种函数的概念、图象与性质。
3、“函数及其图象”这一章的重点是一次函数的概念、图象和性质,一方面,在学生初次接触函数的有关内容时,一定要结合具体函数进行学习,因此,全章的主要内容,是侧重在具体函数的讲述上的。
另一方面,在大纲规定的几种具体函数中,一次函数是最基本的,教科书对一次函数的讨论也比较全面。
通过一次函数的学习,学生可以对函数的研究方法有一个初步的认识与了解,从而能更好地把握学习二次函数、反比例函数的学习方法。
三、教学过程
复习提问:
1、什么是函数?
2、函数有哪几种表示方法?
3、举出几个函数的例子。
新课讲解:
可以选用提问时学生举出的例子,也可以直接采用教科书中的四个函数的例子。
然后让学生观察这些例子(实际上均是一次函数的解析式),y=x,s=3t等。
观察时,可以按下列问题引导学生思考:
(1)这些式子表示的是什么关系?
(在学生明确这些式子表示函数关系后,可指出,这是函数。
)
(2)这些函数中的自变量是什么?
函数是什么?
(在学生分清后,可指出,式子中等号左边的y与s是函数,等号右边是一个代数式,其中的字母x与t是自变量。
)
(3)在这些函数式中,表示函数的自变量的式子,分别是关于自变量的什么式呢?
(这题牵扯到有关整式的基本概念,表示函数的自变量的式子也就是等号右边的式子,都是关于自变量的一次式。
)
(4)x的一次式的一般形式是什么?
(结合一元一次方程的有关知识,可以知道,x的一次式是kx+b(k≠0)的形式。
)
由以上的层层设问,最后给出一次函数的定义。
一般地,如果y=kx+b(k,b是常数,k≠0)那么,y叫做x的一次函数。
对这个定义,要注意:
(1)x是变量,k,b是常数;
(2)k≠0(当k=0时,式子变形成y=b的形式。
b是x的0次式,y=b叫做常数函数,这点,不一定向学生讲述。
)
由一次函数出发,当常数b=0时,一次函数kx+b(k≠0)就成为:
y=kx(k是常数,k≠0)我们把这样的函数叫正比例函数。
在讲述正比例函数时,首先,要注意适当复习小学学过的正比例关系,小学数学是这样陈述的:
两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,它们的关系叫做正比例关系。
写成式子是 (一定)
需指出,小学因为没有学过负数,实际的例子都是k>0的例子,对于正比例函数,k也为负数。
其次,要注意引导学生找出一次函数与正比例函数之间的关系:
正比例函数是特殊的一次函数。
课堂练习:
教科书13、4节练习第1题.
课题 二次函数y=ax2的图象
(一)
一、教学目的
1.使学生初步理解二次函数的概念。
2.使学生会用描点法画二次函数y=ax2的图象。
3.使学生结合y=ax2的图象初步理解抛物线及其有关的概念。
二、教学重点、难点
重点:
对二次函数概念的初步理解。
难点:
会用描点法画二次函数y=ax2的图象。
三、教学过程
复习提问
1.在下列函数中,哪些是一次函数?
哪些是正比例函数?
(1)y=x/4;
(2)y=4/x;(3)y=2x-5;(4)y=x2-2。
2.什么是一无二次方程?
3.怎样用找点法画函数的图象?
新课
1.由具体问题引出二次函数的定义。
(1)已知圆的面积是Scm2,圆的半径是Rcm,写出空上圆的面积S与半径R之间的函数关系式。
(2)已知一个矩形的周长是60m,一边长是Lm,写出这个矩形的面积S(m2)与这个矩形的一边长L之间的函数关系式。
(3)农机厂第一个月水泵的产量为50台,第三个月的产量y(台)与月平均增长率x之间的函数关系如何表示?
解:
(1)函数解析式是S=πR2;
(2)函数析式是S=30L—L2;
(3)函数解析式是y=50(1+x)2,即
y=50x2+100x+50。
由以上三例启发学生归纳出:
(1)函数解析式均为整式;
(2)处变量的最高次数是2。
我们说三个式子都表示的是二次函数。
一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c没有限制而a≠0),那么y叫做x的二次函数,请注意这里b,c没有限制,而a≠0。
2.画二次函数y=x2的图象。
按照描点法分三步画图:
(1)列表 ∵x可取任意实数,∴以0为中心选取x值,以1为间距取值,且取整数值,便于计算,又x取相反数时,相应的y值相同;
(2)描点 按照表中所列出的函数对应值,在平面直角坐标系中描出相应的7个点;
(3)边线 用平滑曲线顺次连接各点,即得所求y=x2的图象。
注意两点:
(1)由于我们只描出了7个点,但自矿业量取值范围是实数,故我们只画出了实际图象的一部分,即画出了在原点附近、自变量在-3到3这个区间的一部分。
而图象在x>3或x
(2)所画的图象是近似的。
3.在原点附近较精确地研究二次函数y=x2的图象形状到底如何?
——我们–1与1之间每隔0.2的间距取x值表和图13-14。
按课本P118内容讲解。
4.引入抛物线的概念。
关于抛物线的顶点应从两方面分析:
一是从图象上看,y=x2的图象的顶点是最低点;一是从解析式y=x2看,当x=0时,y=x2取得最小值0,故抛物线y=x2的顶点是(0,0)。
小结
1.二次函数的定义。
(1)函数解析式关于自变量是整式;
(2)函数自变量的最高次数是2。
2.二次函数y=x2的图象。
(1)其图象叫抛物线;
(2)抛物线y=x2的对称轴是y轴,开口向上,顶点是原点。
补充例题
下列函数中,哪些是二次函数?
哪些不是二次函数?
若是二次函数,指出a,b,c?
(1)y=2-3x2;
(2)y=x(x-4);
(3)y=1/2x2-3x-1; (4)y=1/4x2+3x-8;
(5)y=7x(1-x)+4x2; (6)y=(x-6)(6+x)。
作业:
P122中A组1,2,3。
四、教学注意问题
1.注意渗透局部和全体、有限和无限、近似和精确等矛盾对立统一的观点。
2.注意培养学生观察分析问题的能力。
比如,结合所画二次函数y=x2的图象,要求学生思考:
(1)y=x2的图象的图象有什么特点。
(答:
具有对称性。
)
(2)如何判断y=x2的图象有上面所说的特点?
(答:
由观察图象看出来;或由列表求值得出来;或由解析式y=x2看出来。
)
课题 二次函数y=ax2的图象
(一)
一、教学目的
1.使学生初步理解二次函数的概念。
2.使学生会用描点法画二次函数y=ax2的图象。
3.使学生结合y=ax2的图象初步理解抛物线及其有关的概念。
二、教学重点、难点
重点:
对二次函数概念的初步理解。
难点:
会用描点法画二次函数y=ax2的图象。
三、教学过程
复习提问
1.在下列函数中,哪些是一次函数?
哪些是正比例函数?
(1)y=x/4;
(2)y=4/x;(3)y=2x-5;(4)y=x2-2。
2.什么是一无二次方程?
3.怎样用找点法画函数的图象?
新课
1.由具体问题引出二次函数的定义。
(1)已知圆的面积是Scm2,圆的半径是Rcm,写出空上圆的面积S与半径R之间的函数关系式。
(2)已知一个矩形的周长是60m,一边长是Lm,写出这个矩形的面积S(m2)与这个矩形的一边长L之间的函数关系式。
(3)农机厂第一个月水泵的产量为50台,第三个月的产量y(台)与月平均增长率x之间的函数关系如何表示?
解:
(1)函数解析式是S=πR2;
(2)函数析式是S=30L—L2;
(3)函数解析式是y=50(1+x)2,即
y=50x2+100x+50。
由以上三例启发学生归纳出:
(1)函数解析式均为整式;
(2)处变量的最高次数是2。
我们说三个式子都表示的是二次函数。
一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c没有限制而a≠0),那么y叫做x的二次函数,请注意这里b,c没有限制,而a≠0。
2.画二次函数y=x2的图象。
按照描点法分三步画图:
(1)列表 ∵x可取任意实数,∴以0为中心选取x
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