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流体力学第二章
第二章流体静力学
第一节 作用于流体上的力
1.静止的流体受到哪几种力的作用?
重力与压应力,无法承受剪切力。
2.理想流体受到哪几种力的作用?
重力与压应力,因为无粘性,故无剪切力。
第二节 流体静压强特性
一、静止流体中任一点应力的特性
图2-4
判断:
在弯曲断面上,由于离心惯性力的作用流体动压强不按静压强特征分布。
你的回答:
对
错
判断:
在均匀流中,任一过水断面上的流体动压强呈静压强分布特征。
你的回答:
对
错
第三节流体平衡微分方程
图2-6
提问:
如图2-6所示中哪个断面为等压面?
您的答案是:
C-C断面
B-B断面
第四节 静止流体压强的分布
算一算:
1.如图所示的密闭容器中,液面压强p0=9.8kPa,A点压强为49kPa,则B点压强为多少,在液面下的深度为多少。
问题:
露天水池水深5m处的相对压强为:
窗体顶部
A. 5kPa;
B. 49kPa;
C. 147kPa;
D. 205kPa。
窗体底部
如图2-10所示,
,下述两个静力学方程哪个正确?
图2-10
问题1:
仅在重力作用下,静止液体中任意一点对同一基准面的单位势能为_______?
窗体顶部
A.随深度增加而增加;
C.随深度增加而减少;
B.常数;
D.不确定。
窗体底部
问题2:
试问图示中A、B、C、D点的测压管高度,测压管水头。
(D点闸门关闭,以D点所在的水平面为基准面)
A:
测压管高度,测压管水头
B:
测压管高度,测压管水头
C:
测压管高度,测压管水头
D:
测压管高度,测压管水头
例:
试标出图示2-11盛液容器内A.B和C三点的位置水头、压强水头和测压管水头。
以图示O—O为基准面。
解 压强水头为相对压强的液柱高度,即测压管高度;位置水头为液体质点至基准面的位置高度。
显然,A点压强水头
,位置水头zA和测压管水头(
),如图所示。
图2-11
在静止液体内部任意质点的测压管水头均相等,即
。
因此,以A点的测压管水头为依据,B点的位置水头zB和压强水头
即可以确定(如图所示)。
至于C点,因为位于测压管水头之上,其相对压强为负值,即pC 故该点的压强水头为 ,如图所示。 例1 求淡水自由表面下2m深处的绝对压强和相对压强。 解: 绝对压强: =1.194标准大气压 相对压强: 标准大气压 例2 设如图2-13所示,hv=2m时,求封闭容器A中的真空值。 图2-13 解: 设封闭容器内的绝对压强为pabs,真空值为Pv 。 则: 根据真空值定义: 问题: 某点的真空度为65000Pa,当地大气压为0.1MPa,该点的绝对压强为: 窗体顶部 A.65000Pa; B.55000Pa; C.35000Pa; D. 165000Pa。 窗体底部 问题: 绝对压强pabs与相对压强p、真空度pv、当地大气压pa之间的关系是: A.pabs=p+pv; B.p=pabs+pa C.pv=pa-pabs D.p=pabs+pa 窗体底部 问题1: 金属压力表的读数值是: 窗体顶部 A.绝对压强; C.绝对压强加当地大气压; B.相对压强; D.相对压强加当地大气压。 窗体底部 问题2: 一密闭容器内下部为水,上部为空气,液面下4.2m处测压管高度为2.2m,设当地大气压为1个工程大气压,则容器内绝对压强为几米水柱? 窗体顶部 A.2m; C.8m; B.1m; D.-2m。 窗体底部 例1 如图2-14所示,一洒水车等加速度a=0.98m/s2向右行驶,求水车内自由表面与水平面间的夹角 ;若B点在运动前位于水面下深为h=1.0m,距z轴为xB=-1.5m,求洒水车加速运动后该点的静水压强。 解: 考虑惯性力与重力在内的单位质量力为 (取原液面中点为坐标原点) 图2-14 X=-a;Y=0;Z=-g 代入式 (2-7) 得: 积分得: 在自由液面上,有: x=z=0 ;p=p0 得: C=p0 =0 代入上式得: B点的压强为: 自由液面方程为(∵液面上p0=0) ax+gz=0 即: 例2 如图2-15所示,有一盛水的开口容器以3.6m/s2的加速度沿与水平成30º夹角的倾斜平面向上运动,试求容器中水面的倾角θ,并分析p与水深的关系。 解: 根据压强平衡微分方程式: 图2-15 单位质量力: 在液面上为大气压强, 代入 由压强平衡微分方程式,得: p与水深成正比。 例3: 求等角速度旋转器皿中液体的相对平衡的压强分布规律。 解: 图2-16 由 在原点(x=0,y=0,z=0): •等角速度旋转的直立容器中,液体相对平衡时压强分布规律的一般表达式: •等压面簇(包括自由表面,即p=常数的曲面)方程 等压面簇是一簇具有中心轴的旋转抛物面,如图2-16所示。 具有自由表面的旋转器皿中液体的自由表面方程: 在自由液面上: 用相对压强表示自由表面方程: 任一点压强: 说明: 在相对平衡的旋转液体中,各点的压强随水深的变化仍是线性关系。 注意: 在旋转液体中各点的测压管水头不等于常数。 思 考 题 1.什么是等压面? 等压面的条件是什么? 等压面是指流体中压强相等的各点所组成的面。 只有重力作用下的等压面应满足的条件是: 静止、连通、连续均质流体、同一水平面。 2.相对平衡的流体的等压面是否为水平面? 为什么? 什么条件下的等压面是水平面? 不一定,因为相对平衡的流体存在惯性力,质量力只有重力作用下平衡流体的等压面是水平面。 3.压力表和测压计上测得的压强是绝对压强还是相对压强? 相对压强。 4.盛有液体的敞口容器作自由落体时,容器壁面AB上的压强分布如何? 参考答案: ∴p=const,自由液面上p=0 ∴p=0 5.若人所能承受的最大压力为1.274MPa(相对压强),则潜水员的极限潜水深度为多少? 参考答案: 潜水员的极限潜水深度为: 6.如2-1图所示,若某点测压管水头为-0.5m,压强水头为1.5m,则测压管最小长度应该为多少? 测压管最小长度为1.5m。 题2-1图 7.为什么虹吸管能将水输送到一定的高度? 因为虹吸管内出现了真空。 8.在静止流体中,各点的测压管水头是否相等? 在流动流体中? 相等;均匀流、渐变流中同一断面上各点测压管水头相等,急变流中不相等。 第五节测压计 一、测压管 测压管(pizometrictube): 是以液柱高度为表征测量点压强的连通管。 一端与被测点容器壁的孔口相连,另一端直接和大气相通的直管。 适用范围: 测压管适用于测量较小的压强,但不适合测真空。 图2-17 观看录像7 如图2-17,由等压面原理计算: 判断: 测压管内液柱的高度就是压强水头。 你的回答: 对 错 如果被测点A的压强很小,为了提高测量精度,增大测压管标尺读数,常采用以下两种方法: (1)将测压管倾斜放置如图2-18,此时标尺读数为l,而压强水头为垂直高度h,则 图2-18 (2)在测压管内放置轻质而又和水互不混掺的液体,重度 ,则有较大的h。 二、水银测压计与U形测压计 适用范围: 用于测定管道或容器中某点流体压强,通常被测点压强较大。 图2-19 图2-19中,B—B为等压面: 观看录像8 图片9 图片10 问题1: 在如图所示的密闭容器上装有U形水银测压计,其中1、2、3点位于同一水平面上,其压强关系为: 窗体顶部 A.p1=p2=p3; B.p1>p2>p3; C.p1 D.p2 窗体底部 问题2: 在传统实验中,为什么常用水银作U型测压管的工作流体? 答: 1.压缩性小;2.汽化压强低;3.密度大。 三、压差计 分类: 空气压差计: 用于测中、低压差; 观看图片11 油压差计: 用于测很小的压差; 水银压差计: 用于测高压差。 适用范围: 测定液体中两点的压强差或测压管水头差。 图2-20 压差计计算(图2-20) 若A、B中流体均为水,ρ2为水银, 则 (2-15) 四、金属测压计(压力表) 适用范围: 用于测定较大压强。 是自来水厂及管路系统最常用的测压仪表。 五、真空计(真空表) 适用范围: 用于测量真空。 例1 由真空表A中测得真空值为17200N/m2。 各高程如图,空气重量忽略不计,g1=6860N/m3,g2 =15680N/m3,试求测压管E.F.G内液面的高程及U形测压管中水银上升的高差的H1大小。 解: 利用等压面原理 图2-21 (1)E管 则: (2)F管 (3)G管 (4)U形管 例2 : 一密封水箱如图所示,若水面上的相对压强p0=-44.5kN/m2,当地大气压为98kN/m2求: (1)h值; (2)求水下0.3m处M点的压强,要求分别用绝对压强、相对压强、真空度、水柱高及工程大气压表示;(3)M点相对于基准面O—O的测压管水头。 解 (1)求h值 图2-22 列等压面1—1,pN =pR =pa 。 以相对压强计算, (2)求pM 用相对压强表示: kPa 或为 或为 用绝对压强表示: kPa 或为 0.576at 或为 5.76mH2O 用真空度表示: 真空值 或为 4.24mH2O (3)M点的测压管水头 问题1: 如图所示 窗体顶部 A.p0=pa; B.p0>pa; C.p0 D.无法判断。 窗体底部 问题2: 如图所示的密封容器,当已知测压管高出液面h=1.5m,求液面相对压强p0,用水柱高表示。 容器盛的液体是汽油。 ( =7.35kN/m3) A.1.5m; B.1.125m; C.2m; D.11.5m。 窗体底部 思 考 题 1.在传统实验中,为什么常用水银作U型测压管的工作流体? 1、压缩性小;2、汽化压强低;3、密度大。 2.图2-2所示水深相差h的A.B两点均位于箱内静水中,连接两点的U形汞压差计的液面高差hm,试问下述三个值hm哪个正确? 题2-2图 3.图2-3所示两种液体盛在同一容器中,且 < ,在容器侧壁装了两根测压管,试问图中所标明的测压管中水位对否? 对 题2-3图 第六节 平面上的流体静压力 一、静水压强分布图 例1如图2-25所示,一铅直矩形闸门,已知h1=1m,h2=2m,宽b=1.5m,求总压力及其作用点。 图2-25 解: 例2 有一铅直半圆壁(如图2-26)直径位于液面上,求F值大小及其作用点。 解: 由式 图2-26 得总压力 由式 得 (2-17) 式中: Io——面积A绕Ox轴的惯性矩。 Ic——面积 A绕其与Ox轴平行的形心轴的惯性矩。 结论: 1.当平面面积与形心深度不变时,平面上的总压力大小与平面倾角θ无关; 2.压心的位置与受压面倾角θ无关,并且压心总是在形心之下.只有当受压面位置为水平放置时,压心与形心才重合。 (二)图解法 例3 用图解法计算解析法中例1的总压力大小与压心位置。 解: 作出矩形闸门上的压强分布图,如图2-27: 底为受压面面积,高度是各点的压强。 图2-27 备注: 梯形形心坐标: a上底,b下底 总压力为压强分布图的体积: 作用线通过压强分布图的重心: 例4: 已知矩形平面h=1m,H=3m,b=5m,求F的大小及作用点。 解: 1、解析法(如图2-28) 图2-28 2、图解法(如图2-29): 压力图分为二部分(三角形+矩形) 图2-29 例5 如图2-30(a)所示,左边为水箱,其上压力表的读数为-0.147×105Pa,右边为油箱,油的g′=7350N/m3,用宽为1.2m高为1.8m的闸门隔开,闸门在A点铰接。 为使闸门AB处于平衡,必须在B点施加多大的水平力F’。 解 确定液体作用在闸门上的力的大小和作用点位置。 对右侧油箱 图2-30(a) (方向向左) 对左侧水箱 将空气产生的负压换算成以m水柱表示的负压h值相当于水箱液面下降1.5m,而成为虚线面,可直接用静水力学基本方程求解,这样比较方便。 因为 所以有: (方向向右) F2作用点距o轴的距离为 图2-30(b) 或距A轴为 3.2-2.2=1m 图2-30b为闸门AB的受力图,将所有力对A轴取矩,则 即 代入数值得 (方向向右) 对于有规则的两侧受有水压力的受压面,用上面的分析法求解F和yP比较繁。 通常也可通过作静水压强分布图的方法推求静水总压力。 如图a在作出左右两侧对矩形平面的压强分布图后,由于两侧压强方向相反,故可抵消一部分。 由剩下的压强分布图计算其总压力和作用点。 这样用图解法计算比分析法更简便些。 例6 一直径d=2000mm的涵洞,其圆形闸门AB在顶部A处铰接,如图2-31。 若门重为3000N,试求: (1)作用于闸门上的静水总压力F; (2)F的作用点;(3)阻止闸门开启的水平力F'。 解 (1)圆形闸门受压面形心到水面的距离为h0=1.5+1.0=2.5m;闸门的直径D为2.83m(D=2/sin45°);闸门面积为: 图2-31 作用于圆形闸门上的总压力为: (2)圆形闸门中心至Ox轴的距离为 圆形闸门面积A对经闸门中心且平行于Ox轴之惯性矩Ixc为: 故总压力作用点在闸门中心正下方0.14m处。 (3)因铰点在A处,则作用于闸门的所有外力对此点之力矩总和必为0,即 得阻止闸门的开启力 问题: 任意形状平面壁上静水压力的大小等于____处静水压强乘以受压面的面积。 窗体顶部 A.受压面的中心; B.受压面的重心; C.受压面的形心; D.受压面的垂心。 窗体底部 垂直放置的矩形平板挡水,水深3m,静水总压力P的作用点到水面的距离yD为: 答: (2/3)h=2m 思考题: 1.如图2-4所示,浸没在水中的三种形状的平面物体,面积相同。 问: 1.哪个受到的静水总压力最大? 2.压心的水深位置是否相同? 题2-4图 1、相同;2、不相同 2.挡水面积为A的平面闸门,一侧挡水,若绕通过其形心C的水平轴任转a角,其静水总压力的大小、方向和作用点是否变化? 为什么? 大小不变;方向变;作用点变。 3.使用图解法和解析法求静水总压力时,对受压面的形状各有无限制? 为什么? 图解法有,规则形状,为便于作压强分布图;解析法无。 第七节 曲面上的流体静压力 判断: 下述结论哪一个是正确的? 两图中F均为单位宽度上的静水总压力。 Fx>F2 Fx=F2 例1绘制图中AB曲面上的压力体 例2 如图2-36所示,一球形容器由两个半球面铆接而成的,铆钉有n个,内盛密度为ρ的液体,求每一铆钉受到的拉力。 解: 取球形容器的上半球为受压曲面,则其所受到的压力体如图所示: 则有: 图2-36 例3 如图2-37所示,用允许应力[ ]=150MPa的钢板,制成直径D为1m的水管,该水管内压强高达500m水柱,求水管壁应有的厚度(忽略管道截面上各点因高度不同而引起的压强差) 解: 取长度为1m管段,并忽略管道截面上各点因高度不同而引起的压强差,而认为管壁各点压强都相等。 设想沿管径将管壁切开,取其中半管作为脱离体来分析其受力情况(如图)。 作用在半环内表面的水平压力等于半环垂直投影面上的压力, ,这压力受半环壁上的拉应力承受并与之平衡,即: 。 设T在管壁厚度上是均匀分布的,则: 图2-37 作图题: 绘制图中AB曲面上的压力体: • 静水总压力 作用在曲面上的静水总压力(如图2-38) 图2-38 (2-20) 与水平面的夹角: (2-21) 作用线: 必通过Fx,Fz的交点,但这个交点不一定位于曲面上。 对于圆弧面,F作用线必通过圆心。 F的作用点作用在F作用线与曲面的交点。 例1: 如图2-39所示,单宽圆柱即b=1m,问在浮力Fz的作用下能否没完没了的转动? 解: 一、概念上分析: 不能转动。 因为所受总压力的作用线通过轴心。 (作用力总是垂直作用面,所以通过圆心) 图2-39 二、计算证明: 垂向力作用点到轴心的距离为: 逆时针为负 所以不能转动。 例2 圆柱体的直径为2m,水平放置,各部分尺寸如图2-40(a)所示。 左侧有水,右侧无水。 求作用在每米长度圆柱体上的静水总压力的水平分力Fx和垂直分力Fz。 解 圆柱体的受压面CDHAB,其中HAB面两侧水平分力相互抵消。 则曲面CDH受压面的水平分力为 图2-40 垂直分力Fz可用绘曲面CDHAB的压力体的方法求解。 将曲面CDHAB分成两段(CD和DHAB)。 然后绘出各段压力体,如图2-40(b,c)。 CD压力体方向Fz1向下,曲面DHAB的压力体Fz2方向向上,两者相互抵消一部分,最后得出压力体如图2-40(d)的影线部分。 则总的垂直分力Fz=体积DHABJFGCD的水重。 为了便于计算,把这个体积分成几个简单的几何图形。 如矩形、三角形和半圆形,则 Fz=(矩形JFGC+三角形CJB+半圆DHAB)的水重。 例3某竖直隔板上开有矩形孔口,如图2-41(a): 高a=1.0m、宽b=3m。 直径d=2m的圆柱筒将其堵塞。 隔板两侧充水,h=2m,z=0.6m。 求作用于该圆柱筒的静水总压力。 解当隔板两侧均受到液体作用时,两侧压强抵消后的隔板水平压强分布图如图2-41(b)所示。 本题圆柱体所受的水平压强,可把圆柱曲面分为曲面AC和曲面BF、曲面AB和曲面CEF四部分考虑,其中曲面AC与曲面BF左右受力分别相等,水平分力均为零。 曲面AB与曲面CEF分别受左右两侧水压作用,其水平压强分布同于高为a,宽为b的CF隔板。 故其水平压强分布如图2-41(c)所示。 图2-41(a) 分别绘出隔板两侧受压曲面压力体,两者之和恰好为圆柱筒体积。 图2-41 因此,静水总压力的水平分力: 静水总压力的铅直分力: 方向向上; 于是,作用在圆柱筒上的静水总压力: 其作用线与水平面的夹角 作用点D在水下的深度 曲
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