详解版九年级中考总复习华师大版精练精析二十一四边形222页考点+分析+点评.docx

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详解版九年级中考总复习华师大版精练精析二十一四边形222页考点+分析+点评

图形的性质——四边形2

一．选择题（共9小题）

1．如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，延长BC到点F，使CF：

BC=1：

2，连接DF，EC．若AB=5，AD=8，sinB=，则DF的长等于（　　）

A．

B．

C．

D．2

2．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（　　）

A．28°B．52°C．62°D．72°

3．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是（　　）

A．10B．8C．6D．5

4．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（　　）

A．3.5B．4C．7D．14

5．如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A=∠EDF=60°，有下列结论：

①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF，其中结论正确的个数是（　　）

A．3B．4C．1D．2

6．如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（　　）

A．4B．

C．

D．5

7．如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（　　）

A．△ABD与△ABC的周长相等

B．△ABD与△ABC的面积相等

C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍

D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍

8．如图，菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为（　　）

A．4：

3B．3：

2C．14：

9D．17：

9

9．如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm时停下，则它停的位置是（　　）

A．点FB．点EC．点AD．点C

二．填空题（共7小题）

10．如图，在边长为3的菱形ABCD中，点E在边CD上，点F为BE延长线与AD延长线的交点．若DE=1，则DF的长为　_________　．

11．若菱形的周长为20cm，则它的边长是　_________　cm．

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　_________　．

13．如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF．若∠A=80°，则∠DGF的度数为　_________　．

14．如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足（a﹣1）2+

=0，那么菱形的面积等于　_________　．

15．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为　_________　．

16如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是　_________　．

三．解答题（共8小题）

17．已知：

如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF．

求证：

四边形BEDF是平行四边形．

18．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF=BC，求证：

四边形OCFE是平行四边形．

19．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F为对角线AC上两点，连接ED，EB，FD，FB．给出以下结论：

①BE∥DF；②BE=DF；③AE=CF．请你从中选取一个条件，使∠1=∠2成立，并给出证明．

20．如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥AC．

（1）求证：

BE=AF；

（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．

21．如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°，M、N分别是AD、BC的中点，BC=2CD．

（1）求证：

四边形MNCD是平行四边形；

（2）求证：

BD=

MN．

22．如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的点，∠1=∠2．

（1）求证：

BE=DF；

（2）求证：

AF∥CE．

23．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，连结AF，DF，BE，CE，AF与BE交于G，DF与CE交于H．求证：

四边形EGFH为菱形．

24．如图：

在▱ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC的延长线交于E．

（1）求证：

△ABC≌△DCE；

（2）若AC=BC，求证：

四边形ACED为菱形．

图形的性质——四边形2

参考答案与试题解析

一．选择题（共9小题）

1．如图，在▱ABCD中，点E是AD的中点，延长BC到点F，使CF：

BC=1：

2，连接DF，EC．若AB=5，AD=8，sinB=，则DF的长等于（　　）

A．

B．

C．

D．2

考点：

平行四边形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．

分析：

由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CFDE的对边平行且相等（DE=CF，且DE∥CF），即四边形CFDE是平行四边形．如图，过点C作CH⊥AD于点H．利用平行四边形的性质、锐角三角函数定义和勾股定理求得CH=4，DH=3，则在直角△EHC中利用勾股定理求得CE的长度，即DF的长度．

解答：

证明：

如图，在▱ABCD中，∠B=∠ADC，AB=CD=5，AD∥BC，且AD=BC=8．

∵E是AD的中点，

∴DE=AD．

又∵CF：

BC=1：

2，

∴DE=CF，且DE∥CF，

∴四边形CFDE是平行四边形．

∴CE=DF．

过点C作CH⊥AD于点H．

又∵sinB=，

∴sin∠CDH=

=

=，

∴CH=4．

在Rt△CDH中，由勾股定理得到：

DH=

=3，则EH=4﹣3=1，

∴在Rt△CEH中，由勾股定理得到：

EC=

=

=

，

则DF=EC=

．

故选：

C．

点评：

本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理和解直角三角形．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．

2．如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（　　）

A．28°B．52°C．62°D．72°

考点：

菱形的性质；全等三角形的判定与性质．

分析：

根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．

解答：

解：

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB∥CD，AB=BC，

∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，

在△AMO和△CNO中，

∵

，

∴△AMO≌△CNO（ASA），

∴AO=CO，

∵AB=BC，

∴BO⊥AC，

∴∠BOC=90°，

∵∠DAC=28°，

∴∠BCA=∠DAC=28°，

∴∠OBC=90°﹣28°=62°．

故选：

C．

点评：

本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．

3．菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是（　　）

A．10B．8C．6D．5

考点：

菱形的性质；勾股定理．

专题：

计算题．

分析：

根据菱形的性质及勾股定理即可求得菱形的边长．

解答：

解：

∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，

∴OB=OD=3，OA=OC=4，AC⊥BD，

在Rt△AOB中，

由勾股定理得：

AB=

=

=5，

即菱形ABCD的边长AB=BC=CD=AD=5．

故选：

D．

点评：

本题考查了菱形的性质和勾股定理，关键是求出OA、OB的长，注意：

菱形的对角线互相平分且垂直．

4．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于（　　）

A．3.5B．4C．7D．14

考点：

菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理．

分析：

根据菱形的四条边都相等求出AB，菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OH是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OH=AB．

解答：

解：

∵菱形ABCD的周长为28，

∴AB=28÷4=7，OB=OD，

∵H为AD边中点，

∴OH是△ABD的中位线，

∴OH=AB=×7=3.5．

故选：

A．

点评：

本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．

5．如图，在菱形ABCD中，E是AB边上一点，且∠A=∠EDF=60°，有下列结论：

①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF，其中结论正确的个数是（　　）

A．3B．4C．1D．2

考点：

菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质．

专题：

几何图形问题．

分析：

首先连接BD，易证得△ADE≌△BDF，然后可证得DE=DF，AE=BF，即可得△DEF是等边三角形，然后可证得∠ADE=∠BEF．

解答：

解：

连接BD，∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=AB，∠ADB=∠ADC，AB∥CD，

∵∠A=60°，

∴∠ADC=120°，∠ADB=60°，

同理：

∠DBF=60°，

即∠A=∠DBF，

∴△ABD是等边三角形，

∴AD=BD，

∵∠ADE+∠BDE=60°，∠BDE+∠BDF=∠EDF=60°，

∴∠ADE=∠BDF，

∵在△ADE和△BDF中，

，

∴△ADE≌△BDF（ASA），

∴DE=DF，AE=BF，故①正确；

∵∠EDF=60°，

∴△EDF是等边三角形，

∴②正确；

∴∠DEF=60°，

∴∠AED+∠BEF=120°，

∵∠AED+∠ADE=180°﹣∠A=120°，

∴∠ADE=∠BEF；

故④正确．

∵△ADE≌△BDF，

∴AE=BF，

同理：

BE=CF，

但BE不一定等于BF．

故③错误．

综上所述，结论正确的是①②④．

故选：

A．

点评：

此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．

6．如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为（　　）

A．4B．

C．

D．5

考点：

菱形的性质．

专题：

几何图形问题．

分析：

连接BD，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AO=AC，然后根据勾股定理计算出BO长，再算出菱形的面积，然后再根据面积公式BC•AE=AC•BD可得答案．

解答：

解：

连接BD，交AC于O点，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD=5，

∴AC⊥BD，AO=AC，BD=2BO，

∴∠AOB=90°，

∵AC=6，

∴AO=3，

∴B0=

=4，

∴DB=8，

∴菱形ABCD的面积是×AC•DB=×6×8=24，

∴BC•AE=24，

AE=

，

故选：

C．

点评：

此题主要考查了菱形的性质，以及菱形的性质面积，关键是掌握菱形的对角线互相垂直且平分．

7．如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（　　）

A．△ABD与△ABC的周长相等

B．△ABD与△ABC的面积相等

C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍

D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍

考点：

菱形的性质．

专题：

几何图形问题．

分析：

分别利用菱形的性质结合各选项进而求出即可．

解答：

解：

A、∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=AD，

∵AC＜BD，

∴△ABD与△ABC的周长不相等，故此选项错误；

B、∵S△ABD=S平行四边形ABCD，S△ABC=S平行四边形ABCD，

∴△ABD与△ABC的面积相等，故此选项正确；

C、菱形的周长与两条对角线之和不存在固定的数量关系，故此选项错误；

D、菱形的面积等于两条对角线之积的，故此选项错误；

故选：

B．

点评：

此题主要考查了菱形的性质应用，正确把握菱形的性质是解题关键．

8．如图，菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为（　　）

A．4：

3B．3：

2C．14：

9D．17：

9

考点：

菱形的性质；平移的性质．

专题：

计算题；压轴题．

分析：

首先得出△MEC∽△DAC，则

=

，进而得出

=

，即可得出答案．

解答：

解：

∵ME∥AD，

∴△MEC∽△DAC，

∴

=

，

∵菱形ABCD的对角线AC=4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，

∴AE=1cm，EC=3cm，

∴

=，

∴

=

，

∴图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为：

=

．

故选：

C．

点评：

此题主要考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出

=是解题关键．

9．如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm时停下，则它停的位置是（　　）

A．点FB．点EC．点AD．点C

考点：

菱形的性质；规律型：

图形的变化类．

专题：

规律型．

分析：

观察图形不难发现，每移动8cm为一个循环组依次循环，用2014除以8，根据商和余数的情况确定最后停的位置所在的点即可．

解答：

解：

∵两个菱形的边长都为1cm，

∴从A开始移动8cm后回到点A，

∵2014÷8=251余6，

∴移动2014cm为第252个循环组的第6cm，在点F处．

故选：

A．

点评：

本题是对图形变化规律的考查，观察图形得到每移动8cm为一个循环组依次循环是解题的关键．

二．填空题（共7小题）

10．如图，在边长为3的菱形ABCD中，点E在边CD上，点F为BE延长线与AD延长线的交点．若DE=1，则DF的长为　　．

考点：

菱形的性质；相似三角形的判定与性质．

专题：

几何图形问题．

分析：

求出EC，根据菱形的性质得出AD∥BC，得出相似三角形，根据相似三角形的性质得出比例式，代入求出即可．

解答：

解：

∵DE=1，DC=3，

∴EC=3﹣1=2，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD∥BC，

∴△DEF∽△CEB，

∴

=

，

∴

=，

∴DF=，

故答案为：

．

点评：

本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，注意：

菱形的对边互相平行．

11．若菱形的周长为20cm，则它的边长是　5　cm．

考点：

菱形的性质．

分析：

由菱形ABCD的周长为20cm，根据菱形的四条边都相等，即可求得其边长．

解答：

解：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，

∵菱形ABCD的周长为20cm，

∴边长为：

20÷4=5（cm）．

故答案为：

5．

点评：

此题考查了菱形的性质，注意掌握菱形四条边都相等定理的应用是解此题的关键，比较容易解答．

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是　（5，4）　．

考点：

菱形的性质；坐标与图形性质．

专题：

几何图形问题．

分析：

利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．

解答：

解：

∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，

∴AB=5，

∴DO=4，

∴点C的坐标是：

（5，4）．

故答案为：

（5，4）．

点评：

此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出DO的长是解题关键．

13．如图，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，过点E作EG⊥AD于G，连接GF．若∠A=80°，则∠DGF的度数为　50°　．

考点：

菱形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．

分析：

延长AD、EF相交于点H，根据线段中点定义可得CF=DF，根据两直线平行，内错角相等可得∠H=∠CEF，然后利用“角角边”证明△CEF和△DHF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=FH，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得GF=FH，根据等边对等角可得∠DGF=∠H，根据菱形的性质求出∠C=∠A，CE=CF，然后根据等腰三角形两底角相等求出∠CEF，从而得解．

解答：

解：

如图，延长AD、EF相交于点H，

∵F是CD的中点，

∴CF=DF，

∵菱形对边AD∥BC，

∴∠H=∠CEF，

在△CEF和△DHF中，

，

∴△CEF≌△DHF（AAS），

∴EF=FH，

∵EG⊥AD，

∴GF=FH，

∴∠DGF=∠H，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠C=∠A=80°，

∵菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，

∴CE=CF，

在△CEF中，∠CEF=（180°﹣80°）=50°，

∴∠DGF=∠H=∠CEF=50°．

故答案为：

50°．

点评：

本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．

14．如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足（a﹣1）2+

=0，那么菱形的面积等于　2　．

考点：

菱形的性质；非负数的性质：

偶次方；非负数的性质：

算术平方根．

专题：

代数几何综合题．

分析：

根据非负数的性质列式求出a、b，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．

解答：

解：

由题意得，a﹣1=0，b﹣4=0，

解得a=1，b=4，

∵菱形的两条对角线的长为a和b，

∴菱形的面积=×1×4=2．

故答案为：

2．

点评：

本题考查了非负数的性质，菱形的性质，主要利用了菱形的面积等于对角线乘积的一半，需熟记．

15．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为　　．

考点：

菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

专题：

动点型．

分析：

延长AB至M，使BM=AE，连接FM，证出△DAE≌EMF，得到△BMF是等边三角形，再利用菱形的边长为4求出时间t的值．

解答：

解：

延长AB至M，使BM=AE，连接FM，

∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°

∴AB=AD，∠A=60°，

∵BM=AE，

∴AD=ME，

∵△DEF为等边三角形，

∴∠DAE=∠DFE=60°，DE=EF=FD，

∴∠MEF+∠DEA═120°，∠ADE+∠DEA=180°﹣∠A=120°，

∴∠MEF=∠ADE，

∴在△DAE和△EMF中，

∴△DAE≌EMF（SAS），

∴AE=MF，∠M=∠A=60°，

又∵BM=AE，

∴△BMF是等边三角形，

∴BF=AE，

∵AE=t，CF=2t，

∴BC=CF+BF=2t+t=3t，

∵BC=4，

∴3t=4，

∴t=

故答案为：

．

点评：

本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是运用三角形全等得出△BMF是等边三角形．

16．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是　

﹣1　．

考点：

菱形的性质；翻折变换（折叠问题）．

分析：

根据题意得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．

解答：

解：

如图所示：

∵MA′是定值，A′C长度取最小值时，即A′在MC上时，

过点M作MF⊥DC于点F，

∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，

∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，

∴∠FMD=30°，

∴FD=MD=，

∴FM=DM×cos30°=

，

∴MC=

=

，

∴A′C=MC﹣MA′=

﹣1．

故答案为：

﹣1．

点评：

此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，得出A′点位置是解题关键．

三．解答题（共8小题）

17．已知：

如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在AC上，且AE=CF．

求证：

四边形BEDF是平行四边形．

考点：

平行四边形的判定与性质．

专题：

证明题．

分析：

根据平行四边形的性质，可得对角线互相平分，根据对角线互相平分的四边形式平行四边形，可得证明结论．

解答：

证明：

如图，连接BD设对角线交于点O．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD．

∵AE=DF，OA﹣AE=OC﹣DF，

∴OE=OF．

∴四边形BEDF是平行四边形．

点评：

本题考查了平行四边形的判定与性质，利用了平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．

18．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC、BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF=BC，求证：

四边形OCFE是平行四边形．

考点：

平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理．

专题：

证明题．

分析：

利用三角形中位线定理判定OE∥BC，且OE=BC．结合已知条件CF=BC，则OE

CF，由“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”证得结论．

解答：

证明：

如图，∵四边形ABCD是平行四边形，

∴点O是BD的中点．

又∵点E是边CD的中点，

∴OE是△BCD的中位线，

∴OE∥BC，且OE=BC．

又∵CF=BC，

∴OE=CF．

又∵点F在BC的延长线上，

∴OE∥CF，

∴四边形OCFE是平行四边形．

点评：

本题考查了平行四边形的性质和三角形中位线定理．此题利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质和“有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”的判定定理．

19．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F为对角线AC上两点，连接ED，EB，FD，FB．给出以下结论：

①BE∥DF；②BE=DF；③AE=CF．请你从中选取一个条件，使∠1=∠2成立，并给出证明．

考点：

平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．

专题：

证明题．

分析：

欲证明∠1=∠2，只需证得四边形EDFB是平行四边形或△ABF≌△CDE即可．

解