届高三适应性考试数学理试题 含答案.docx
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届高三适应性考试数学理试题含答案
理科数学(B卷)
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的.
1.已知
,
,若
,则
()
A.
B.
C.
或
D.
或
或0
2.设复数
,
,则
()
A.
B.
C.
D.
3.武汉市2018年各月的平均气温(
)数据的茎叶图如图所示,则这组数据的中位数是()
A.25.5B.22C.20.5D.20
4.设等比数列
的前
项和为
,则“
”是“
”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.在平行四边形
中,
,
,将此平行四边形沿
折成直二面角,则三棱锥
外接球的表面积为()
A.
B.
C.
D.
6.对于函数
,给出下列四个命题:
①存在
,使
;②存在
,使
恒成立;③存在
,使函数
的图象关于坐标原点成中心对称;④函数
的图象关于直线
对称;⑤函数
的图象向左平移
个单位长度就能得到
的图象.其中正确命题的序号是()
A.①②③B.③④⑤C.②③⑤D.③④
7.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,如果输入某个正整数
后输出的
,则
的值为()
A.3B.4C.5D.6
8.已知
是定义在
上的两个函数,且对
,
恒成立.命题
:
若
为偶函数,则
也为偶函数;命题
:
若
时,
在
上恒成立,则
为
上的单调函数.则下列命题正确的是()
A.
B.
C.
D.
9.已知点
是抛物线
上的一个动点,
是圆
上的一个动点,
是一个定点,则
的最小值为()
A.2B.3C.4D.5
10.若点
是锐角
所在的平面内的动点,且
,给出下列命题:
①
恒成立;②
的最小值为
;③点
的轨迹是一条直线;④存在点
使
.
其中正确的命题为()
A.①③B.②④C.③④D.②③④
11.如图所示,网格上的小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各面面积中的最大值为()
A.16B.8C.
D.6
12.已知
,设函数
存在极大值点
,且对于
的任意可能取值,恒有极大值
,则下列结论中正确的是()
A.存在
,使得
B.存在
,使得
C.
的最大值为
D.
的最大值为
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.若
,则
.
14.给定双曲线
,若直线
过
的中心,且与
交于
两点,
为曲线
上任意一点,若直线
的斜率均存在且分别记为
,则
.
15.已知点
的坐标满足
,则
的取值范围为.
16.在数列
中,
,
是数列
的前
项和,当不等式
恒成立时,
的所有可能取值为.
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分12分)
为了应对日益严重的气候问题,某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器,这种仪器可以弹射到空中进行气候观测,如图所示,
三地位于同一水平面上,这种仪器在
地进行弹射实验,观测点
两地相距100米,
,在
地听到弹射声音的时间比
地晚
秒,在
地测得该仪器至最高点
处的仰角为
.
(1)求
两地的距离;
(2)求这种仪器的垂直弹射高度
(已知声音的传播速度为340米/秒).
18.(本小题满分12分)
如图,
平面
,
分别是
的中点,
,
.
(1)求二面角
的余弦值;
(2)点
是线段
上的动点,当直线
与
所成的角最小时,求线段
的长.
19.(本小题满分12分)
某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查,在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体验表,并得到如图的频率分布直方图.
(1)若直方图中后四组的频率成等差数列,试估计全年级视力在
以下的人数;
(2)学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系,对年级名次在1~50名和951~1000名的学生进行了调查,得到下表中数据,根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?
(3)在
(2)中调查的100名学生中,按照分层抽样在不近视的学生中抽取了9人,进一步调查他们良好的护眼习惯,并且在这9人中任取3人,记名次在1~50的学生人数为
,求
的分布列和数学期望.
20.(本小题满分12分)
如图,曲线
由两个椭圆
和椭圆
组成,当
成等比数列时,称曲线
为“猫眼曲线”.
(1)若猫眼曲线
过点
,且
的公比为
,求猫眼曲线
的方程;
(2)对于题
(1)中所求的猫眼曲线
,任作斜率为
且不过原点
的直线与该曲线相交,交椭圆
所得弦的中点为
,交椭圆
所得弦的中点为
,试问:
是否为与
无关的定值,若是请求出定值;若不为定值,请说明理由;
(3)若斜率为
的直线
为椭圆
的切线,且交椭圆
于点
两点,
为椭圆
上的任意一点(点
与点
不重合),求
面积的最大值(用字母
表示).
21.(本小题满分12分)
已知函数
,
,(
为自然对数的底数).
(1)若曲线
与
在坐标原点处的切线相同,问:
(ⅰ)求
的最小值;
(ⅱ)若
时,
恒成立,试求实数
的取值范围;
(2)若
有两个不同的零点
,对任意
,
,证明:
(
为
的导函数).
请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.(本小题满分10分)选修4-1:
几何证明选讲
如图所示,锐角三角形
的内心为
,过点
作直线
的垂线,垂足为
,点
为圆
与边
的切点.
(1)求证:
四点共圆;
(2)若
,求
的度数.
23.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
已知圆
(
为参数)和直线
(其中
为参数,
为直线
的倾斜角).
(1)当
时,求圆上的点到直线
的距离的最小值;
(2)当直线
与圆
有公共点时,求
的取值范围.
24.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知
,
.
(1)求
的最小值;
(2)若
的最小值为2,求
的最小值.
华中师大一附中
2018届高三五月适应性考试试题
(一)参考答案
理科数学
一.选择题
(A卷)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
B
C
A
C
B
A
B
C
B
D
(B卷)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
C
C
A
D
B
A
B
C
B
D
二.填空题
13.
14.
15.
16.1或2或4
三.解答题
(17)【解析】(Ⅰ)设
,由条件可知
在
中,由余弦定理,可得
故
两地的距离为420米.………………6分
(Ⅱ)在
中,
米,
由正弦定理,可得
,即
所以
(米),故这种仪器的垂直弹射高度为
米.…12分
(18)【解析】以
为正交基底建立空间直角坐标系
,
则各点的坐标为
,
,
,
.
(Ⅰ)因为
平面
,所以
是平面
的一个法向量,
.因为
,
.
设平面
的法向量为
,则
,
,
即
令
,解得
所以
是平面
的一个法向量.从而
所以二面角
的余弦值为
…………………………………6分
(Ⅱ)因为
,设
,
又
,则
,又
,
从而
设
则
当且仅当
,即
时,
的最大值为
.
因为
在
上是减函数,此时直线
与
所成角取得最小值.
又因为
,所以
…………12分
(19)【解析】(Ⅰ)由直方图可知,第一组有3人,第二组有7人,第三组有27人,
因为后四组的频数成等差数列,所以后四组的频数依次为27,24,21,18,所以视力
在
以下的频率为
,故全年级视力在
以下的人数约为
.
…………3分
(Ⅱ)
,
因此在犯错误的概率不超过
的前提下认为视力与学习成绩有关系.……6分
(Ⅲ)依题意9人中年级名次在
名和
名分别有3人和6人,
可取0、1、2、3
,
,
,
的分布列为
0
1
2
3
的数学期望
.……12分
(20)【解析】(Ⅰ)由题意知,
,
,∴
∴
:
,
:
…………2分
(Ⅱ)为定值
,理由如下:
设斜率为
的直线交椭圆
于点
,线段
中点
,
由
得
,
∵
存在且
,∴
,且
,∴
同理,
;故有
;…………7分
(Ⅲ)设直线
的方程为
,
联立方程得
,化简得
由
化简得
,
不妨设
,
联立方程得
,化简得
,
由
化简得
可取
从而两平行线间距离
,又
;
∴
的面积最大值为
…………12分
(21)【解析】(Ⅰ)(ⅰ)因为
,
,
依题意,
,且
,解得
,
所以
,当
时,
;当
时,
.
故
的单调递减区间为
,单调递增区间为
.
当
时,
取得最小值0.………………………………2分
(ⅱ)由(ⅰ)知,
,即
,从而
即
.
设
则
,
(1)当
时,因为
,
(当且仅当
时等号成立),
此时
在
上单调递增,从而
,即
.
(2)当
时,由于
,所以
,
又由
(1)知
,所以
,故
,
即
.(此步也可以直接证
)
(3)当
时,令
,则
,
显然
在
上单调递增,又
,
所以
在
上存在唯一零点
,
当
时,
在
上单调递减,
从而
,即
所以
在
上单调递减,
从而当
时,
,即
,不合题意.
综上,实数
的取值范围为
.………………………………7分
(Ⅱ)依题意,不妨设
,有
,
,两式相减得:
,整理得
,
则
,于是
,
令
,则设
,
则
,
∴
在
上单调递增,则
,于是有
,
即
,
………………………………12分
注:
其他解法酌情给分.
(22)【解析】(Ⅰ)证明:
由圆
与
相切于点
得
,
结合
,得
,所以
,
,
,
四点共圆.…………4分
(Ⅱ)解:
由(Ⅰ)知
,
,
,
四点共圆,所以
,由题意知
结合
,得
所以
,由
,
.…………10分
(23)【解析】(Ⅰ)当
时,直线
的直角坐标方程为
,圆
的圆心坐标为(1,0),圆心到直线的距离
,圆
的半径为1,故圆上的点到直线
的距离的最
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