专题七 随机变量和空间向量.docx
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专题七随机变量和空间向量
江苏新高考
这两部分内容的教学课时都较多,但高考并非是年年都考,通常是交叉式的隔年考一个内容.但2017年两道必做题一改常规,既考查空间向量在立体几何中应用,又考查概率分布与期望值,既考查运算能力,又考查思维能力.,由于考题属中档题要求,所以不宜过难.立体几何题应当容易建立空间直角坐标系,以计算空间角为主;概率题也是离散型随机变量及其分布列的均值与方差、n次独立重复试验的模型及二项分布这几个基本知识交叉考查.
第1课时
随机变量与分布列(能力课)
[常考题型突破]
离散型随机变量的分布列及其期望
[例1] (2017·南通二调)某乐队参加一户外音乐节,准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱.
(1)求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率;
(2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a(a为常数),演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a.求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望.
[方法归纳]
求离散型随机变量问题的四步骤
由于离散型随机变量的数学期望、方差是根据其分布列运用相应公式求解,因而解决这种问题的关键是求离散型随机变量的分布列,而分布列是由随机变量及其相应的概率值构成的,所以这类问题主要就是求随机变量取各个值的概率.具体步骤如下:
(1)明确随机变量的意义及其所有可能的取值x1,x2,…;
(2)根据事件的种类求随机变量的概率P(X=xi),i=1,2,…;
(3)写出分布列
X
x1
x2
…
P
p1
p2
…
(这里可用分布列性质:
0≤pi≤1及p1+p2+…+pn=1检验是否出错);
(4)根据题目要求计算数学期望E(X)或方差V(X).
[变式训练]
(2017·扬州考前调研)某校举办校园科技文化艺术节,在同一时间安排《生活趣味数学》和《校园舞蹈赏析》两场讲座.已知A,B两学习小组各有5位同学,每位同学在两场讲座任意选听一场.若A组1人选听《生活趣味数学》,其余4人选听《校园舞蹈赏析》;B组2人选听《生活趣味数学》,其余3人选听《校园舞蹈赏析》.
(1)若从此10人中任意选出3人,求选出的3人中恰有2人选听《校园舞蹈赏析》的概率;
(2)若从A,B两组中各任选2人,设X为选出的4人中选听《生活趣味数学》的人数,求X的分布列和数学期望E(X).
n次独立重复试验的模型及二项分布
[例2] (2017·南京、盐城一模)某年级星期一至星期五每天下午排3节课,每天下午随机选择1节作为综合实践课(上午不排该课程),张老师与王老师分别任教甲、乙两个班的综合实践课程.
(1)求这两个班“在星期一不同时上综合实践课”的概率;
(2)设这两个班“在一周中同时上综合实践课的节数”为X,求X的概率分布与数学期望E(X).
[方法归纳]
二项分布的分布列及期望问题求解三步骤
第一步,先判断随机变量是否服从二项分布,即若满足:
①对立性:
即一次试验中只有两种结果“成功”和“不成功”,而且有且仅有一个发生;②重复性:
试验在相同条件下独立重复地进行n次,保证每一次试验中成功的概率和不成功的概率都保持不变,则该随机变量服从二项分布,否则不服从二项分布.
第二步,若该随机变量服从二项分布,还需要通过古典概型或相互独立事件的概率计算公式计算出试验中“成功”“不成功”的概率分别是多少.
第三步,根据二项分布的分布列列出相应的分布列,再根据期望公式或二项分布期望公式求期望即可.
[变式训练]
(2017·扬州期末)为了提高学生学习数学的兴趣,某校决定在每周的同一时间开设《数学史》、《生活中的数学》、《数学与哲学》、《数学建模》四门校本选修课程,甲、乙、丙三位同学每人均在四门校本课程中随机选一门进行学习,假设三人选择课程时互不影响,且每人选择每一课程都是等可能的.
(1)求甲、乙、丙三人选择的课程互不相同的概率;
(2)设X为甲、乙、丙三人中选修《数学史》的人数,求X的概率分布和数学期望E(X).
期望与方差的应用
[例3] (2017·苏州模拟)某商场举办“迎新年摸球”活动,主办方准备了甲、乙两个箱子,其中甲箱中有四个球,乙箱中有三个球(每个球的大小、形状完全相同),每一个箱子中只有一个红球,其余都是黑球.若摸中甲箱中的红球,则可获奖金m元,若摸中乙箱中的红球,则可获奖金n元.活动规定:
①参与者每个箱子只能摸一次,一次摸一个球;②可选择先摸甲箱,也可先摸乙箱;③如果在第一个箱子中摸到红球,则可继续在第二个箱子中摸球,否则活动终止.
(1)如果参与者先在乙箱中摸球,求其恰好获得奖金n元的概率;
(2)若要使得该参与者获奖金额的期望值较大,请你帮他设计摸箱子的顺序,并说明理由.
[方法归纳]
利用随机变量的均值与方差可以帮助我们作出科学的决策,其中随机变量ξ的均值的意义在于描述随机变量的平均程度,而方差则描述了随机变量稳定与波动或集中与分散的状况.品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、机器的性能好坏等很多指标都与这两个特征量有关.
(1)若我们希望实际的平均水平较理想时,则先求随机变量ξ1,ξ2的均值,当E(ξ1)=E(ξ2)时,不应误认为它们一样好,需要用V(ξ1),V(ξ2)来比较这两个随机变量的偏离程度.
(2)若我们希望比较稳定时,应先考虑方差,再考虑均值是否相等或者接近.
(3)若没有对平均水平或者稳定性有明确要求是,一般先计算均值,若相等,则由方差来确定哪一个更好.若E(ξ1)与E(ξ2)比较接近,且均值较大者的方差较小,显然该变量较好;若E(ξ1)与E(ξ2)比较接近且方差相差不大时,应根据不同选择给出不同的结论,即选择较理想的平均水平还是选择较稳定.
[变式训练]
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:
元)关于当天需求量n(单位:
枝,n∈N)的函数解析式.
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:
枝),整理得下表:
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
①若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:
元),求X的概率分布、数学期望及方差;
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?
请说明理由.
概率与其他知识的综合
[例4] (2017·南通调研)甲、乙两人进行围棋比赛,共比赛2n(n∈N*)局.根据以往比赛胜负的情况知道,每局甲胜的概率和乙胜的概率均为
.如果某人获胜的局数多于另一人,则此人赢得比赛.记甲赢得比赛的概率为P(n).
(1)求P
(2)与P(3)的值;
(2)试比较P(n)与P(n+1)的大小,并证明你的结论.
[方法归纳]
本例是二项分布与二项式定理的交汇,其求解的一般思路先利用二项分布求其P(n)和P(n+1),然后利用组合数的性质即可求得,概率还常与数列、函数、不等式、数学归纳法等知识交汇.
[变式训练]
(2017·江苏高考)已知一个口袋中有m个白球,n个黑球(m,n∈N*,n≥2),这些球除颜色外完全相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n的抽屉内,其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).
1
2
3
…
m+n
(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p;
(2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X的数学期望,证明:
E(X)<
.
[课时达标训练]
1.(2017·苏锡常镇二模)已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球.一项游戏规定:
每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分,每一局从袋中一次性取出三个球,将3个球对应的分值相加后称为该局的得分,计算完得分后将球放回袋中.当出现第n局得n分(n∈N*)的情况就算游戏过关,同时游戏结束,若四局过后仍未过关,游戏也结束.
(1)求在一局游戏中得3分的概率;
(2)求游戏结束时局数X的概率分布和数学期望E(X).
2.一个袋中装有大小和质地都相同的10个球,其中黑球4个,白球5个,红球1个.
(1)从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X,求随机变量X的概率分布和数学期望E(X);
(2)每次从袋中随机地摸出一球,记下颜色后放回.求3次摸球后,摸到黑球的次数大于摸到白球的次数的概率.
3.(2017·山东高考)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:
将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.
4.已知某种植物的种子每粒发芽的概率都为
,某实验小组对该种植物的种子进行发芽试验,若该实验小组共种植四粒该植物的种子(每粒种子的生长因素相同且发芽与否相互独立),用ξ表示这四粒种子中发芽的种子数与未发芽的种子数的差的绝对值.
(1)求随机变量ξ的概率分布和数学期望;
(2)求不等式ξx2-ξx+1>0的解集为R的概率.
5.(2017·天津高考)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为
,
,
.
(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望;
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
6.(2017·全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:
℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:
瓶)的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:
元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:
瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?
第2课时
运用空间向量求角(能力课)
[常考题型突破]
运用空间向量求两直线所成的角
[例1] 已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等,P为A1B上的点,且
=λ
,PC⊥AB.
(1)求λ的值;
(2)求异面直线PC与AC1所成角θ的余弦值.
[方法归纳]
1.两条异面直线所成角的求法
设两条异面直线a,b的方向向量分别为a,b,其夹角为θ,则cosφ=|cosθ|=
(其中φ为异面直线a,b所成的角).
2.用向量法求异面直线所成角的四步骤
(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系;
(2)确定异面直线上两个点的坐标,从而确定异面直线的方向向量;
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值;
(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值.
[变式训练]
(2017·无锡期末)如图,四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=∠CBA=90°,PA=AB=BC=1,AD=2,E,F,G分别为BC,PD,PC的中点.
(1)求EF与DG所成角的余弦值;
(2)若M为EF上一点,N为DG上一点,是否存在MN,使得MN⊥平面PBC?
若存在,求出点M,N的坐标;若不存在,请说明理由.
运用空间向量求直线和平面所成的角
[例2] (2017·镇江调研)如图,在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中,A1E=CF=1.
(1)求两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值;
(2)求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值.
[方法归纳]
直线和平面所成的角的求法
如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sinφ=|cosθ|=
.
[变式训练]
(2017·南通、泰州一调)如图所示,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,P为棱C1D1的中点,Q为棱BB1上的点,且BQ=λBB1(λ≠0).
(1)若λ=
,求AP与AQ所成角的余弦值;
(2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45°,求实数λ的值.
运用空间向量求二面角
[例3] (2017·南通调研)如图,在四棱锥SABCD中,底面ABCD为矩形,SA⊥平面ABCD,AB=1,AD=AS=2,P是棱SD上一点,且SP=
PD.
(1)求直线AB与CP所成角的余弦值;
(2)求二面角APCD的余弦值.
[方法归纳]
解决二面角问题的两种方法
(1)坐标法
建立恰当坐标系,求出两个平面的法向量n1,n2,利用cos〈n1,n2〉=
求出.(结合图形取“±”号)
(2)定义法
构造出二面角的平面角,通过解三角形计算.
[变式训练]
1.直三棱柱ABCA1B1C1中,AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=2,
=λ
.
(1)若λ=1,求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值;
2.(2017·苏锡常镇一模)如图,已知正四棱锥PABCD中,PA=AB=2,点M,N分别在PA,BD上,且
=
=
.
(1)求异面直线MN与PC所成角的大小;
(2)求二面角NPCB的余弦值.
[课时达标训练]
1.(2017·南京、盐城二模)如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面四边形ABCD为菱形,A1A=AB=2,∠ABC=60°,E,F分别是BC,A1C的中点.
(1)求异面直线EF,AD所成角的余弦值;
(2)点M在线段A1D上,
=λ.若CM∥平面AEF,求实数λ的值.
2.如图,已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形,AB∥CD,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=
AB=1,M是PB的中点.
(1)证明:
平面PAD⊥平面PCD;
(2)求AC与PB所成角的余弦值;
(3)求平面AMC与平面BMC所成二面角(锐角)的余弦值.
3.(2017·江苏高考)如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,且AB=AD=2,AA1=
,∠BAD=120°.
(1)求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值;
(2)求二面角BA1DA的正弦值.
4.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,底面△ABC是直角三角形,AB=AC=1,AA1=2,点P是棱BB1上一点,满足
=λ
(0≤λ≤1).
(1)若λ=
,求直线PC与平面A1BC所成角的正弦值;
(2)若二面角PA1CB的正弦值为
,求λ的值.
5.如图,正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AD=1,D1D=2,点P为棱CC1的中点.
(1)设二面角AA1BP的大小为θ,求sinθ的值;
(2)设M为线段A1B上的一点,求
的取值范围.
6.(2017·南通三模)如图,在四棱锥SABCD中,SD⊥平面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,∠ADC=∠DAB=90°,SD=AD=AB=2,DC=1.
(1)求二面角SBCA的余弦值;
(2)设P是棱BC上一点,E是SA的中点,若PE与平面SAD所成角的正弦值为
,求线段CP的长.
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